Страница 15 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

30 1) Определите на глаз среди четырёх изображённых на рисунке 1.24 отрезков наибольший и наименьший. Проверьте себя, воспользовавшись циркулем. Назовите отрезки в порядке убывания их длин.

2) Измерьте в миллиметрах длины отрезков (см. рис. 1.24) и запишите результат. На сколько длина отрезка $AB$ больше длины отрезка $EF$?

1) При визуальном осмотре можно предположить, что наибольшим отрезком является KM, а наименьшим — EF.
Чтобы проверить это предположение, воспользуемся циркулем. Установим раствор циркуля равным длине отрезка KM и сравним его с остальными. KM окажется длиннее всех. Затем сравним между собой оставшиеся отрезки. Установив раствор циркуля равным длине AB, убедимся, что он длиннее CD и EF. Наконец, сравнение CD и EF показывает, что CD длиннее.
Таким образом, отрезки в порядке убывания их длин располагаются следующим образом: KM, AB, CD, EF.
Ответ: KM, AB, CD, EF.

2) Измерим длины отрезков с помощью линейки и запишем результаты в миллиметрах (мм). (Примечание: результаты измерений могут незначительно отличаться в зависимости от масштаба изображения на вашем экране или при печати).
Длина отрезка AB = 47 мм.
Длина отрезка CD = 44 мм.
Длина отрезка EF = 25 мм.
Длина отрезка KM = 50 мм.
Чтобы найти, на сколько длина отрезка AB больше длины отрезка EF, необходимо выполнить вычитание:
$47 \text{ мм} - 25 \text{ мм} = 22 \text{ мм}$.
Следовательно, отрезок AB длиннее отрезка EF на 22 мм.
Ответ: Длины отрезков: AB = 47 мм, CD = 44 мм, EF = 25 мм, KM = 50 мм. Длина отрезка AB больше длины отрезка EF на 22 мм.

31 Сделайте рисунок по условию задачи и решите её:

Рис. 1.24

a) Точка С принадлежит отрезку $AB$, причём $AC = 5 \text{ см } 4 \text{ мм}$, $CB = 3 \text{ см } 7 \text{ мм}$. Чему равна длина отрезка $AB$?

б) Точка С принадлежит отрезку $AB$, причём $AB = 8 \text{ см}$, $AC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм}$. Чему равна длина отрезка $CB$?

а)
Согласно условию, точка С лежит на отрезке АВ. Это значит, что длина всего отрезка АВ равна сумме длин его частей, отрезков АС и СВ.

Математически это можно записать так:
$AB = AC + CB$
Чтобы найти длину АВ, сложим длины АС и СВ. Удобнее всего сначала перевести все размеры в миллиметры, помня, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Длина отрезка АС:
$AC = 5 \text{ см } 4 \text{ мм} = 5 \times 10 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 54 \text{ мм}$
Длина отрезка СВ:
$CB = 3 \text{ см } 7 \text{ мм} = 3 \times 10 \text{ мм} + 7 \text{ мм} = 37 \text{ мм}$
Теперь найдем их сумму:
$AB = 54 \text{ мм} + 37 \text{ мм} = 91 \text{ мм}$
Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры:
$91 \text{ мм} = 9 \text{ см } 1 \text{ мм}$
Ответ: 9 см 1 мм.

б)
По условию, точка С также принадлежит отрезку АВ. Следовательно, чтобы найти длину отрезка СВ, нужно из длины всего отрезка АВ вычесть длину его известной части АС.

Формула для расчета:
$CB = AB - AC$
Переведем все размеры в миллиметры для удобства вычислений.
Длина отрезка АВ:
$AB = 8 \text{ см} = 8 \times 10 \text{ мм} = 80 \text{ мм}$
Длина отрезка АС:
$AC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм} = 4 \times 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 45 \text{ мм}$
Теперь найдем разность:
$CB = 80 \text{ мм} - 45 \text{ мм} = 35 \text{ мм}$
Переведем результат в сантиметры и миллиметры:
$35 \text{ мм} = 3 \text{ см } 5 \text{ мм}$
Ответ: 3 см 5 мм.

32 АНАЛИЗИРУЕМ

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно $10 \text{ см}$, а между точками $B$ и $C$ – $3 \text{ см}$. Найдите расстояние между точками $A$ и $C$.

Подсказка. Рассмотрите различные случаи расположения точек на прямой.

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, но их взаимное расположение не уточнено, задача имеет два возможных решения. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C

Если точки на прямой расположены в порядке A, B, C, то расстояние между крайними точками A и C будет равно сумме расстояний AB и BC.

Схематически это можно представить так:

A ————— B ——— C

Расстояние AC вычисляется по формуле:

$AC = AB + BC$

Подставим известные значения:

$AC = 10 \text{ см} + 3 \text{ см} = 13 \text{ см}$

Ответ: 13 см.

Случай 2: Точка C лежит между точками A и B

Если точки на прямой расположены в порядке A, C, B, то расстояние AB будет складываться из расстояний AC и CB. Соответственно, чтобы найти искомое расстояние AC, нужно из расстояния AB вычесть расстояние BC.

Схематически это можно представить так:

A ——————— C ——— B

Расстояние AC вычисляется по формуле:

$AC = AB - BC$

Подставим известные значения:

$AC = 10 \text{ см} - 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$

Ответ: 7 см.

33 В каких единицах вы будете измерять:

а) расстояние от дома до школы;

б) длину отреза ткани при покупке;

в) длину и ширину книги;

г) длину забора вокруг школьного участка?

а) расстояние от дома до школы;
Расстояние от дома до школы может быть разным. Если школа находится недалеко, например, в соседнем дворе или через несколько улиц, то расстояние удобно измерять в метрах (м). Например, 500 метров. Если же до школы нужно добираться на транспорте или она находится в другой части города, то расстояние будет значительно больше, и его целесообразнее измерять в километрах (км). Например, 2 километра.
Ответ: метры (м) или километры (км).

б) длину отреза ткани при покупке;
При покупке ткани в магазине ее длину, как правило, измеряют в метрах (м). Это стандартная единица для продажи рулонных материалов. Иногда, если нужен небольшой кусок, его длину могут указать в сантиметрах (см), например, 70 см, что составляет 0.7 метра.
Ответ: метры (м) и сантиметры (см).

в) длину и ширину книги;
Книга — предмет относительно небольшого размера. Для измерения ее длины и ширины наиболее удобной единицей являются сантиметры (см). Например, стандартный размер книги может быть 20 см на 14 см. Для более точных измерений, например, в типографии, могут использоваться миллиметры (мм).
Ответ: сантиметры (см) или миллиметры (мм).

г) длину забора вокруг школьного участка?
Школьный участок — это довольно большая территория. Длина забора вокруг него (периметр) будет составлять сотни метров. Поэтому для такого измерения наиболее подходящей единицей длины являются метры (м). Использование сантиметров привело бы к очень большим числам, а километры — это слишком крупная единица для периметра стандартного школьного участка.
Ответ: метры (м).

34 ИЩЕМ ИНФОРМАЦИЮ

Одна миля – это примерно 2 км. Узнайте, как выражаются в метрической системе мер такие единицы, как ярд, фут, дюйм, как они возникли и что означали.

В задаче требуется найти информацию о таких единицах измерения, как ярд, фут и дюйм, которые относятся к английской (имперской) системе мер, в отличие от привычной нам метрической системы.

Ярд (англ. yard) — это британская и американская единица измерения длины. В метрической системе один ярд точно равен $0.9144$ метра. Также в одном ярде содержится $3$ фута или $36$ дюймов ($1 \text{ ярд} = 3 \text{ фута} = 36 \text{ дюймов}$).

Существует несколько версий происхождения ярда. Наиболее популярная легенда гласит, что ярд был введен в XII веке английским королём Генрихом I. Он определил его как расстояние от кончика своего носа до большого пальца вытянутой в сторону руки. Эта мера была удобна для торговцев тканью, которые отмеряли товар таким способом. Изначально слово "ярд" (от староанглийского gyrd) означало "палка" или "посох", что также указывает на его использование в качестве измерительного инструмента.

Ответ: 1 ярд равен $0.9144$ м. Его происхождение связывают с длиной руки английского короля Генриха I. Изначально ярд означал измерительную палку и использовался в основном для измерения длины ткани.

Фут (англ. foot — ступня) — единица измерения длины, широко используемая в странах с имперской системой мер. В метрической системе один фут равен $0.3048$ метра или $30.48$ сантиметра. Один фут состоит из $12$ дюймов.

Происхождение этой единицы, как следует из её названия, напрямую связано с длиной человеческой стопы. В древности это была очень распространенная мера длины, так как "измерительный инструмент" был всегда при себе. Однако размер стопы у людей разный, поэтому в разных культурах (в Древнем Риме, Греции, Египте) фут имел разную длину. Современное значение было официально стандартизировано для унификации измерений в торговле и науке.

Ответ: 1 фут равен $0.3048$ м ($30.48$ см). Эта единица произошла от средней длины человеческой стопы и изначально означала именно это.

Дюйм (от нидерл. duim — большой палец) — единица измерения расстояния, равная $1/12$ фута. В метрической системе один дюйм равен ровно $2.54$ сантиметра.

Исторически дюйм определялся как ширина большого пальца взрослого мужчины. Позже, для большей точности, были введены другие определения. Например, в Англии в XIV веке король Эдуард II постановил, что дюйм равен длине трёх ячменных зёрен, выложенных в ряд. Само слово "дюйм" пришло в русский язык из голландского, но его происхождение, как и у многих европейских аналогов, связано с латинским словом uncia, что означало "двенадцатая часть" (в данном случае, двенадцатая часть фута).

Ответ: 1 дюйм равен $2.54$ см. Происхождение связано с шириной большого пальца мужчины, а его название отражает соотношение с футом ("двенадцатая часть").

35 Значение какой величины может равняться 138 см?

1) Расстояние между городами.

2) Ширина тетради.

3) Рост школьника.

4) Длина карандаша.

Для ответа на этот вопрос необходимо оценить, насколько значение $138 \text{ см}$ является реалистичным для каждой из предложенных величин. Для удобства можно перевести сантиметры в метры: $138 \text{ см} = 1,38 \text{ м}$.

1) Расстояние между городами.Расстояния между городами являются очень большими и измеряются, как правило, в километрах (км). Значение $138 \text{ см}$ ($1,38 \text{ м}$) несопоставимо мало для такой величины. Например, даже небольшое расстояние между соседними деревнями составляет несколько километров. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) Ширина тетради.Стандартная школьная тетрадь имеет ширину около $17$ см. Ширина больших альбомов для рисования (формата А4) составляет около $21$ см. Ширина в $138 \text{ см}$ является нереалистично большой для тетради. Этот вариант также не подходит.

3) Рост школьника.Рост человека обычно измеряется в сантиметрах. Рост $138 \text{ см}$ является абсолютно нормальным для школьника младших или средних классов (примерно в возрасте 9-10 лет). Таким образом, это значение является правдоподобным.

4) Длина карандаша.Длина нового, не заточенного карандаша составляет в среднем $18\text{-}20$ см. Длина в $138 \text{ см}$ превышает длину обычного карандаша в несколько раз и сравнима с ростом ребенка. Следовательно, этот вариант не подходит.

Таким образом, единственной величиной из предложенных, которая может иметь значение $138 \text{ см}$, является рост школьника.

Ответ: 3) Рост школьника.

36 Используя соотношения между единицами длины, выразите:

а) в сантиметрах: 12 дм, 9 дм 6 см, 1 м 88 см, 130 мм;

б) в дециметрах: 8 м, 24 м, 1 м 6 дм, 70 см, 320 см;

в) в миллиметрах: 5 см, 19 см, 3 см 6 мм, 11 дм;

г) в метрах: 7000 мм, 100 см, 80 дм, 3 км, 6 км 350 м;

д) в километрах: 2000 м, 14 000 м.