Страница 19 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

46 Скопируйте рисунок 1.32 в тетрадь. Проведите ещё два диаметра окружности и обозначьте их.

Рис. 1.32

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. В условии задачи дана окружность с центром в точке $O$ и одним проведённым диаметром $AB$.

Задание состоит в том, чтобы провести ещё два диаметра. Диаметры можно провести любым образом, главное, чтобы они были отрезками, проходящими через центр $O$ и соединяющими две точки на окружности.

Проведём два новых диаметра и обозначим их $CD$ и $EF$. На рисунке ниже показан пример выполнения задания.

На рисунке исходный диаметр $AB$ показан розовым цветом. Два новых диаметра — $CD$ (синий) и $EF$ (зелёный). Все они проходят через центр $O$.

Ответ: На рисунке выше показан пример выполнения задания: к исходному диаметру $AB$ добавлены два новых диаметра, $CD$ и $EF$. Чтобы выполнить задание самостоятельно, нужно начертить окружность, отметить её центр, провести через него два отрезка с концами на окружности и обозначить их.

47 Исследуем

Начертите окружность. Отметьте на окружности точки A, B, C и D. Проведите отрезки AB, AC и AD. Как должен проходить отрезок, соединяющий две точки окружности, чтобы он имел наибольшую длину? Сделайте вывод: отрезок, соединяющий две точки одной окружности, имеет наибольшую длину, если ...

Рис. 1.33

Для ответа на этот вопрос проведем небольшое исследование, как и предлагается в задаче.

Как должен проходить отрезок, соединяющий две точки окружности, чтобы он имел наибольшую длину?

Отрезок, соединяющий две точки на окружности, называется хордой. Задача состоит в том, чтобы найти самую длинную из всех возможных хорд окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Возьмем на ней две произвольные точки, назовем их $A$ и $B$. Длина хорды $AB$ будет зависеть от расположения этих точек.

Рассмотрим треугольник $AOB$, вершинами которого являются точки $A$, $B$ и центр окружности $O$. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны не может превышать сумму длин двух других сторон. Для стороны $AB$ это означает:

$AB \le AO + OB$

Так как $A$ и $B$ — точки на окружности, то отрезки $AO$ и $OB$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны $R$: $AO = R$ и $OB = R$. Подставим эти значения в неравенство:

$AB \le R + R = 2R$

Величина $2R$ — это диаметр окружности ($D$). Таким образом, мы доказали, что длина любой хорды окружности не может быть больше ее диаметра.

Максимальная длина, равная $2R$, достигается тогда, когда точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, то есть когда хорда $AB$ проходит через центр окружности $O$. Такая хорда и называется диаметром.

Ответ: Чтобы отрезок, соединяющий две точки окружности, имел наибольшую длину, он должен проходить через центр окружности, то есть быть ее диаметром.

Сделайте вывод: отрезок, соединяющий две точки одной окружности, имеет наибольшую длину, если ...

На основании проведенного исследования завершим предложенную фразу.

Ответ: ... он является ее диаметром (или, что то же самое, — если он проходит через ее центр).

48 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

На рисунке 1.33 изображены несколько отрезков и круг. Установите на глаз, какие из отрезков можно закрыть этим кругом. Проверьте себя, воспользовавшись циркулем. Как должны быть связаны длина отрезка и диаметр круга, чтобы отрезок можно было закрыть кругом?

Установите на глаз, какие из отрезков можно закрыть этим кругом.

Чтобы определить визуально, какие из отрезков можно закрыть кругом, необходимо сравнить длину каждого отрезка с диаметром круга. Диаметр — это наибольшее расстояние между двумя точками на окружности, то есть «ширина» круга. Те отрезки, которые на вид короче или равны по длине диаметру, могут быть закрыты кругом. Отрезки, которые явно длиннее диаметра, закрыть кругом не получится.

Ответ: На глаз можно определить, что кругом закрываются отрезки, длина которых не превышает его диаметра.

Проверьте себя, воспользовавшись циркулем.

Для проверки с помощью циркуля нужно последовательно сравнить длину каждого отрезка с диаметром круга:

1. С помощью циркуля измерьте длину отрезка, установив ножки циркуля на его концы.
2. Не меняя полученный раствор циркуля, сопоставьте его с диаметром круга. Для этого можно приложить одну ножку циркуля к одной точке на окружности и посмотреть, где окажется вторая ножка при проведении через центр. Если вторая ножка окажется внутри или на границе круга, то отрезок можно закрыть этим кругом.
3. Повторите эти действия для всех отрезков.

Ответ: Проверка циркулем подтвердит, что кругом можно закрыть только те отрезки, длина которых меньше или равна диаметру круга.

Как должны быть связаны длина отрезка и диаметр круга, чтобы отрезок можно было закрыть кругом?

Чтобы отрезок можно было закрыть кругом, он должен полностью помещаться внутри этого круга (включая его границу — окружность). Самый длинный отрезок, который можно поместить в круг, — это его диаметр. Любой другой отрезок, расположенный внутри круга (хорда), будет короче диаметра или равен ему, если сам является диаметром.

Таким образом, для того чтобы отрезок можно было закрыть кругом, его длина должна быть не больше диаметра круга.

Если обозначить длину отрезка буквой $L$, а диаметр круга — буквой $D$, то это соотношение можно записать в виде математического неравенства: $L \le D$

Так как диаметр $D$ равен двум радиусам $R$ ($D = 2R$), то условие можно записать и так: $L \le 2R$

Ответ: Чтобы отрезок можно было закрыть кругом, его длина должна быть меньше или равна диаметру этого круга.

49 Отметьте в тетради точку О. Постройте две окружности с центром в этой точке: первую – радиусом 2 см, вторую – радиусом 3 см. Закрасьте цветным карандашом область, расположенную между этими окружностями. Как бы вы назвали получившуюся фигуру?

1. Построение окружностей и закрашивание области

Чтобы выполнить это задание, нужно последовательно совершить следующие действия:
1. Поставить в тетради точку и обозначить её буквой $O$. Эта точка будет центром обеих окружностей.
2. Взять циркуль и с помощью линейки установить расстояние между его иголкой и грифелем равным 2 см. Это будет радиус первой окружности ($r_1 = 2$ см).
3. Поставить иголку циркуля в точку $O$ и начертить первую окружность.
4. Теперь с помощью линейки установить на циркуле новое расстояние — 3 см. Это будет радиус второй окружности ($r_2 = 3$ см).
5. Снова поставить иголку циркуля в ту же точку $O$ и начертить вторую окружность.
В результате получатся две окружности с общим центром, которые называются концентрическими.
6. Взять цветной карандаш и аккуратно закрасить всю область, которая находится между линией первой (меньшей) и второй (большей) окружности.

2. Как бы вы назвали получившуюся фигуру?

Геометрическая фигура, которая представляет собой плоскую область, ограниченную двумя концентрическими окружностями, называется кольцо (или круговое кольцо).

Ответ: Получившуюся закрашенную фигуру называют кольцом.

1) Выполните построения в тетради по следующему алгоритму:

• Проведите прямую по какой-нибудь линии сетки.

• Через каждые 3 клеточки отметьте на ней 5 точек.

• Проведите окружности радиусом 4 клеточки с центрами в этих точках.

2) Раскрасьте получившийся узор таким образом, как будто вы накладываете каждый следующий круг на предыдущий.

1) Выполните построения в тетради по следующему алгоритму:

Для выполнения этого задания понадобится тетрадь в клетку, карандаш, линейка и циркуль.

• Шаг 1: Проведение прямой.
  Возьмите линейку и проведите горизонтальную или вертикальную прямую линию точно по одной из линий сетки в вашей тетради. Эта линия будет служить осью, на которой будут располагаться центры наших окружностей.

• Шаг 2: Разметка точек.
  Выберите на проведенной прямой начальную точку и отметьте её. Обозначим её $A_1$. Отсчитайте от этой точки вправо (или влево) 3 клеточки по прямой и поставьте вторую точку, $A_2$. Повторите это действие еще три раза: от точки $A_2$ отступите 3 клеточки и поставьте точку $A_3$, затем от $A_3$ – точку $A_4$, и от $A_4$ – точку $A_5$. В итоге на прямой должно быть отмечено 5 точек, расстояние между любыми двумя соседними точками равно 3 клеткам.

• Шаг 3: Построение окружностей.
  Возьмите циркуль и с помощью линейки установите его раствор равным 4 клеточкам – это будет радиус наших окружностей ($R=4$ клетки).
  Поставьте иглу циркуля в первую точку ($A_1$) и проведите окружность. Затем, не меняя раствора циркуля, поставьте иглу в точку $A_2$ и проведите вторую окружность. Она пересечется с первой. Последовательно проведите окружности с центрами во всех пяти отмеченных точках ($A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$).

Так как расстояние между центрами соседних окружностей ($d=3$ клетки) меньше их радиуса ($R=4$ клетки), все окружности будут пересекаться друг с другом, образуя красивый геометрический узор.

Ответ: В результате построения получится узор из пяти последовательно пересекающихся окружностей одинакового радиуса (4 клетки), центры которых лежат на одной прямой на расстоянии 3 клетки друг от друга.

2) Раскрасьте получившийся узор таким образом, как будто вы накладываете каждый следующий круг на предыдущий.

Этот способ раскрашивания создает эффект наложения, или аппликации, где каждый последующий элемент лежит "поверх" предыдущего. Для наглядности лучше использовать разные цвета для каждого круга.

1. Возьмите цветной карандаш (например, синий) и полностью закрасьте самый первый круг (с центром в точке $A_1$).

2. Затем возьмите карандаш другого цвета (например, зеленый) и полностью закрасьте второй круг (с центром в точке $A_2$). В том месте, где второй круг пересекается с первым, зеленый цвет ляжет поверх синего.

3. Продолжайте так же для остальных кругов. Третий круг (например, красный) закрашивайте поверх второго и первого. Четвертый (желтый) – поверх третьего, второго и первого. Пятый (розовый) – поверх всех предыдущих.

В результате такой раскраски последний, пятый круг, будет виден целиком. От предыдущих кругов останутся видимыми только те их части, которые не были перекрыты последующими кругами. Эти видимые части будут иметь форму, напоминающую полумесяц.

Примерный вид получившегося узора:

Ответ: Раскрасить узор нужно последовательно, от первого круга к последнему, используя разные цвета. Каждый следующий круг закрашивается полностью, перекрывая предыдущие. В итоге полностью видимым окажется только последний круг, а от остальных останутся видимыми части, не перекрытые следующими кругами.