Страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

107 Назовите какое-нибудь число, которое на координатной прямой находится:

а) между числами 20 и 30 и расположено ближе к числу 20; к числу 30;

б) между числами 700 и 800 и расположено ближе к числу 800;

в) между числами 3400 и 3500 и расположено ближе к числу 3400.

а) Чтобы определить, к какому из двух чисел (20 или 30) ближе находится третье число, нужно найти середину отрезка между ними. Середина вычисляется как среднее арифметическое:

$m = (20 + 30) / 2 = 50 / 2 = 25$.

Числа, которые расположены на координатной прямой левее середины (то есть меньше 25), будут ближе к 20. Например, это могут быть числа 21, 22, 23 или 24.

Числа, которые расположены правее середины (то есть больше 25), будут ближе к 30. Например, это могут быть числа 26, 27, 28 или 29.

Ответ: число, расположенное ближе к числу 20: 23; число, расположенное ближе к числу 30: 27.

б) Аналогично найдем середину отрезка между числами 700 и 800:

$m = (700 + 800) / 2 = 1500 / 2 = 750$.

Чтобы искомое число было ближе к 800, оно должно быть больше середины отрезка (750), но меньше 800. Таким образом, любое число из интервала от 751 до 799 удовлетворяет этому условию. Возьмем, к примеру, число 785.

Проверим: расстояние от 785 до 700 равно $785 - 700 = 85$. Расстояние от 785 до 800 равно $800 - 785 = 15$. Так как $15 < 85$, число 785 действительно ближе к 800.

Ответ: 785 (или любое другое число из интервала $(750, 800)$).

в) Найдем середину отрезка между числами 3400 и 3500:

$m = (3400 + 3500) / 2 = 6900 / 2 = 3450$.

Чтобы искомое число было ближе к 3400, оно должно быть меньше середины отрезка (3450), но больше 3400. Этому условию удовлетворяет любое число из интервала от 3401 до 3449. Возьмем, к примеру, число 3410.

Проверим: расстояние от 3410 до 3400 равно $3410 - 3400 = 10$. Расстояние от 3410 до 3500 равно $3500 - 3410 = 90$. Так как $10 < 90$, число 3410 действительно ближе к 3400.

Ответ: 3410 (или любое другое число из интервала $(3400, 3450)$).

108 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

На координатной прямой точками отмечены натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ (рис. 2.9). Какие из неравенств являются верными?

Рис. 2.9

1) $a > c$.

2) $b > c$.

3) $d < a$.

4) $a < b$.

5) $d < a < c$.

6) $b < c < a$.

На координатной прямой числа увеличиваются в направлении стрелки, то есть слева направо. Чем правее расположена точка, тем большему числу она соответствует. Из рисунка видно, что точки расположены в следующем порядке (слева направо): $0$, $d$, $a$, $c$, $b$.

Это означает, что для соответствующих чисел выполняется следующая цепочка неравенств: $0 < d < a < c < b$.

Проанализируем каждое из предложенных неравенств на основе этой цепочки.

1) $a > c$.
На координатной прямой точка $a$ расположена левее точки $c$, следовательно, $a < c$. Таким образом, неравенство $a > c$ является неверным.
Ответ: неверно.

2) $b > c$.
Точка $b$ расположена правее точки $c$, следовательно, $b > c$. Таким образом, неравенство является верным.
Ответ: верно.

3) $d < a$.
Точка $d$ расположена левее точки $a$, следовательно, $d < a$. Таким образом, неравенство является верным.
Ответ: верно.

4) $a < b$.
Точка $a$ расположена левее точки $b$, следовательно, $a < b$. Таким образом, неравенство является верным.
Ответ: верно.

5) $d < a < c$.
Это двойное неравенство означает, что должны одновременно выполняться два условия: $d < a$ и $a < c$. Из расположения точек на прямой мы видим, что $d$ левее $a$ (значит, $d < a$) и $a$ левее $c$ (значит, $a < c$). Оба условия верны, следовательно, всё двойное неравенство является верным.
Ответ: верно.

6) $b < c < a$.
Это двойное неравенство означает, что должны одновременно выполняться два условия: $b < c$ и $c < a$. Рассмотрим первое условие: $b < c$. На прямой точка $b$ расположена правее точки $c$, что означает $b > c$. Так как первое условие ($b < c$) неверно, то и все двойное неравенство является неверным.
Ответ: неверно.

109 Сколько имеется точек с натуральными координатами, которые на координатной прямой расположены:

a) левее точки $A(15)$;

б) правее точки $B(10)$;

в) правее точки $C(12)$, но левее точки $D(22)$?

а)

Натуральные числа — это числа, используемые для счета предметов, то есть $1, 2, 3, \ldots$. Нам нужно найти количество точек с натуральными координатами, которые на координатной прямой расположены левее точки A(15). Это значит, что их координата $x$ должна быть натуральным числом и удовлетворять неравенству $x < 15$. Такими числами являются все натуральные числа от 1 до 14 включительно: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14$. Количество таких точек равно 14.

Ответ: 14.

б)

Нам нужно найти количество точек с натуральными координатами, которые расположены правее точки B(10). Это означает, что их координата $x$ должна быть натуральным числом и удовлетворять неравенству $x > 10$. К таким числам относятся $11, 12, 13, \ldots$ и так далее до бесконечности. Поскольку множество натуральных чисел бесконечно, то и количество точек, удовлетворяющих данному условию, будет бесконечным.

Ответ: бесконечно много.

в)

Нам нужно найти количество точек с натуральными координатами, которые расположены правее точки C(12), но левее точки D(22). Это значит, что их координата $x$ должна быть натуральным числом и удовлетворять двойному неравенству $12 < x < 22$. Этому условию удовлетворяют следующие натуральные числа: $13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21$. Чтобы посчитать их количество, можно из последней подходящей координаты (21) вычесть первую подходящую (13) и прибавить единицу: $21 - 13 + 1 = 9$. Либо можно из координаты правой границы вычесть координату левой границы и отнять единицу: $22 - 12 - 1 = 9$. Таким образом, существует 9 таких точек.

Ответ: 9.

110 Найдите:

1) координаты точек, которые находятся на расстоянии, равном 4 единицам от точки $A(13)$;

2) координаты точки, которая находится на одном и том же расстоянии от точек $B(18)$ и $C(14)$.

В каждом случае сделайте рисунок.

1) координаты точек, которые находятся на расстоянии, равном 4 единицам от точки A(13)

Пусть искомая точка имеет координату $x$. Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Согласно условию, расстояние от точки с координатой $x$ до точки $A(13)$ равно 4. Составим уравнение:

$|x - 13| = 4$

Это уравнение означает, что разность $x - 13$ может быть равна 4 или -4. Рассмотрим оба случая:

1) $x - 13 = 4$
$x = 13 + 4$
$x_1 = 17$

2) $x - 13 = -4$
$x = 13 - 4$
$x_2 = 9$

Следовательно, есть две такие точки с координатами 9 и 17.

Рисунок:

Ответ: 9 и 17.

2) координаты точки, которая находится на одном и том же расстоянии от точек B(18) и C(14)

Точка, равноудаленная от двух других точек на прямой, является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Найдем координату середины отрезка BC.

Координата середины отрезка вычисляется как среднее арифметическое координат его концов. Пусть искомая точка имеет координату $y$.

$y = \frac{14 + 18}{2}$

$y = \frac{32}{2}$

$y = 16$

Таким образом, точка с координатой 16 находится на одинаковом расстоянии от точек C(14) и B(18). Проверим: расстояние от 16 до 14 равно $|16 - 14| = 2$, расстояние от 16 до 18 равно $|16 - 18| = |-2| = 2$. Расстояния равны.

Рисунок:

Ответ: 16.

РАССУЖДАЕМ (111–112)

111 Сколько существует на координатной прямой пар точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки $M(50)$, координаты которых — натуральные числа? Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удалённых точек. Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

Сколько существует на координатной прямой пар точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки M(50), координаты которых — натуральные числа?

Пусть координаты искомых точек — $x_1$ и $x_2$. Эти точки должны быть равноудалены от точки $M(50)$. Обозначим это расстояние как $d$. Тогда одна точка будет находиться слева от $M$, а другая — справа, и их координаты можно выразить формулами:

$x_1 = 50 - d$

$x_2 = 50 + d$

По условию задачи, координаты $x_1$ и $x_2$ должны быть натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Следовательно, должны выполняться два условия: $x_1 \ge 1$ и $x_2 \ge 1$.

Рассмотрим первое условие:

$50 - d \ge 1$

$49 \ge d$, или $d \le 49$.

Второе условие, $50 + d \ge 1$, выполняется для любого положительного расстояния $d$.

Поскольку точки в паре должны быть различны, расстояние $d$ должно быть больше нуля ($d > 0$). Так как координаты $x_1$ и $x_2$ являются результатом вычитания/сложения целых чисел, и сами должны быть целыми (натуральными), то расстояние $d$ также должно быть целым числом.

Таким образом, $d$ может принимать любое целое значение от 1 до 49 включительно. Каждому такому значению $d$ соответствует одна уникальная пара точек. Количество возможных значений для $d$ равно $49 - 1 + 1 = 49$.

Ответ: Существует 49 таких пар точек.

Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удалённых точек.

Ближайшая пара точек соответствует наименьшему возможному расстоянию $d$. Наименьшее целое положительное значение для $d$ — это 1.

При $d=1$ получаем координаты:

$x_1 = 50 - 1 = 49$

$x_2 = 50 + 1 = 51$

Наиболее удалённая пара точек соответствует наибольшему возможному расстоянию $d$. Из предыдущего пункта мы знаем, что наибольшее возможное целое значение для $d$ — это 49.

При $d=49$ получаем координаты:

$x_1 = 50 - 49 = 1$

$x_2 = 50 + 49 = 99$

Ответ: Координаты ближайшей пары точек — (49, 51). Координаты наиболее удалённой пары точек — (1, 99).

Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

На рисунке ниже представлена координатная прямая с точкой $M(50)$. Синим цветом отмечена наиболее удалённая пара точек (1, 99) с расстоянием $d=49$ до точки $M$. Зелёным цветом отмечена ближайшая пара точек (49, 51) с расстоянием $d=1$ до точки $M$.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.

112 Возьмём некоторое число и обозначим его буквой $a$.

1) Пусть известно, что $a > 20$. Какое из двух неравенств в этом случае обязательно будет верным: $a > 10$ или $a > 30$?

2) Пусть $a < 20$. Какое из двух неравенств в этом случае всегда будет верным: $a < 10$ или $a < 30$?

3) Пусть $20 < a < 50$. Какое из двух утверждений при этом условии будет верным: $30 < a < 40$ или $10 < a < 100$?

Подсказка. Рассуждайте в каждом случае с опорой на координатную прямую; рисунки делайте схематично. Например, в первом случае может помочь рисунок 2.10.

10 20 $a$ 30

Рис. 2.10

1) Дано условие $a > 20$. Требуется определить, какое из двух неравенств, $a > 10$ или $a > 30$, обязательно будет верным.
Рассуждаем с опорой на координатную прямую. Условие $a > 20$ означает, что точка $a$ лежит на прямой правее точки 20.
Рассмотрим неравенство $a > 10$. Это означает, что точка $a$ лежит правее точки 10. Поскольку 20 находится правее 10, любая точка, которая находится правее 20, будет тем более находиться правее 10. Таким образом, если $a > 20$, то неравенство $a > 10$ верно всегда.
Рассмотрим неравенство $a > 30$. Это означает, что точка $a$ лежит правее точки 30. Это условие выполняется не всегда. Например, если $a = 25$, то исходное условие $25 > 20$ верно, а неравенство $25 > 30$ — ложно.
Следовательно, верным всегда будет только неравенство $a > 10$.
Ответ: $a > 10$

2) Дано условие $a < 20$. Требуется определить, какое из двух неравенств, $a < 10$ или $a < 30$, всегда будет верным.
Рассуждаем с опорой на координатную прямую. Условие $a < 20$ означает, что точка $a$ лежит на прямой левее точки 20.
Рассмотрим неравенство $a < 10$. Это означает, что точка $a$ лежит левее точки 10. Это условие выполняется не всегда. Например, если $a = 15$, то исходное условие $15 < 20$ верно, а неравенство $15 < 10$ — ложно.
Рассмотрим неравенство $a < 30$. Это означает, что точка $a$ лежит левее точки 30. Поскольку 20 находится левее 30, любая точка, которая находится левее 20, будет тем более находиться левее 30. Таким образом, если $a < 20$, то неравенство $a < 30$ верно всегда.
Следовательно, верным всегда будет только неравенство $a < 30$.
Ответ: $a < 30$

3) Дано условие $20 < a < 50$. Требуется определить, какое из двух утверждений, $30 < a < 40$ или $10 < a < 100$, будет верным.
Условие $20 < a < 50$ означает, что число $a$ заключено в интервале между 20 и 50. Это то же самое, что выполнение двух условий одновременно: $a > 20$ и $a < 50$.
Рассмотрим утверждение $30 < a < 40$. Оно будет верным, только если $a$ находится в интервале от 30 до 40. Но изначальное условие позволяет $a$ принимать значения, не входящие в этот интервал. Например, если $a = 25$ или $a = 45$, условие $20 < a < 50$ выполняется, а утверждение $30 < a < 40$ — нет. Значит, это утверждение не является всегда верным.
Рассмотрим утверждение $10 < a < 100$. Оно означает, что $a > 10$ и $a < 100$. Проверим, следует ли это из исходного условия $20 < a < 50$.
Из $a > 20$ следует, что $a > 10$ (как мы показали в пункте 1).
Из $a < 50$ следует, что $a < 100$ (по аналогии с пунктом 2, так как 50 меньше 100).
Поскольку обе части утверждения ($a > 10$ и $a < 100$) обязательно выполняются при условии $20 < a < 50$, то и все утверждение $10 < a < 100$ всегда будет верным.
Ответ: $10 < a < 100$