Страница 28 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

72 Перечертите в тетрадь ломаную (рис. 2.2). Измерьте и запишите длину каждого звена. Вычислите длину ломаной (выразите её в сантиметрах и миллиметрах).

Рис. 2.2

Для решения задачи необходимо измерить длину каждого звена ломаной и затем сложить полученные значения. Ломаная на рисунке 2.2 (ABCD) состоит из трех последовательно соединенных звеньев: AB, BC и CD. Поскольку точное измерение по изображению невозможно, мы рассчитаем длины, приняв, что сторона одной клетки на сетке равна 5 мм (0,5 см). Для расчета длин звеньев, которые являются гипотенузами воображаемых прямоугольных треугольников, воспользуемся теоремой Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $c$ — длина звена, а $a$ и $b$ — его проекции на горизонтальную и вертикальную оси (катеты).

Измерьте и запишите длину каждого звена.

Рассчитаем длину каждого из трех звеньев ломаной.

1. Звено AB: Смещение по горизонтали составляет 4 клетки ($4 \times 0,5 = 2$ см), а по вертикали — 5 клеток ($5 \times 0,5 = 2,5$ см). Длина звена AB равна:$L_{AB} = \sqrt{(2 \text{ см})^2 + (2,5 \text{ см})^2} = \sqrt{4 + 6,25} = \sqrt{10,25} \approx 3,2$ см.

2. Звено BC: Смещение по горизонтали составляет 4 клетки ($4 \times 0,5 = 2$ см), а по вертикали — 2 клетки ($2 \times 0,5 = 1$ см). Длина звена BC равна:$L_{BC} = \sqrt{(2 \text{ см})^2 + (1 \text{ см})^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2,2$ см.

3. Звено CD: Смещение по горизонтали составляет 3 клетки ($3 \times 0,5 = 1,5$ см), а по вертикали — 2 клетки ($2 \times 0,5 = 1$ см). Длина звена CD равна:$L_{CD} = \sqrt{(1,5 \text{ см})^2 + (1 \text{ см})^2} = \sqrt{2,25 + 1} = \sqrt{3,25} \approx 1,8$ см.

Ответ: Длина звена AB ≈ 3,2 см (32 мм); длина звена BC ≈ 2,2 см (22 мм); длина звена CD ≈ 1,8 см (18 мм).

Вычислите длину ломаной (выразите её в сантиметрах и миллиметрах).

Длина всей ломаной равна сумме длин её звеньев:

$L = L_{AB} + L_{BC} + L_{CD} \approx 3,2 \text{ см} + 2,2 \text{ см} + 1,8 \text{ см} = 7,2 \text{ см}$.

Теперь выразим эту длину в миллиметрах. Зная, что в 1 сантиметре 10 миллиметров, получаем:

$7,2 \text{ см} = 7,2 \times 10 \text{ мм} = 72 \text{ мм}$.

Таким образом, длина ломаной составляет 7 сантиметров 2 миллиметра.

Ответ: Длина ломаной равна 7,2 см или 72 мм.

73 Найдите значение выражения (вычисляйте промежуточные результаты устно):

a) $(7 + 14) \cdot (3 + 29);$

б) $(6 + 19) \cdot (28 + 7);$

в) $(6 + 18) \cdot 15;$

г) $(9 + 12) \cdot (16 + 25).$

а) $(7 + 14) \cdot (3 + 29)$

Сначала выполняем действия в скобках. Первое действие — сложение в первой скобке:

$7 + 14 = 21$

Второе действие — сложение во второй скобке:

$3 + 29 = 32$

Третье действие — умножение результатов:

$21 \cdot 32 = 672$

Для устного вычисления можно разложить один из множителей: $21 \cdot (30 + 2) = 21 \cdot 30 + 21 \cdot 2 = 630 + 42 = 672$.

Ответ: 672

б) $(6 + 19) \cdot (28 + 7)$

Сначала выполняем действия в скобках. Первое действие — сложение в первой скобке:

$6 + 19 = 25$

Второе действие — сложение во второй скобке:

$28 + 7 = 35$

Третье действие — умножение результатов:

$25 \cdot 35 = 875$

Для устного вычисления можно использовать свойство умножения: $25 \cdot 35 = 25 \cdot (30 + 5) = 25 \cdot 30 + 25 \cdot 5 = 750 + 125 = 875$.

Ответ: 875

в) $(6 + 18) \cdot 15$

Сначала выполняем действие в скобках:

$6 + 18 = 24$

Затем умножаем полученный результат на 15:

$24 \cdot 15 = 360$

Для устного вычисления можно представить 15 как $10 + 5$: $24 \cdot (10 + 5) = 24 \cdot 10 + 24 \cdot 5 = 240 + 120 = 360$.

Ответ: 360

г) $(9 + 12) \cdot (16 + 25)$

Сначала выполняем действия в скобках. Первое действие — сложение в первой скобке:

$9 + 12 = 21$

Второе действие — сложение во второй скобке:

$16 + 25 = 41$

Третье действие — умножение результатов:

$21 \cdot 41 = 861$

Для устного вычисления можно разложить один из множителей: $21 \cdot (40 + 1) = 21 \cdot 40 + 21 \cdot 1 = 840 + 21 = 861$.

Ответ: 861

74 Купили 1 кг 500 г слив, лимонов в 2 раза меньше, чем слив, а персиков в 3 раза больше, чем лимонов. Сколько всего купили фруктов? (Выразите массу в килограммах и граммах.)

Для решения задачи сначала найдем массу лимонов и персиков, а затем сложим массу всех фруктов.

1. Найдем массу лимонов
Сначала выразим массу слив в граммах для удобства расчетов. Так как $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, то:
$1 \text{ кг } 500 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 1500 \text{ г}$.
По условию, лимонов купили в 2 раза меньше, чем слив. Следовательно, масса лимонов равна:
$1500 \text{ г} : 2 = 750 \text{ г}$.

2. Найдем массу персиков
Масса персиков в 3 раза больше массы лимонов. Вычислим массу персиков:
$750 \text{ г} \cdot 3 = 2250 \text{ г}$.

3. Найдем общую массу всех фруктов
Теперь сложим массу слив, лимонов и персиков:
$1500 \text{ г} \text{ (сливы)} + 750 \text{ г} \text{ (лимоны)} + 2250 \text{ г} \text{ (персики)} = 4500 \text{ г}$.

4. Выразим общую массу в килограммах и граммах
Переведем полученную массу обратно в килограммы и граммы:
$4500 \text{ г} = 4000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 4 \text{ кг } 500 \text{ г}$.
Ответ: 4 кг 500 г

75 Имеются полные банки с жидкостью ёмкостью 360 мл, 500 мл, 680 мл, 800 мл. Можно ли слить всю эту жидкость в бидон, ёмкость которого 2 л 500 мл?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сначала найти общий объём жидкости во всех банках, а затем сравнить его с ёмкостью бидона.

1. Найдём суммарный объём жидкости, сложив объёмы всех банок:

$360 \text{ мл} + 500 \text{ мл} + 680 \text{ мл} + 800 \text{ мл} = 2340 \text{ мл}$

2. Теперь переведём ёмкость бидона в миллилитры. В одном литре содержится 1000 миллилитров, поэтому:

$2 \text{ л } 500 \text{ мл} = 2 \times 1000 \text{ мл} + 500 \text{ мл} = 2500 \text{ мл}$

3. Сравним общий объём жидкости с ёмкостью бидона:

$2340 \text{ мл} < 2500 \text{ мл}$

Поскольку общий объём жидкости (2340 мл) меньше, чем ёмкость бидона (2500 мл), вся жидкость поместится в бидон.

Ответ: да, можно.