Номер 112, страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.3. Числа и точки на прямой. Глава 2. Натуральные числа - номер 112, страница 36.

112 Возьмём некоторое число и обозначим его буквой $a$.

1) Пусть известно, что $a > 20$. Какое из двух неравенств в этом случае обязательно будет верным: $a > 10$ или $a > 30$?

2) Пусть $a < 20$. Какое из двух неравенств в этом случае всегда будет верным: $a < 10$ или $a < 30$?

3) Пусть $20 < a < 50$. Какое из двух утверждений при этом условии будет верным: $30 < a < 40$ или $10 < a < 100$?

Подсказка. Рассуждайте в каждом случае с опорой на координатную прямую; рисунки делайте схематично. Например, в первом случае может помочь рисунок 2.10.

10 20 $a$ 30

Рис. 2.10

1) Дано условие $a > 20$. Требуется определить, какое из двух неравенств, $a > 10$ или $a > 30$, обязательно будет верным.
Рассуждаем с опорой на координатную прямую. Условие $a > 20$ означает, что точка $a$ лежит на прямой правее точки 20.
Рассмотрим неравенство $a > 10$. Это означает, что точка $a$ лежит правее точки 10. Поскольку 20 находится правее 10, любая точка, которая находится правее 20, будет тем более находиться правее 10. Таким образом, если $a > 20$, то неравенство $a > 10$ верно всегда.
Рассмотрим неравенство $a > 30$. Это означает, что точка $a$ лежит правее точки 30. Это условие выполняется не всегда. Например, если $a = 25$, то исходное условие $25 > 20$ верно, а неравенство $25 > 30$ — ложно.
Следовательно, верным всегда будет только неравенство $a > 10$.
Ответ: $a > 10$

2) Дано условие $a < 20$. Требуется определить, какое из двух неравенств, $a < 10$ или $a < 30$, всегда будет верным.
Рассуждаем с опорой на координатную прямую. Условие $a < 20$ означает, что точка $a$ лежит на прямой левее точки 20.
Рассмотрим неравенство $a < 10$. Это означает, что точка $a$ лежит левее точки 10. Это условие выполняется не всегда. Например, если $a = 15$, то исходное условие $15 < 20$ верно, а неравенство $15 < 10$ — ложно.
Рассмотрим неравенство $a < 30$. Это означает, что точка $a$ лежит левее точки 30. Поскольку 20 находится левее 30, любая точка, которая находится левее 20, будет тем более находиться левее 30. Таким образом, если $a < 20$, то неравенство $a < 30$ верно всегда.
Следовательно, верным всегда будет только неравенство $a < 30$.
Ответ: $a < 30$

3) Дано условие $20 < a < 50$. Требуется определить, какое из двух утверждений, $30 < a < 40$ или $10 < a < 100$, будет верным.
Условие $20 < a < 50$ означает, что число $a$ заключено в интервале между 20 и 50. Это то же самое, что выполнение двух условий одновременно: $a > 20$ и $a < 50$.
Рассмотрим утверждение $30 < a < 40$. Оно будет верным, только если $a$ находится в интервале от 30 до 40. Но изначальное условие позволяет $a$ принимать значения, не входящие в этот интервал. Например, если $a = 25$ или $a = 45$, условие $20 < a < 50$ выполняется, а утверждение $30 < a < 40$ — нет. Значит, это утверждение не является всегда верным.
Рассмотрим утверждение $10 < a < 100$. Оно означает, что $a > 10$ и $a < 100$. Проверим, следует ли это из исходного условия $20 < a < 50$.
Из $a > 20$ следует, что $a > 10$ (как мы показали в пункте 1).
Из $a < 50$ следует, что $a < 100$ (по аналогии с пунктом 2, так как 50 меньше 100).
Поскольку обе части утверждения ($a > 10$ и $a < 100$) обязательно выполняются при условии $20 < a < 50$, то и все утверждение $10 < a < 100$ всегда будет верным.
Ответ: $10 < a < 100$