Номер 111, страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.3. Числа и точки на прямой. Глава 2. Натуральные числа - номер 111, страница 36.

РАССУЖДАЕМ (111–112)

111 Сколько существует на координатной прямой пар точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки $M(50)$, координаты которых — натуральные числа? Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удалённых точек. Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

Сколько существует на координатной прямой пар точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки M(50), координаты которых — натуральные числа?

Пусть координаты искомых точек — $x_1$ и $x_2$. Эти точки должны быть равноудалены от точки $M(50)$. Обозначим это расстояние как $d$. Тогда одна точка будет находиться слева от $M$, а другая — справа, и их координаты можно выразить формулами:

$x_1 = 50 - d$

$x_2 = 50 + d$

По условию задачи, координаты $x_1$ и $x_2$ должны быть натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Следовательно, должны выполняться два условия: $x_1 \ge 1$ и $x_2 \ge 1$.

Рассмотрим первое условие:

$50 - d \ge 1$

$49 \ge d$, или $d \le 49$.

Второе условие, $50 + d \ge 1$, выполняется для любого положительного расстояния $d$.

Поскольку точки в паре должны быть различны, расстояние $d$ должно быть больше нуля ($d > 0$). Так как координаты $x_1$ и $x_2$ являются результатом вычитания/сложения целых чисел, и сами должны быть целыми (натуральными), то расстояние $d$ также должно быть целым числом.

Таким образом, $d$ может принимать любое целое значение от 1 до 49 включительно. Каждому такому значению $d$ соответствует одна уникальная пара точек. Количество возможных значений для $d$ равно $49 - 1 + 1 = 49$.

Ответ: Существует 49 таких пар точек.

Назовите координаты пары ближайших точек и пары наиболее удалённых точек.

Ближайшая пара точек соответствует наименьшему возможному расстоянию $d$. Наименьшее целое положительное значение для $d$ — это 1.

При $d=1$ получаем координаты:

$x_1 = 50 - 1 = 49$

$x_2 = 50 + 1 = 51$

Наиболее удалённая пара точек соответствует наибольшему возможному расстоянию $d$. Из предыдущего пункта мы знаем, что наибольшее возможное целое значение для $d$ — это 49.

При $d=49$ получаем координаты:

$x_1 = 50 - 49 = 1$

$x_2 = 50 + 49 = 99$

Ответ: Координаты ближайшей пары точек — (49, 51). Координаты наиболее удалённой пары точек — (1, 99).

Проиллюстрируйте свои рассуждения схематическим рисунком.

На рисунке ниже представлена координатная прямая с точкой $M(50)$. Синим цветом отмечена наиболее удалённая пара точек (1, 99) с расстоянием $d=49$ до точки $M$. Зелёным цветом отмечена ближайшая пара точек (49, 51) с расстоянием $d=1$ до точки $M$.

Ответ: Схематический рисунок представлен выше.