Номер 47, страница 19 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.4. Окружность. Глава 1. Линии - номер 47, страница 19.

47 Исследуем

Начертите окружность. Отметьте на окружности точки A, B, C и D. Проведите отрезки AB, AC и AD. Как должен проходить отрезок, соединяющий две точки окружности, чтобы он имел наибольшую длину? Сделайте вывод: отрезок, соединяющий две точки одной окружности, имеет наибольшую длину, если ...

Рис. 1.33

Для ответа на этот вопрос проведем небольшое исследование, как и предлагается в задаче.

Как должен проходить отрезок, соединяющий две точки окружности, чтобы он имел наибольшую длину?

Отрезок, соединяющий две точки на окружности, называется хордой. Задача состоит в том, чтобы найти самую длинную из всех возможных хорд окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Возьмем на ней две произвольные точки, назовем их $A$ и $B$. Длина хорды $AB$ будет зависеть от расположения этих точек.

Рассмотрим треугольник $AOB$, вершинами которого являются точки $A$, $B$ и центр окружности $O$. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны не может превышать сумму длин двух других сторон. Для стороны $AB$ это означает:

$AB \le AO + OB$

Так как $A$ и $B$ — точки на окружности, то отрезки $AO$ и $OB$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны $R$: $AO = R$ и $OB = R$. Подставим эти значения в неравенство:

$AB \le R + R = 2R$

Величина $2R$ — это диаметр окружности ($D$). Таким образом, мы доказали, что длина любой хорды окружности не может быть больше ее диаметра.

Максимальная длина, равная $2R$, достигается тогда, когда точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, то есть когда хорда $AB$ проходит через центр окружности $O$. Такая хорда и называется диаметром.

Ответ: Чтобы отрезок, соединяющий две точки окружности, имел наибольшую длину, он должен проходить через центр окружности, то есть быть ее диаметром.

Сделайте вывод: отрезок, соединяющий две точки одной окружности, имеет наибольшую длину, если ...

На основании проведенного исследования завершим предложенную фразу.

Ответ: ... он является ее диаметром (или, что то же самое, — если он проходит через ее центр).