Номер 54, страница 20 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.4. Окружность. Глава 1. Линии - номер 54, страница 20.

54 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Отметьте в тетради точки $A$ и $B$. Измерьте расстояние между ними. Начертите окружность с центром в точке $A$, проходящую через точку $B$. Начертите окружность с центром в точке $B$, проходящую через точку $A$. Чему равен радиус каждой из окружностей? Каково расстояние от точек пересечения окружностей до их центров?

Выполним пошагово все действия, описанные в задаче.

1. Отметим в тетради две произвольные точки $A$ и $B$.
2. Измерим расстояние между ними с помощью линейки. Пусть это расстояние равно $d$. Таким образом, длина отрезка $AB = d$.
3. Начертим окружность с центром в точке $A$, которая проходит через точку $B$. По определению, радиус окружности — это расстояние от ее центра до любой точки на окружности. Так как центр окружности — точка $A$, а точка $B$ лежит на ней, то радиус первой окружности $R_1$ равен длине отрезка $AB$. То есть, $R_1 = AB = d$.
4. Начертим вторую окружность с центром в точке $B$, которая проходит через точку $A$. Аналогично, радиус второй окружности $R_2$ равен расстоянию от ее центра (точка $B$) до точки на окружности (точка $A$). Таким образом, $R_2 = BA = AB = d$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

Чему равен радиус каждой из окружностей?

Как мы установили в пунктах 3 и 4, радиус первой окружности (с центром в $A$) равен расстоянию $AB$. Радиус второй окружности (с центром в $B$) равен расстоянию $BA$. Так как расстояние $AB$ равно расстоянию $BA$, то радиусы обеих окружностей равны и их значение равно расстоянию между точками $A$ и $B$.

Ответ: Радиус каждой из окружностей равен расстоянию между точками $A$ и $B$.

Каково расстояние от точек пересечения окружностей до их центров?

Две наши окружности пересекутся в двух точках. Назовем эти точки $C$ и $D$.

Рассмотрим точку пересечения $C$.

• Поскольку точка $C$ лежит на первой окружности (с центром в $A$), расстояние от центра $A$ до точки $C$ равно радиусу этой окружности. То есть, $AC = R_1 = AB$.
• Поскольку точка $C$ также лежит на второй окружности (с центром в $B$), расстояние от центра $B$ до точки $C$ равно радиусу этой окружности. То есть, $BC = R_2 = AB$.

Таким образом, расстояние от точки пересечения $C$ до центра $A$ равно $AB$, и расстояние от точки $C$ до центра $B$ тоже равно $AB$.

Аналогичные рассуждения верны и для второй точки пересечения $D$: расстояние $AD = AB$ и $BD = AB$.

Следовательно, расстояние от любой из точек пересечения до любого из центров ($A$ или $B$) равно первоначальному расстоянию между точками $A$ и $B$.

Ответ: Расстояние от точек пересечения окружностей до их центров равно радиусу этих окружностей, то есть расстоянию между точками $A$ и $B$.