Страница 22 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Умею проводить и обозначать прямые, лучи, строить и измерять отрезки.

Отметьте точки $A$ и $B$. Проведите прямую $AB$. Отложите на этой прямой отрезок $NM$, равный отрезку $AB$. Найдите длину отрезка $AN$. Выпишите лучи с началом в точке $M$.

Для решения этой задачи выполним последовательно все указанные действия. Задача содержит некоторую неоднозначность в условии, поэтому сначала мы проанализируем возможные варианты и выберем наиболее обоснованный, а затем на его основе найдем требуемые величины.

Анализ условия и построение

1. Согласно условию, мы отмечаем две различные точки $A$ и $B$ и проводим через них прямую. Эти точки образуют отрезок $AB$, длину которого мы можем обозначить как $L$, то есть $|AB| = L$.

2. Далее требуется отложить на этой прямой отрезок $NM$, равный отрезку $AB$". Это означает, что мы должны построить на прямой $AB$ новый отрезок $NM$ так, чтобы его длина была равна $L$.

3. Формулировка не задает точное положение отрезка $NM$ относительно точек $A$ и $B$. Это создает неоднозначность, которая может привести к разным ответам. Например:

• Если отрезок $NM$ полностью совпадает с отрезком $AB$ (например, $N=A$, $M=B$), то длина отрезка $AN$ будет равна нулю.
• Если отрезок $NM$ полностью совпадает с отрезком $BA$ (то есть $N=B$, $M=A$), то длина отрезка $AN$ будет равна длине отрезка $AB$.
• Если отрезок $NM$ является продолжением отрезка $AB$ (например, точка $B$ лежит между $A$ и $N$), то длина $AN$ будет другой.

В учебных задачах обычно предполагается один "классический" вариант построения. Наиболее распространенным таким построением является продление данного отрезка на его длину. Будем следовать этому варианту, так как он приводит к определенному и логичному решению для всех частей задачи.

Итак, выполним построение: от точки $B$ на прямой $AB$ отложим отрезок в сторону, противоположную точке $A$. Конец этого нового отрезка обозначим точкой $N$. В результате такого построения точка $B$ будет лежать ровно посередине между точками $A$ и $N$, и длина отрезка $BN$ будет равна длине отрезка $AB$.

Мы построили отрезок $BN$. В условии задачи этот отрезок назван $NM$. Следовательно, концы отрезка — это $N$ и $M$. Так как мы строили отрезок от точки $B$ к точке $N$, его концами являются $B$ и $N$. Сопоставляя с названием $NM$, мы делаем вывод, что точка $M$ совпадает с точкой $B$.

Таким образом, на прямой точки расположены в следующем порядке: $A - B(M) - N$, и выполняется равенство $|AB| = |BN|$.

Найдите длину отрезка AN

Чтобы найти длину отрезка $AN$, воспользуемся аксиомой измерения отрезков. Так как точка $B$ (которая совпадает с $M$) лежит между точками $A$ и $N$, длина всего отрезка $AN$ равна сумме длин его частей, $AB$ и $BN$.

Запишем это в виде формулы:

$|AN| = |AB| + |BN|$

Из нашего построения мы знаем, что длина отрезка $BN$ равна длине отрезка $AB$.

$|BN| = |AB|$

Подставим это значение в нашу формулу:

$|AN| = |AB| + |AB| = 2 \cdot |AB|$

Следовательно, длина отрезка $AN$ в два раза больше длины исходного отрезка $AB$.

Ответ: Длина отрезка $AN$ равна удвоенной длине отрезка $AB$.

Выпишите лучи с началом в точке М

Как мы установили в ходе рассуждений, точка $M$ совпадает с точкой $B$. Значит, нам нужно указать все лучи, которые выходят из точки $B$.

Любая точка на прямой делит эту прямую на два луча, направленные в противоположные стороны. В нашем случае точка $B$ (или $M$) лежит на прямой, на которой также находятся точки $A$ и $N$.

1. Один луч начинается в точке $M$ (то есть $B$) и проходит через точку $A$. Этот луч обозначается $MA$ или $BA$.

2. Второй луч также начинается в точке $M$ (то есть $B$), но направлен в противоположную сторону и проходит через точку $N$. Этот луч обозначается $MN$ или $BN$.

Ответ: Лучи с началом в точке $M$: луч $MA$ (он же $BA$) и луч $MN$ (он же $BN$).

Умею находить длину ломаной.

2. Найдите длины ломаных, изображённых на рисунке.

а) б) Умею строить окружность заданного радиуса, окружность с заданным центром, проходящую через заданную точку. Знаю, как связаны радиус и диаметр окружности.

Длина ломаной линии — это сумма длин всех отрезков (звеньев), из которых она состоит. Чтобы найти длины ломаных, изображённых на рисунке, необходимо измерить длину каждого звена с помощью линейки и сложить полученные результаты. Так как точные размеры не даны, измерения будут приблизительными.

а)

Данная ломаная состоит из трёх звеньев. Произведём их замеры:

• Длина первого звена составляет примерно 3,5 см.
• Длина второго звена составляет примерно 3,0 см.
• Длина третьего звена составляет примерно 2,0 см.

Чтобы найти общую длину ломаной, сложим длины всех её звеньев:

$L = 3,5 \text{ см} + 3,0 \text{ см} + 2,0 \text{ см} = 8,5 \text{ см}$.

Ответ: Длина ломаной на рисунке а) составляет примерно 8,5 см.

б)

Эта ломаная является замкнутой и представляет собой треугольник. Она состоит из трёх звеньев (сторон). Произведём их замеры:

• Длина основания треугольника составляет примерно 3,2 см.
• Длина левой боковой стороны составляет примерно 3,0 см.
• Длина правой боковой стороны составляет примерно 3,0 см.

Чтобы найти общую длину ломаной, сложим длины всех её звеньев:

$L = 3,2 \text{ см} + 3,0 \text{ см} + 3,0 \text{ см} = 9,2 \text{ см}$.

Ответ: Длина ломаной на рисунке б) составляет примерно 9,2 см.

3. Отметьте точку $O$. Проведите окружность с центром в точке $O$ и радиусом 4 см. Чему равен диаметр этой окружности?

3.

Задача состоит из двух частей: практической (построение) и теоретической (вычисление). Поскольку я не могу выполнить построение, я предоставлю развернутое решение для второй части вопроса.

Чтобы найти диаметр окружности, зная её радиус, необходимо воспользоваться определением этих величин.

Радиус ($r$) — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности. По условию задачи, радиус равен 4 см.

$r = 4$ см

Диаметр ($d$) — это отрезок, который соединяет две самые удалённые друг от друга точки на окружности и обязательно проходит через её центр. Длина диаметра равна двум радиусам.

Формула для вычисления диаметра через радиус:

$d = 2 \cdot r$

Подставим в формулу известное значение радиуса:

$d = 2 \cdot 4$ см

$d = 8$ см

Следовательно, диаметр окружности с радиусом 4 см равен 8 см.

Ответ: 8 см.

4. Отметьте точки A и B. Проведите окружность с центром в точке A, проходящую через точку B. Проведите радиус окружности и найдите его длину.

Отметьте точки A и B.
На плоскости необходимо произвольно выбрать и обозначить две точки, назвав их A и B.

Проведите окружность с центром в точке A, проходящую через точку B.
По условию, точка A является центром окружности. Поскольку окружность проходит через точку B, это означает, что точка B лежит на этой окружности. Расстояние от центра (точка A) до любой точки на окружности (включая точку B) является постоянным и называется радиусом. Для построения такой окружности обычно используют циркуль: его игла устанавливается в центр (точку A), а грифель — на точку B, после чего чертится окружность.

Проведите радиус окружности и найдите его длину.
Радиус окружности — это любой отрезок, который соединяет её центр с любой точкой на самой окружности. В нашем случае центром является точка A, а точка B лежит на окружности. Следовательно, отрезок AB является радиусом данной окружности. Проведем этот отрезок.
Длина радиуса (обозначим ее как $R$) равна длине отрезка AB. Так как в задаче не указаны координаты точек или масштаб, мы можем выразить длину радиуса только через обозначения точек.

Ответ: Радиусом окружности является отрезок AB. Его длина $R$ равна расстоянию между точками A и B, что можно записать как $R = |AB|$.

Знаю единицы длины метрической системы мер; умею выражать одни единицы измерения длины через другие.

5. Назовите предмет:

а) размеры которого меньше 1 см;

б) длина которого больше 1 м.

а) Существует множество предметов, размеры которых меньше $1 \text{ см}$. К таким предметам можно отнести, например, муравья, горошину, рисовое зёрнышко, маленькую пуговицу или кончик шариковой ручки.
Ответ: Муравей.

б) Предметов, длина которых больше $1 \text{ м}$, также очень много. В качестве примера можно привести автомобиль, дерево, кровать, высоту двери или рост взрослого человека.
Ответ: Дерево.

6. Заполните пропуски:

$3 \text{ см } 2 \text{ мм } = \dots \text{ мм};$

$5 \text{ м } 20 \text{ см } = \dots \text{ см};$

$325 \text{ см } = \dots \text{ м } \dots \text{ см};$

$672 \text{ мм } = \dots \text{ см } \dots \text{ мм}.$

Могу выполнить ещё и другие задания (укажите несколько номеров).

3 см 2 мм = ... мм

Для того чтобы перевести 3 сантиметра и 2 миллиметра в миллиметры, нужно сначала перевести сантиметры в миллиметры, а затем прибавить оставшиеся миллиметры.
Мы знаем, что в одном сантиметре 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Умножим количество сантиметров на 10: $3 \text{ см} = 3 \times 10 = 30 \text{ мм}$.
Теперь добавим 2 миллиметра к полученному результату: $30 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 32 \text{ мм}$.
Ответ: 32 мм.

5 м 20 см = ... см

Чтобы перевести 5 метров и 20 сантиметров в сантиметры, нужно сначала метры перевести в сантиметры и затем прибавить оставшиеся сантиметры.
В одном метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Умножим количество метров на 100: $5 \text{ м} = 5 \times 100 = 500 \text{ см}$.
Теперь добавим 20 сантиметров: $500 \text{ см} + 20 \text{ см} = 520 \text{ см}$.
Ответ: 520 см.

325 см = ... м ... см

Чтобы перевести 325 сантиметров в метры и сантиметры, нужно вспомнить, что в одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Разделим 325 на 100 с остатком. Целая часть от деления будет количеством метров, а остаток — количеством сантиметров.
$325 \div 100 = 3$ и $25$ в остатке.
Таким образом, в 325 сантиметрах содержится 3 полных метра и еще 25 сантиметров.
$325 \text{ см} = 3 \text{ м} \ 25 \text{ см}$.
Ответ: 3 м 25 см.

672 мм = ... см ... мм

Чтобы перевести 672 миллиметра в сантиметры и миллиметры, нужно вспомнить, что в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).
Разделим 672 на 10 с остатком. Целая часть от деления будет количеством сантиметров, а остаток — количеством миллиметров.
$672 \div 10 = 67$ и $2$ в остатке.
Таким образом, в 672 миллиметрах содержится 67 полных сантиметров и еще 2 миллиметра.
$672 \text{ мм} = 67 \text{ см} \ 2 \text{ мм}$.
Ответ: 67 см 2 мм.