Номер 55, страница 20 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.4. Окружность. Глава 1. Линии - номер 55, страница 20.

55 1) Начертите в тетради отрезок AB длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке A радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке B радиусом 2 см 5 мм. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой C. Чему равно расстояние от точки C до точки A? до точки B?

2) Начертите отрезок AB, равный 6 см. Найдите две точки, которые находятся на расстоянии 4 см от точки A и 5 см от точки B.

Старейший глобус

(Нюрнберг, 1492 г.)

1)

Согласно условию, точка С является одной из точек пересечения двух окружностей.
Первая окружность построена с центром в точке A и радиусом $R_A = 2$ см. Так как точка С лежит на этой окружности, по определению окружности, расстояние от неё до центра A равно радиусу.
Следовательно, расстояние от точки С до точки А равно 2 см.
Вторая окружность построена с центром в точке B и радиусом $R_B = 2$ см 5 мм, что равно 2,5 см. Точка C также принадлежит этой окружности, поэтому расстояние от неё до центра B равно радиусу второй окружности.
Следовательно, расстояние от точки С до точки B равно 2,5 см.
Ответ: Расстояние от точки С до точки А равно 2 см, а до точки B — 2 см 5 мм (2,5 см).

2)

Чтобы найти точки, которые находятся на определённых расстояниях от концов отрезка A и B, необходимо использовать метод геометрических мест точек.
1. Множество всех точек, удалённых от точки A на 4 см, представляет собой окружность с центром в точке A и радиусом $R_A = 4$ см.
2. Множество всех точек, удалённых от точки B на 5 см, представляет собой окружность с центром в точке B и радиусом $R_B = 5$ см.
Точки, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, являются точками пересечения этих двух окружностей.
Для их нахождения нужно выполнить следующее построение:
• Начертить отрезок AB длиной 6 см.
• Из точки A как из центра с помощью циркуля провести дугу окружности радиусом 4 см.
• Из точки B как из центра провести дугу окружности радиусом 5 см.
Эти дуги пересекутся в двух точках. Данные точки и будут искомыми, так как они одновременно принадлежат обеим окружностям и, следовательно, находятся на расстоянии 4 см от точки A и 5 см от точки B. Окружности пересекутся, так как расстояние между их центрами (6 см) меньше суммы их радиусов ($4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 9 \text{ см}$) и больше их разности ($5 \text{ см} - 4 \text{ см} = 1 \text{ см}$).
Ответ: Искомые две точки — это точки пересечения окружности с центром в A и радиусом 4 см и окружности с центром в B и радиусом 5 см.