Страница 30 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

76 a) Какое натуральное число следует за числом 1099? 7909? 49 899? 19 999?

б) Какое натуральное число предшествует числу 10 100? 99 000? 1 000 000?

в) Какие числа расположены между числами 3587 и 3592?

a) Чтобы найти натуральное число, которое следует за данным, нужно к этому числу прибавить единицу.
Для числа 1099: $1099 + 1 = 1100$
Для числа 7909: $7909 + 1 = 7910$
Для числа 49 899: $49\;899 + 1 = 49\;900$
Для числа 19 999: $19\;999 + 1 = 20\;000$
Ответ: 1100; 7910; 49 900; 20 000.

б) Чтобы найти натуральное число, которое предшествует данному, нужно из этого числа вычесть единицу.
Для числа 10 100: $10\;100 - 1 = 10\;099$
Для числа 99 000: $99\;000 - 1 = 98\;999$
Для числа 1 000 000: $1\;000\;000 - 1 = 999\;999$
Ответ: 10 099; 98 999; 999 999.

в) Чтобы найти числа, расположенные между двумя данными числами, необходимо перечислить все натуральные числа, которые больше первого числа (3587) и меньше второго (3592).
Это числа, которые идут после 3587: 3588, 3589, 3590, 3591. Следующее число (3592) уже не входит в искомый диапазон.
Ответ: 3588, 3589, 3590, 3591.

77 Сколько чётных и сколько нечётных чисел содержится среди первых пятидесяти натуральных чисел? среди первых ста натуральных чисел?

Среди первых пятидесяти натуральных чисел

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, и так далее. В последовательности натуральных чисел чётные и нечётные числа чередуются. Первые 50 натуральных чисел — это ряд от 1 до 50. Поскольку общее количество чисел (50) является чётным, то количество чётных и нечётных чисел в этом ряду будет одинаковым.

Чтобы найти их количество, нужно общее число разделить на 2:

Количество чётных чисел: $50 \div 2 = 25$.

Количество нечётных чисел: $50 \div 2 = 25$.

Ответ: 25 чётных и 25 нечётных чисел.

Среди первых ста натуральных чисел

Аналогично первому случаю, рассмотрим ряд первых 100 натуральных чисел: от 1 до 100. Общее количество чисел в этом ряду — 100, что также является чётным числом. Следовательно, количество чётных и нечётных чисел будет равным.

Выполним деление на 2:

Количество чётных чисел: $100 \div 2 = 50$.

Количество нечётных чисел: $100 \div 2 = 50$.

Ответ: 50 чётных и 50 нечётных чисел.

78 Назовите:

а) наименьшее чётное однозначное число;

б) наибольшее чётное однозначное число;

в) наименьшее нечётное двузначное число;

г) наибольшее чётное двузначное число;

д) наименьшее нечётное трёхзначное число.

а) Однозначные числа — это числа, состоящие из одной цифры (от $0$ до $9$). Чётные числа — это целые числа, которые делятся на $2$ без остатка. Их последняя цифра — $0, 2, 4, 6$ или $8$. Выпишем все чётные однозначные числа: $0, 2, 4, 6, 8$. Самое маленькое (наименьшее) из этого ряда — это $0$.
Ответ: 0.

б) Среди чётных однозначных чисел ($0, 2, 4, 6, 8$) необходимо найти самое большое (наибольшее). Сравнивая числа в этом ряду, находим, что наибольшим является $8$.
Ответ: 8.

в) Двузначные числа — это числа от $10$ до $99$. Нечётные числа — это целые числа, которые при делении на $2$ дают остаток $1$. Их последняя цифра — $1, 3, 5, 7$ или $9$. Необходимо найти наименьшее двузначное число, которое является нечётным. Самое маленькое двузначное число — это $10$. Оно чётное, так как оканчивается на $0$. Следующее за ним число — $11$. Оно оканчивается на $1$, следовательно, оно нечётное. Так как $11$ — это первое нечётное число в ряду двузначных чисел, оно и является наименьшим.
Ответ: 11.

г) Двузначные числа находятся в диапазоне от $10$ до $99$. Необходимо найти самое большое (наибольшее) чётное число в этом диапазоне. Самое большое двузначное число — это $99$. Оно нечётное, так как оканчивается на $9$. Число, предшествующее $99$, — это $98$. Оно оканчивается на $8$, следовательно, оно чётное. Таким образом, $98$ является наибольшим чётным двузначным числом.
Ответ: 98.

д) Трёхзначные числа — это числа от $100$ до $999$. Необходимо найти наименьшее нечётное число в этом диапазоне. Самое маленькое трёхзначное число — это $100$. Оно чётное, так как оканчивается на $0$. Следующее за ним число — $101$. Оно оканчивается на $1$, следовательно, оно нечётное. $101$ — это первое нечётное число в ряду трёхзначных чисел, поэтому оно является наименьшим.
Ответ: 101.

79 Произвольное натуральное число обычно обозначают буквой $n$.

a) Пусть $n$ — некоторое натуральное число, большее 1. Как вы думаете, что обозначает запись $n + 1$? $n - 1$?

б) Пусть буквой $n$ обозначено некоторое чётное число. Каким числом — чётным или нечётным — будет число $n + 1$? $n + 2$? $n + 5$?

а)

Натуральные числа представляют собой упорядоченную последовательность, в которой каждое следующее число на единицу больше предыдущего: 1, 2, 3, ..., $n-1$, $n$, $n+1$, ...
Исходя из этого:

• Запись $n + 1$ обозначает натуральное число, которое в ряду натуральных чисел следует непосредственно за числом $n$. Его называют «следующим» за $n$.
• Запись $n - 1$ обозначает натуральное число, которое непосредственно предшествует числу $n$. Его называют «предыдущим» для $n$. Так как по условию $n > 1$, число $n-1$ также является натуральным (например, если $n=2$, то $n-1=1$).

Например, если $n = 25$, то $n+1 = 26$ (следующее число), а $n-1 = 24$ (предыдущее число).

Ответ: $n + 1$ — это число, следующее за $n$; $n - 1$ — это число, предшествующее $n$.

б)

По условию, $n$ — это чётное число. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Нечётное число при делении на 2 даёт в остатке 1.
Рассмотрим каждое выражение, используя правила сложения чётных и нечётных чисел:

• $n + 1$: Здесь мы складываем чётное число ($n$) и нечётное число (1). Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.
  (Чётное + Нечётное = Нечётное)
  Следовательно, число $n + 1$ является нечётным.
• $n + 2$: Здесь мы складываем два чётных числа ($n$ и 2). Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом.
  (Чётное + Чётное = Чётное)
  Следовательно, число $n + 2$ является чётным.
• $n + 5$: Здесь мы складываем чётное число ($n$) и нечётное число (5). Как и в первом случае, сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.
  (Чётное + Нечётное = Нечётное)
  Следовательно, число $n + 5$ является нечётным.

Ответ: $n + 1$ — нечётное число; $n + 2$ — чётное число; $n + 5$ — нечётное число.

ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ (80–81)

80 Будем выписывать последовательные чётные числа:

2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

Какое число окажется на 20-м месте? на 100-м месте? на 175-м месте?

Подсказка. Установить закономерность вам поможет такая схема:

Номер места: 1, 2, 3, 4, ..., 10, ...

Число: 2, 4, 6, 8, ..., 20, ...

Закономерность: если номер места равен $n$, то число равно $2n$.

В задаче дана последовательность последовательных чётных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, ... Чтобы найти, какое число стоит на определённом месте, необходимо установить закономерность. Для этого сравним номер места (позицию) в последовательности с самим числом, как это предложено в подсказке:
На 1-м месте (позиция 1) стоит число 2.
На 2-м месте (позиция 2) стоит число 4.
На 3-м месте (позиция 3) стоит число 6.
На 10-м месте (позиция 10) стоит число 20.

Можно заметить, что каждое число в последовательности ровно в два раза больше своего номера. Таким образом, чтобы найти число, стоящее на месте с номером $n$, нужно этот номер умножить на 2.
Формула для нахождения числа: $Число = n \times 2$.

Теперь применим эту формулу для ответа на вопросы задачи.

Какое число окажется на 20-м месте?
Номер места $n = 20$. Чтобы найти число, умножим номер места на 2:
$20 \times 2 = 40$.
Ответ: 40

Какое число окажется на 100-м месте?
Номер места $n = 100$. Чтобы найти число, умножим номер места на 2:
$100 \times 2 = 200$.
Ответ: 200

Какое число окажется на 175-м месте?
Номер места $n = 175$. Чтобы найти число, умножим номер места на 2:
$175 \times 2 = 350$.
Ответ: 350