Страница 33 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

97 Проведите какую-нибудь горизонтальную прямую.

1) Отметьте на прямой точки $K$, $L$, $M$ и $N$, удовлетворяющие условиям: отрезок $KL$ больше отрезка $LM$; точка $N$ принадлежит отрезку $KL$ и делит его пополам.

2) Измерьте длину отрезка $NM$ и запишите результат.

3) Какой отрезок больше: $NL$ или $LM$?

Для решения этой задачи выполним все действия по шагам на примере с конкретными длинами отрезков.

Сначала проведем горизонтальную прямую. На этой прямой последовательно отметим точки $K$, $L$ и $M$ слева направо.

Выберем длины отрезков $KL$ и $LM$ так, чтобы выполнялось условие $KL > LM$. Например, пусть длина отрезка $KL$ будет равна 6 см, а длина отрезка $LM$ — 4 см. Условие $6 \text{ см} > 4 \text{ см}$ выполняется.

Далее, по условию, точка $N$ принадлежит отрезку $KL$ и делит его пополам. Это означает, что $N$ является серединой отрезка $KL$. Найдем длину отрезков $KN$ и $NL$:

$KN = NL = \frac{KL}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$.

Таким образом, точка $N$ расположена между точками $K$ и $L$. Итоговый порядок точек на прямой (слева направо): $K$, $N$, $L$, $M$.

Ответ: На прямой отмечены точки в порядке $K, N, L, M$ со следующими длинами отрезков: $KL=6$ см, $LM=4$ см, $KN=3$ см, $NL=3$ см.

Чтобы найти длину отрезка $NM$, нужно сложить длины отрезков $NL$ и $LM$, так как точка $L$ лежит между точками $N$ и $M$.

Используя длины, которые мы выбрали в пункте 1, получаем:

$NM = NL + LM = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Ответ: Длина отрезка $NM$ равна 7 см.

Сравним длины отрезков $NL$ и $LM$ в нашем примере.

Длина отрезка $NL = 3$ см.

Длина отрезка $LM = 4$ см.

Поскольку $3 < 4$, то отрезок $NL$ короче отрезка $LM$.

Следует отметить, что результат сравнения зависит от первоначального выбора длин отрезков. Условие было только $KL > LM$. Мы сравниваем $NL = \frac{KL}{2}$ и $LM$. В зависимости от того, насколько $KL$ больше $LM$, возможны три ситуации:

1. $NL < LM$ (как в нашем примере, где $6 < 2 \cdot 4$).

2. $NL = LM$ (если бы мы выбрали $KL = 8$ см и $LM = 4$ см, так как $8 = 2 \cdot 4$).

3. $NL > LM$ (если бы мы выбрали $KL = 10$ см и $LM = 4$ см, так как $10 > 2 \cdot 4$).

Для выполненного нами построения верен первый случай.

Ответ: Отрезок $LM$ больше, чем отрезок $NL$.

98 Выполните действия:

а) $742 + 2638;$

б) $5401 - 627;$

в) $427 \cdot 30;$

г) $25 \cdot 125;$

д) $1680 : 48;$

е) $8712 : 33.$

а) Выполним сложение чисел 742 и 2638 в столбик. Складываем разряды справа налево (единицы, десятки, сотни, тысячи), производя перенос в старший разряд при необходимости.
742
+ 2638
-------
3380
$742 + 2638 = 3380$
Ответ: 3380

б) Выполним вычитание числа 627 из 5401 в столбик. Вычитаем разряды справа налево, при необходимости занимая единицу из старшего разряда.
5401
- 627
-------
4774
$5401 - 627 = 4774$
Ответ: 4774

в) Для умножения 427 на 30, можно умножить 427 на 3 и приписать к результату ноль. Выполним умножение в столбик:
427
× 30
-------
000
+1281
-------
12810
$427 \cdot 30 = 12810$
Ответ: 12810

г) Выполним умножение чисел 25 и 125 в столбик. Сначала умножим 125 на 5 (единицы), затем 125 на 2 (десятки) и сложим полученные произведения.
125
× 25
-------
625
+250
-------
3125
$25 \cdot 125 = 3125$
Ответ: 3125

д) Выполним деление 1680 на 48 столбиком (уголком).
1. Находим первое неполное делимое: 168. Делим 168 на 48. Подбираем частное 3. Умножаем $3 \cdot 48 = 144$. Находим остаток: $168 - 144 = 24$.
2. Сносим следующую цифру делимого (0), получаем число 240. Делим 240 на 48. Подбираем частное 5. Умножаем $5 \cdot 48 = 240$. Находим остаток: $240 - 240 = 0$.
$1680 : 48 = 35$
Ответ: 35

е) Выполним деление 8712 на 33 столбиком (уголком).
1. Находим первое неполное делимое: 87. Делим 87 на 33. Подбираем частное 2. Умножаем $2 \cdot 33 = 66$. Находим остаток: $87 - 66 = 21$.
2. Сносим следующую цифру (1), получаем число 211. Делим 211 на 33. Подбираем частное 6. Умножаем $6 \cdot 33 = 198$. Находим остаток: $211 - 198 = 13$.
3. Сносим следующую цифру (2), получаем число 132. Делим 132 на 33. Подбираем частное 4. Умножаем $4 \cdot 33 = 132$. Находим остаток: $132 - 132 = 0$.
$8712 : 33 = 264$
Ответ: 264

99 а) В книжный шкаф на нижнюю полку поставили 17 книг, на среднюю — столько же, сколько на нижнюю, а на верхнюю — на 15 книг меньше, чем на нижнюю и среднюю вместе. Сколько всего книг поставили в шкаф?

б) В ящике учительского стола лежат синие, красные и зелёные ручки. Зелёных ручек 22, красных на 7 штук меньше, а синих на 11 больше, чем зелёных и красных вместе. Сколько всего ручек в ящике?

а)

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём количество книг на средней полке. По условию, оно равно количеству книг на нижней полке:

$17$ книг.

2. Узнаем, сколько всего книг на нижней и средней полках вместе:

$17 + 17 = 34$ (книги).

3. Вычислим количество книг на верхней полке. Их на 15 меньше, чем на нижней и средней полках вместе:

$34 - 15 = 19$ (книг).

4. Найдём общее количество книг в шкафу, сложив количество книг на всех трёх полках:

$17 + 17 + 19 = 53$ (книги).

Ответ: 53 книги.

б)

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём количество красных ручек. Их на 7 штук меньше, чем зелёных:

$22 - 7 = 15$ (красных ручек).

2. Узнаем, сколько зелёных и красных ручек вместе:

$22 + 15 = 37$ (ручек).

3. Вычислим количество синих ручек. Их на 11 больше, чем зелёных и красных ручек вместе:

$37 + 11 = 48$ (синих ручек).

4. Найдём общее количество ручек в ящике, сложив количество ручек всех трёх цветов:

$22 + 15 + 48 = 85$ (ручек).

Ответ: 85 ручек.

100 a) В торговый зал магазина доставили 8 ящиков с пакетами молока, по 15 пакетов в каждом. В зале к этому моменту осталось 24 непроданных пакета. Во сколько раз новых пакетов с молоком больше, чем оставшихся? На сколько меньше количество оставшихся пакетов, чем вновь доставленных?

б) В партере зрительного зала 12 рядов, по 18 мест в каждом, а на балконе 54 места. Во сколько раз мест на балконе меньше, чем в партере? На сколько мест в партере больше, чем на балконе?

а)

1. Сначала найдем общее количество новых пакетов с молоком, которые доставили в магазин. Для этого умножим количество ящиков на количество пакетов в каждом ящике:

$8 \text{ ящиков} \times 15 \text{ пакетов} = 120 \text{ пакетов}$

Таким образом, в магазин доставили 120 новых пакетов молока.

2. Теперь ответим на первый вопрос: "Во сколько раз новых пакетов с молоком больше, чем оставшихся?". В магазине было 24 оставшихся пакета. Чтобы найти, во сколько раз одно число больше другого, нужно большее число разделить на меньшее:

$120 : 24 = 5$

Значит, новых пакетов в 5 раз больше, чем оставшихся.

3. Ответим на второй вопрос: "На сколько меньше количество оставшихся пакетов, чем вновь доставленных?". Чтобы найти, на сколько одно число меньше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее:

$120 - 24 = 96 \text{ пакетов}$

Значит, оставшихся пакетов на 96 меньше, чем вновь доставленных.

Ответ: Новых пакетов с молоком в 5 раз больше, чем оставшихся. Оставшихся пакетов на 96 меньше, чем вновь доставленных.

б)

1. Сначала найдем общее количество мест в партере. Для этого умножим количество рядов на количество мест в каждом ряду:

$12 \text{ рядов} \times 18 \text{ мест} = 216 \text{ мест}$

Всего в партере 216 мест.

2. Теперь ответим на первый вопрос: "Во сколько раз мест на балконе меньше, чем в партере?". На балконе 54 места. Чтобы найти, во сколько раз одно число меньше другого, нужно большее число разделить на меньшее:

$216 : 54 = 4$

Следовательно, мест на балконе в 4 раза меньше, чем в партере.

3. Ответим на второй вопрос: "На сколько мест в партере больше, чем на балконе?". Чтобы найти, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее:

$216 - 54 = 162 \text{ места}$

Следовательно, в партере на 162 места больше, чем на балконе.

Ответ: Мест на балконе в 4 раза меньше, чем в партере. В партере на 162 места больше, чем на балконе.