Страница 17 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

42 Длина отрезка $AB$ равна $37\text{ см}$. Точки $C$ и $M$ лежат на этом отрезке, причём точка $M$ находится между точками $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $CM$, если:

а) $AC = 12\text{ см}$, $MB = 17\text{ см}$;

б) $AM = 26\text{ см}$, $CB = 18\text{ см}$.

По условию задачи, точки C и M лежат на отрезке AB, причём точка M находится между точками B и C. Это означает, что точки на отрезке расположены в следующем порядке: A, C, M, B. Длина всего отрезка AB равна 37 см.

Длину всего отрезка AB можно представить как сумму длин его частей:

$AB = AC + CM + MB$

а) Дано: $AC = 12$ см, $MB = 17$ см.

Подставим известные значения в формулу для длины отрезка AB:

$37 = 12 + CM + 17$

Сложим известные длины отрезков AC и MB:

$37 = 29 + CM$

Теперь найдем длину отрезка CM:

$CM = 37 - 29$

$CM = 8$ см.

Ответ: 8 см.

б) Дано: $AM = 26$ см, $CB = 18$ см.

Длину отрезка AB можно также представить как сумму длин отрезков AM и MB:

$AB = AM + MB$

Найдем длину отрезка MB, зная длины AB и AM:

$MB = AB - AM = 37 - 26 = 11$ см.

По условию, отрезок CB состоит из отрезков CM и MB:

$CB = CM + MB$

Теперь мы можем найти длину отрезка CM, зная длины CB и MB:

$CM = CB - MB = 18 - 11 = 7$ см.

Ответ: 7 см.

43 Задумайте однозначное число и действуйте по алгоритму:

• умножьте задуманное число на 8;

• к результату прибавьте задуманное число;

• полученную сумму разделите на 9.

Проверьте себя — должно получиться задуманное число.

Для того чтобы решить эту задачу, сначала докажем справедливость этого утверждения для любого числа в общем виде, а затем проверим его на конкретном примере с однозначным числом.

Общее решение (доказательство)

Пусть задуманное число — это переменная $x$. Выполним все шаги алгоритма по порядку:

умножьте задуманное число на 8;

Умножаем $x$ на 8, получаем: $x \cdot 8 = 8x$.

к результату прибавьте задуманное число;

К полученному результату $8x$ прибавляем исходное число $x$: $8x + x = 9x$.

полученную сумму разделите на 9.

Полученную сумму $9x$ делим на 9: $\frac{9x}{9} = x$.

В результате мы получаем $x$, что и является изначально задуманным числом. Это доказывает, что алгоритм работает для любого числа.

Проверка на примере

Теперь, согласно условию, задумаем однозначное число. Например, пусть это будет число 5.

умножьте задуманное число на 8;

$5 \cdot 8 = 40$

к результату прибавьте задуманное число;

$40 + 5 = 45$

полученную сумму разделите на 9.

$45 \div 9 = 5$

В результате вычислений мы получили число 5, которое и было задумано. Проверка подтверждает правильность алгоритма.

Ответ: В результате выполнения алгоритма действительно получается задуманное число. Это справедливо для любого числа $x$, так как последовательность математических операций $(x \cdot 8 + x) \div 9$ всегда приводит к исходному числу $x$ после упрощения выражения: $(8x + x) \div 9 = 9x \div 9 = x$.

44 Найдите значение выражения:

a) $69 : 3 + 8$

$124 : 2 - 7$

$500 : 2 - 80$

б) $84 : 4 + 19$

$186 : 3 - 9$

$900 : 2 - 60$

в) $36 : 3 + 9$

$248 : 4 - 5$

$700 : 2 - 70$

Для выражения $69 : 3 + 8$ сначала выполняем деление, а затем сложение.
1. $69 : 3 = 23$
2. $23 + 8 = 31$
Ответ: 31

Для выражения $124 : 2 - 7$ сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1. $124 : 2 = 62$
2. $62 - 7 = 55$
Ответ: 55

Для выражения $500 : 2 - 80$ сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1. $500 : 2 = 250$
2. $250 - 80 = 170$
Ответ: 170

Для выражения $84 : 4 + 19$ сначала выполняем деление, а затем сложение.
1. $84 : 4 = 21$
2. $21 + 19 = 40$
Ответ: 40

Для выражения $186 : 3 - 9$ сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1. $186 : 3 = 62$
2. $62 - 9 = 53$
Ответ: 53

Для выражения $900 : 2 - 60$ сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1. $900 : 2 = 450$
2. $450 - 60 = 390$
Ответ: 390

Для выражения $36 : 3 + 9$ сначала выполняем деление, а затем сложение.
1. $36 : 3 = 12$
2. $12 + 9 = 21$
Ответ: 21

Для выражения $248 : 4 - 5$ сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1. $248 : 4 = 62$
2. $62 - 5 = 57$
Ответ: 57

Для выражения $700 : 2 - 70$ сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1. $700 : 2 = 350$
2. $350 - 70 = 280$
Ответ: 280

45 a) Батарейка стоит 17 р., она дешевле фотоплёнки в 3 раза. Сколько стоят четыре батарейки и одна фотоплёнка вместе?

б) Кресло стоит 600 р., оно дороже стула в 4 раза. Сколько стоят 6 стульев и 2 кресла вместе?

а)

1. Сначала найдем стоимость фотоплёнки. Если батарейка стоит 17 рублей и она дешевле фотоплёнки в 3 раза, то фотоплёнка, соответственно, дороже в 3 раза.
$17 \text{ р.} \cdot 3 = 51 \text{ р.}$ — стоимость одной фотоплёнки.

2. Теперь найдем стоимость четырех батареек.
$17 \text{ р.} \cdot 4 = 68 \text{ р.}$ — стоимость четырех батареек.

3. Сложим стоимость четырех батареек и одной фотоплёнки, чтобы найти их общую стоимость.
$68 \text{ р.} + 51 \text{ р.} = 119 \text{ р.}$

Ответ: 119 рублей.

б)

1. Сначала найдем стоимость стула. Если кресло стоит 600 рублей и оно дороже стула в 4 раза, то стул, соответственно, дешевле в 4 раза.
$600 \text{ р.} \div 4 = 150 \text{ р.}$ — стоимость одного стула.

2. Теперь найдем стоимость шести стульев.
$150 \text{ р.} \cdot 6 = 900 \text{ р.}$ — стоимость шести стульев.

3. Найдем стоимость двух кресел.
$600 \text{ р.} \cdot 2 = 1200 \text{ р.}$ — стоимость двух кресел.

4. Сложим стоимость шести стульев и двух кресел, чтобы найти их общую стоимость.
$900 \text{ р.} + 1200 \text{ р.} = 2100 \text{ р.}$

Ответ: 2100 рублей.