Страница 21 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Арбелос

Рис. 1.35

56 ИЩЕМ СПОСОБ КОПИРОВАНИЯ

Арбелос – это и нож, которым пользовались ещё древнегреческие сапожники, и геометрическая фигура, ограниченная тремя полуокружностями, похожая на этот нож (рис. 1.35). Начертите арбелос в тетради, задав размеры самостоятельно.

Ищем способ копирования

Арбелос — это геометрическая фигура, которая ограничена тремя полуокружностями, построенными на одном отрезке-основании. Для того чтобы начертить арбелос в тетради, необходимо выполнить несколько шагов с помощью циркуля и линейки, предварительно задав размеры.

Выберем размеры для построения. Пусть диаметр большой полуокружности, $AB$, равен 12 см. Этот диаметр является суммой диаметров двух меньших полуокружностей. Разделим отрезок $AB$ точкой $C$ на два отрезка, которые будут служить диаметрами для малых полуокружностей. Пусть длина отрезка $AC$ будет 8 см, а длина отрезка $CB$ — 4 см. Тогда радиусы полуокружностей будут равны:
- Радиус большой полуокружности: $R = AB / 2 = 12 / 2 = 6$ см.
- Радиус первой малой полуокружности: $r_1 = AC / 2 = 8 / 2 = 4$ см.
- Радиус второй малой полуокружности: $r_2 = CB / 2 = 4 / 2 = 2$ см.

Пошаговый план построения:

1. С помощью линейки начертите горизонтальный отрезок $AB$ длиной 12 см.
2. Найдите середину отрезка $AB$ (назовем ее точкой $O$). Установите в эту точку ножку циркуля, а грифель — в точку $A$ (или $B$). Начертите полуокружность с радиусом $R = 6$ см над отрезком $AB$.
3. На отрезке $AB$ от точки $A$ отложите 8 см и отметьте точку $C$.
4. Найдите середину отрезка $AC$ (точка $O_1$). Из центра $O_1$ начертите полуокружность с радиусом $r_1 = 4$ см над отрезком $AC$.
5. Найдите середину отрезка $CB$ (точка $O_2$). Из центра $O_2$ начертите полуокружность с радиусом $r_2 = 2$ см над отрезком $CB$.
Полученная фигура, которая ограничена сверху дугой большой полуокружности, а снизу — дугами двух малых, и является арбелосом. Для наглядности можно заштриховать эту область.

Ответ: Чтобы начертить арбелос, необходимо выбрать длину отрезка-основания (например, 12 см), который будет служить диаметром большой полуокружности. Затем нужно разделить этот отрезок на две части (например, 8 см и 4 см), которые станут диаметрами для двух меньших полуокружностей. После этого следует построить все три полуокружности с одной стороны от отрезка-основания, используя вычисленные радиусы (6 см, 4 см и 2 см). Подробный алгоритм построения представлен выше.

57 Саша сделал по дорожке 20 шагов и измерил длину пройденного пути. Получилось 10 м. Какова средняя длина его шага?

Чтобы найти среднюю длину одного шага, необходимо разделить общую длину пройденного пути на количество сделанных шагов.

Дано:
Общее расстояние = 10 м
Количество шагов = 20

Выполним деление:

$ \frac{10 \text{ м}}{20 \text{ шагов}} = 0,5 \text{ м} $

Таким образом, средняя длина одного шага Саши составляет 0,5 метра. Для удобства можно перевести это значение в сантиметры, зная, что 1 метр равен 100 сантиметрам:

$ 0,5 \text{ м} \times 100 = 50 \text{ см} $

Ответ: средняя длина шага Саши составляет 0,5 м (или 50 см).

58 Найдите значение выражения:

а) $(15 - 8) \cdot (20 - 15);$

б) $(14 - 6) \cdot (30 - 24);$

в) $(11 - 4) \cdot (20 - 12);$

г) $(16 - 7) \cdot (30 - 25).$

а) $(15 - 8) \cdot (20 - 15)$

Для нахождения значения выражения необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем выполнить умножение полученных результатов.

1. Выполним вычитание в первой скобке: $15 - 8 = 7$.

2. Выполним вычитание во второй скобке: $20 - 15 = 5$.

3. Умножим результаты: $7 \cdot 5 = 35$.

Ответ: 35

б) $(14 - 6) \cdot (30 - 24)$

Порядок действий аналогичен предыдущему примеру: сначала вычисления в скобках, затем умножение.

1. Выполним вычитание в первой скобке: $14 - 6 = 8$.

2. Выполним вычитание во второй скобке: $30 - 24 = 6$.

3. Умножим результаты: $8 \cdot 6 = 48$.

Ответ: 48

в) $(11 - 4) \cdot (20 - 12)$

Следуем установленному порядку действий.

1. Выполним вычитание в первой скобке: $11 - 4 = 7$.

2. Выполним вычитание во второй скобке: $20 - 12 = 8$.

3. Умножим результаты: $7 \cdot 8 = 56$.

Ответ: 56

г) $(16 - 7) \cdot (30 - 25)$

Выполняем вычисления в том же порядке.

1. Выполним вычитание в первой скобке: $16 - 7 = 9$.

2. Выполним вычитание во второй скобке: $30 - 25 = 5$.

3. Умножим результаты: $9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45

59 a) Маша купила три пачки печенья по 16 р. за пачку и один пакет сока за 28 р. Какую сдачу получила Маша, если она дала кассиру 100 р.?

б) Хватит ли 1000 р., чтобы купить 6 видеокассет по 175 р.? А какое наибольшее число видеокассет можно купить на эти деньги? Сколько денег останется?

а)

1. Сначала найдем общую стоимость печенья. Маша купила 3 пачки по 16 рублей каждая:
$3 \times 16 = 48$ р.

2. Теперь найдем общую стоимость всей покупки, прибавив к стоимости печенья стоимость сока:
$48 + 28 = 76$ р.

3. Наконец, вычислим сдачу, которую Маша получила со 100 рублей:
$100 - 76 = 24$ р.

Ответ: Маша получила 24 рубля сдачи.

б)

1. Сначала ответим на первый вопрос: хватит ли 1000 рублей, чтобы купить 6 видеокассет по 175 рублей. Для этого найдем стоимость 6 видеокассет:
$6 \times 175 = 1050$ р.
Так как $1050 > 1000$, то 1000 рублей не хватит на покупку 6 видеокассет.

2. Теперь найдем, какое наибольшее число видеокассет можно купить на 1000 рублей. Для этого разделим общую сумму денег на цену одной кассеты:
$1000 \div 175 \approx 5.71$
Поскольку можно купить только целое число кассет, наибольшее возможное количество — 5.

3. Узнаем, сколько денег будет потрачено на 5 кассет:
$5 \times 175 = 875$ р.

4. Вычислим, сколько денег останется после покупки:
$1000 - 875 = 125$ р.

Ответ: Нет, 1000 рублей не хватит, чтобы купить 6 видеокассет. Наибольшее число видеокассет, которое можно купить — 5. Останется 125 рублей.

60 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

объясните, в чём ошибка. Найдите среди данных записей неверные и

1) $1 \text{ км } 90 \text{ м } = 190 \text{ м}.$

2) $3 \text{ м } 50 \text{ см } = 35 \text{ дм}.$

3) $247 \text{ мм } = 2 \text{ м } 47 \text{ см}.$

4) $1865 \text{ м } = 1 \text{ км } 865 \text{ м}.$

1) 1 км 90 м = 190 м

Запись неверна. В одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$), а не 100 метров. Поэтому правильный перевод величины в метры выполняется следующим образом:

$1 \text{ км } 90 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 90 \text{ м} = 1090 \text{ м}$.

Полученный результат $1090 \text{ м}$ не равен $190 \text{ м}$. Ошибка в записи возникла из-за неверного предположения, что $1 \text{ км} = 100 \text{ м}$.

Ответ: неверно.

2) 3 м 50 см = 35 дм

Запись верна. Для проверки переведём обе части равенства в одну единицу измерения, например, в дециметры. Используем соотношения: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ и $10 \text{ см} = 1 \text{ дм}$.

Левая часть: $3 \text{ м } 50 \text{ см} = 3 \times 10 \text{ дм} + 50 \div 10 \text{ дм} = 30 \text{ дм} + 5 \text{ дм} = 35 \text{ дм}$.

Правая часть равна $35 \text{ дм}$. Поскольку левая и правая части равны ($35 \text{ дм} = 35 \text{ дм}$), утверждение является верным.

Ответ: верно.

3) 247 мм = 2 м 47 см

Запись неверна. Для проверки правильности утверждения переведём обе части в одну единицу измерения, например, в миллиметры. Используем соотношения: $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

Правая часть: $2 \text{ м } 47 \text{ см} = 2 \times 1000 \text{ мм} + 47 \times 10 \text{ мм} = 2000 \text{ мм} + 470 \text{ мм} = 2470 \text{ мм}$.

Сравнивая левую и правую части, получаем $247 \text{ мм} \neq 2470 \text{ мм}$. Ошибка заключается в неверном соотнесении единиц измерения. Правильно было бы записать, что $247 \text{ мм} = 24 \text{ см } 7 \text{ мм}$.

Ответ: неверно.

4) 1865 м = 1 км 865 м

Запись верна. В одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).

Чтобы представить 1865 метров в километрах и метрах, выделим целое число тысяч: $1865 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 865 \text{ м}$.

Заменив 1000 м на 1 км, получаем: $1000 \text{ м} + 865 \text{ м} = 1 \text{ км } 865 \text{ м}$.

Таким образом, равенство $1865 \text{ м} = 1 \text{ км } 865 \text{ м}$ является верным.

Ответ: верно.