Страница 32 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

91 Сравните указанные величины.

1) Длины:

а) 980 см и 10 м;

б) 5 км и 5125 м;

в) 100 см и 1000 мм;

г) 1 м 7 см и 169 см;

д) 8 км и 7 км 900 м;

е) 4 км 300 м и 4300 м.

2) Массы:

а) 25 т и 19 570 кг;

б) 7 ц и 712 кг;

в) 3 т 2 ц и 3200 кг;

г) 2 кг и 1950 г;

д) 2 т и 50 ц;

е) 7 кг 250 г и 7025 г.

3) Промежутки времени:

а) 7 ч и 700 мин;

б) 300 мин и 5 ч;

в) 270 с и 4 мин 20 с;

г) 3 ч 15 мин и 195 мин.

1) Длины

а) Для сравнения 980 см и 10 м, приведем обе величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам.
В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Следовательно, $10 \text{ м} = 10 \times 100 \text{ см} = 1000 \text{ см}$.
Сравниваем 980 см и 1000 см: $980 \text{ см} < 1000 \text{ см}$.
Ответ: $980 \text{ см} < 10 \text{ м}$.

б) Для сравнения 5 км и 5125 м, приведем километры к метрам.
В одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
Следовательно, $5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$.
Сравниваем 5000 м и 5125 м: $5000 \text{ м} < 5125 \text{ м}$.
Ответ: $5 \text{ км} < 5125 \text{ м}$.

в) Для сравнения 100 см и 1000 мм, приведем сантиметры к миллиметрам.
В одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).
Следовательно, $100 \text{ см} = 100 \times 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}$.
Сравниваем 1000 мм и 1000 мм: $1000 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}$.
Ответ: $100 \text{ см} = 1000 \text{ мм}$.

г) Для сравнения 1 м 7 см и 169 см, приведем первую величину к сантиметрам.
$1 \text{ м} 7 \text{ см} = 1 \text{ м} + 7 \text{ см} = 100 \text{ см} + 7 \text{ см} = 107 \text{ см}$.
Сравниваем 107 см и 169 см: $107 \text{ см} < 169 \text{ см}$.
Ответ: $1 \text{ м} 7 \text{ см} < 169 \text{ см}$.

д) Для сравнения 8 км и 7 км 900 м, приведем обе величины к метрам.
$8 \text{ км} = 8 \times 1000 \text{ м} = 8000 \text{ м}$.
$7 \text{ км} 900 \text{ м} = 7 \times 1000 \text{ м} + 900 \text{ м} = 7000 \text{ м} + 900 \text{ м} = 7900 \text{ м}$.
Сравниваем 8000 м и 7900 м: $8000 \text{ м} > 7900 \text{ м}$.
Ответ: $8 \text{ км} > 7 \text{ км} 900 \text{ м}$.

е) Для сравнения 4 км 300 м и 4300 м, приведем первую величину к метрам.
$4 \text{ км} 300 \text{ м} = 4 \times 1000 \text{ м} + 300 \text{ м} = 4000 \text{ м} + 300 \text{ м} = 4300 \text{ м}$.
Сравниваем 4300 м и 4300 м: $4300 \text{ м} = 4300 \text{ м}$.
Ответ: $4 \text{ км} 300 \text{ м} = 4300 \text{ м}$.

2) Массы

а) Для сравнения 25 т и 19 570 кг, приведем тонны к килограммам.
В одной тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).
Следовательно, $25 \text{ т} = 25 \times 1000 \text{ кг} = 25000 \text{ кг}$.
Сравниваем 25000 кг и 19570 кг: $25000 \text{ кг} > 19570 \text{ кг}$.
Ответ: $25 \text{ т} > 19570 \text{ кг}$.

б) Для сравнения 7 ц и 712 кг, приведем центнеры к килограммам.
В одном центнере 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).
Следовательно, $7 \text{ ц} = 7 \times 100 \text{ кг} = 700 \text{ кг}$.
Сравниваем 700 кг и 712 кг: $700 \text{ кг} < 712 \text{ кг}$.
Ответ: $7 \text{ ц} < 712 \text{ кг}$.

в) Для сравнения 3 т 2 ц и 3200 кг, приведем первую величину к килограммам.
$3 \text{ т} 2 \text{ ц} = 3 \times 1000 \text{ кг} + 2 \times 100 \text{ кг} = 3000 \text{ кг} + 200 \text{ кг} = 3200 \text{ кг}$.
Сравниваем 3200 кг и 3200 кг: $3200 \text{ кг} = 3200 \text{ кг}$.
Ответ: $3 \text{ т} 2 \text{ ц} = 3200 \text{ кг}$.

г) Для сравнения 2 кг и 1950 г, приведем килограммы к граммам.
В одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
Следовательно, $2 \text{ кг} = 2 \times 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.
Сравниваем 2000 г и 1950 г: $2000 \text{ г} > 1950 \text{ г}$.
Ответ: $2 \text{ кг} > 1950 \text{ г}$.

д) Для сравнения 2 т и 50 ц, приведем тонны к центнерам.
В одной тонне 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$).
Следовательно, $2 \text{ т} = 2 \times 10 \text{ ц} = 20 \text{ ц}$.
Сравниваем 20 ц и 50 ц: $20 \text{ ц} < 50 \text{ ц}$.
Ответ: $2 \text{ т} < 50 \text{ ц}$.

е) Для сравнения 7 кг 250 г и 7025 г, приведем первую величину к граммам.
$7 \text{ кг} 250 \text{ г} = 7 \times 1000 \text{ г} + 250 \text{ г} = 7000 \text{ г} + 250 \text{ г} = 7250 \text{ г}$.
Сравниваем 7250 г и 7025 г: $7250 \text{ г} > 7025 \text{ г}$.
Ответ: $7 \text{ кг} 250 \text{ г} > 7025 \text{ г}$.

3) Промежутки времени

а) Для сравнения 7 ч и 700 мин, приведем часы к минутам.
В одном часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).
Следовательно, $7 \text{ ч} = 7 \times 60 \text{ мин} = 420 \text{ мин}$.
Сравниваем 420 мин и 700 мин: $420 \text{ мин} < 700 \text{ мин}$.
Ответ: $7 \text{ ч} < 700 \text{ мин}$.

б) Для сравнения 300 мин и 5 ч, приведем часы к минутам.
$5 \text{ ч} = 5 \times 60 \text{ мин} = 300 \text{ мин}$.
Сравниваем 300 мин и 300 мин: $300 \text{ мин} = 300 \text{ мин}$.
Ответ: $300 \text{ мин} = 5 \text{ ч}$.

в) Для сравнения 270 с и 4 мин 20 с, приведем вторую величину к секундам.
В одной минуте 60 секунд ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$).
$4 \text{ мин} 20 \text{ с} = 4 \times 60 \text{ с} + 20 \text{ с} = 240 \text{ с} + 20 \text{ с} = 260 \text{ с}$.
Сравниваем 270 с и 260 с: $270 \text{ с} > 260 \text{ с}$.
Ответ: $270 \text{ с} > 4 \text{ мин} 20 \text{ с}$.

г) Для сравнения 3 ч 15 мин и 195 мин, приведем первую величину к минутам.
$3 \text{ ч} 15 \text{ мин} = 3 \times 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 180 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.
Сравниваем 195 мин и 195 мин: $195 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.
Ответ: $3 \text{ ч} 15 \text{ мин} = 195 \text{ мин}$.

92 Сколько чисел содержится в указанном отрезке натурального ряда:

а) от 10 до 100 включительно;

б) от 100 до 1000 включительно;

в) от 500 до 2000 включительно?

а) Чтобы найти количество натуральных чисел в отрезке от $a$ до $b$ включительно, используется формула: $N = b - a + 1$. Для отрезка от 10 до 100 включительно, где $a = 10$ и $b = 100$, вычисление будет следующим:

$N = 100 - 10 + 1 = 90 + 1 = 91$

Таким образом, в данном отрезке содержится 91 число.

Ответ: 91

б) Аналогично, для отрезка от 100 до 1000 включительно, где $a = 100$ и $b = 1000$, применяем ту же формулу:

$N = 1000 - 100 + 1 = 900 + 1 = 901$

В этом отрезке содержится 901 число.

Ответ: 901

в) Для отрезка от 500 до 2000 включительно, где $a = 500$ и $b = 2000$, производим расчет по той же формуле:

$N = 2000 - 500 + 1 = 1500 + 1 = 1501$

В указанном отрезке содержится 1501 число.

Ответ: 1501

РАССУЖДАЕМ (93–95)

93 Можно ли сравнить числа, в которых некоторые цифры заменены звёздочкой?

а) $18***$ и $20****$;

б) $3***4$ и $3***7$;

в) $9*4*4$ и $8*4*4$;

г) $**111$ и $*1111$;

д) $*071$ и $6*4$;

е) $***9$ и $1***9$?

а) Сравниваем числа $18***$ и $20***$.

Оба числа являются пятизначными. Для сравнения чисел с одинаковым количеством знаков их сравнивают поразрядно, слева направо. Первая цифра (в разряде десятков тысяч) у первого числа — $1$, а у второго — $2$. Так как $1 < 2$, то первое число всегда будет меньше второго, независимо от того, какие цифры скрываются за звёздочками. Наибольшее возможное значение первого числа ($18999$) меньше наименьшего возможного значения второго числа ($20000$). Следовательно, $18*** < 20***$.

Ответ: да, можно. $18*** < 20***$.

б) Сравниваем числа $3***4$ и $3***7$.

Оба числа являются пятизначными, и их первые цифры совпадают. Результат сравнения зависит от неизвестных цифр в разрядах тысяч, сотен и десятков. Можно подобрать такие цифры, что сравнение даст разные результаты.

Например:

1. Если взять числа $31004$ и $30007$, то $31004 > 30007$.
2. Если взять числа $31004$ и $32007$, то $31004 < 32007$.

Так как результат сравнения неоднозначен, сделать вывод о том, какое из чисел больше, нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

в) Сравниваем числа $9*4*4$ и $8*4*4$.

Оба числа пятизначные. Сравниваем их по старшему разряду (десятки тысяч). У первого числа в этом разряде стоит цифра $9$, а у второго — $8$. Так как $9 > 8$, первое число всегда будет больше второго, вне зависимости от остальных цифр. Наименьшее возможное значение первого числа ($90404$) больше наибольшего возможного значения второго числа ($89494$).

Ответ: да, можно. $9*4*4 > 8*4*4$.

г) Сравниваем числа $**111$ и $*1111$.

Оба числа являются пятизначными. Результат сравнения зависит от неизвестных цифр в старших разрядах. Приведём примеры, показывающие, что результат может быть разным.

Например:

1. Если взять числа $20111$ и $11111$, то $20111 > 11111$.
2. Если взять числа $10111$ и $21111$, то $10111 < 21111$.

Поскольку возможны разные исходы, однозначно сравнить эти числа нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

д) Сравниваем числа $*071$ и $6*4$.

Первое число, $*071$, является четырёхзначным (так как первая цифра в записи числа не может быть нулём). Его наименьшее возможное значение — $1071$. Второе число, $6*4$, является трёхзначным. Его наибольшее возможное значение — $694$. Любое четырёхзначное число всегда больше любого трёхзначного. Так как $1071 > 694$, то первое число всегда больше второго.

Ответ: да, можно. $*071 > 6*4$.

е) Сравниваем числа $**9$ и $1***9$.

Первое число, $**9$, является трёхзначным. Его самое большое возможное значение — $999$. Второе число, $1***9$, является пятизначным. Его самое маленькое возможное значение — $10009$. Любое пятизначное число всегда больше любого трёхзначного. Так как $999 < 10009$, первое число всегда меньше второго.

Ответ: да, можно. $**9 < 1***9$.

94 Напишите какое-нибудь пятизначное число, которое меньше $10\ 101$ и оканчивается цифрой $7$. Сколько таких чисел можно записать?

Напишите какое-нибудь пятизначное число, которое меньше 10 101 и оканчивается цифрой 7.

Чтобы найти такое число, необходимо выполнить три условия:
1. Число является пятизначным, то есть находится в диапазоне от 10 000 до 99 999.
2. Число меньше 10 101.
3. Последняя цифра числа — 7.
Из первых двух условий следует, что мы ищем число в интервале $[10000, 10101)$.
С учетом третьего условия, мы можем выбрать, например, самое маленькое из подходящих чисел. Это 10 007. Оно пятизначное, меньше 10 101 и оканчивается на 7.
Ответ: 10 007.

Сколько таких чисел можно записать?

Нам нужно найти количество всех чисел $N$, которые удовлетворяют условиям: $10000 \le N < 10101$ и последняя цифра $N$ равна 7.
Это означает, что мы ищем числа в диапазоне от 10 000 до 10 100, оканчивающиеся на 7.
Давайте перечислим все такие числа:
10 007, 10 017, 10 027, 10 037, 10 047, 10 057, 10 067, 10 077, 10 087, 10 097.
Следующее число, оканчивающееся на 7, это 10 107, но оно уже больше, чем 10 101, и не удовлетворяет условию.
Подсчитав количество чисел в списке, получаем, что их 10.

Другой способ рассуждения:
Искомые числа имеют вид $100x7$, где $x$ — это цифра, стоящая в разряде десятков.
Если $x = 0$, число равно 10 007. Оно удовлетворяет условиям ($10000 \le 10007 < 10101$).
Если $x = 9$, число равно 10 097. Оно также удовлетворяет условиям ($10000 \le 10097 < 10101$).
Таким образом, цифра $x$ может принимать любые целые значения от 0 до 9 включительно.
Количество возможных цифр для $x$ равно 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
Каждому значению $x$ соответствует одно уникальное число. Следовательно, всего существует 10 таких чисел.
Ответ: 10.

95 Запишите:

а) самое маленькое трёхзначное число, в котором все цифры разные;

б) самое большое четырёхзначное число, в котором все цифры разные;

в) самое большое трёхзначное число, в записи которого нет цифры 9 и все цифры разные;

г) самое маленькое пятизначное число, в записи которого два нуля, а остальные цифры разные.

а) Чтобы найти самое маленькое трёхзначное число, в котором все цифры разные, нужно рассуждать следующим образом. Число должно быть трёхзначным, значит, первая цифра (в разряде сотен) не может быть нулём. Чтобы число было наименьшим, первая цифра должна быть наименьшей из возможных, то есть 1. Вторая цифра (в разряде десятков) должна быть наименьшей из оставшихся, включая ноль. Это 0. Третья цифра (в разряде единиц) должна быть наименьшей из тех, что ещё не использовались (мы уже использовали 1 и 0). Это 2. Соединив цифры, получаем число 102.
Ответ: 102

б) Чтобы найти самое большое четырёхзначное число, в котором все цифры разные, нужно в старшие разряды ставить самые большие цифры. В разряд тысяч ставим самую большую цифру — 9. В разряд сотен — следующую по величине из оставшихся, то есть 8. В разряд десятков — следующую, 7. И в разряд единиц — 6. Соединив цифры, получаем число 9876.
Ответ: 9876

в) Чтобы найти самое большое трёхзначное число без цифры 9 и с разными цифрами, действуем так же, как в предыдущем пункте, но исключаем цифру 9 из рассмотрения. Самая большая доступная цифра для разряда сотен — 8. Для разряда десятков — следующая по величине из оставшихся, то есть 7. Для разряда единиц — 6. Получаем число 876.
Ответ: 876

г) Чтобы найти самое маленькое пятизначное число с двумя нулями и разными остальными цифрами, нужно сделать первую цифру (в разряде десятков тысяч) наименьшей возможной, то есть 1 (не 0, иначе число не будет пятизначным). Чтобы число было как можно меньше, следующие разряды (тысячи и сотни) должны быть наименьшими из возможных цифр. Ставим туда два нуля. Остаются разряды десятков и единиц, а также цифры, которые мы ещё не использовали (кроме 1 и 0). Чтобы число оставалось наименьшим, заполняем эти разряды по возрастанию самыми маленькими из оставшихся цифр. Это 2 и 3. Ставим 2 в разряд десятков и 3 в разряд единиц. Получаем число 10023.
Ответ: 10023

96 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Чтобы ступеньки были удобными и безопасными, они должны удовлетворять следующим требованиям (рис. 2.3):

• Высота ступеньки должна быть больше 170 мм и меньше 190 мм. ($170 \text{ мм} < h < 190 \text{ мм}$)

• Сумма глубины и удвоенной высоты должна быть больше 590 мм и меньше 640 мм. ($590 \text{ мм} < g + 2h < 640 \text{ мм}$)

Рис. 2.3

1) Какие из ступенек (см. таблицу) соответствуют этим требованиям?

Ступенька | Высота, мм | Глубина, мм

1 | 200 | 220

2 | 180 | 250

3 | 185 | 280

Подсказка. Чтобы проверить соответствие второму требованию, составьте неравенства и проверьте, верны ли они.

2) Выполните необходимые измерения и проверьте, удовлетворяют ли этим требованиям ступеньки лестниц в школе, в вашем доме.

3) Представьте, что вы работаете в фирме, занимающейся производством и установкой деревянных лестниц. Вам необходимо сделать проект лестницы на второй этаж дачного дома, причём высота лестницы 270 см, планируемая высота ступеньки 180 мм. Сколько ступенек получится? В каких пределах может находиться глубина ступеньки, чтобы удовлетворять второму требованию?

1)

Для того чтобы определить, какие из ступенек соответствуют требованиям, необходимо проверить каждую из них на выполнение двух условий:

1. Высота ступеньки (обозначим $h$) должна быть больше 170 мм и меньше 190 мм, то есть $170 < h < 190$.
2. Сумма глубины (обозначим $d$) и удвоенной высоты ($2h$) должна быть больше 590 мм и меньше 640 мм, то есть $590 < d + 2h < 640$.

Проверим каждую ступеньку из таблицы:

• Ступенька 1: Высота $h = 200$ мм, глубина $d = 220$ мм.
  1. Проверка высоты: $170 < 200 < 190$. Неравенство неверно, так как $200 > 190$.
  Вывод: Ступенька 1 не соответствует требованиям.
• Ступенька 2: Высота $h = 180$ мм, глубина $d = 250$ мм.
  1. Проверка высоты: $170 < 180 < 190$. Неравенство верно.
  2. Проверка второго условия: $d + 2h = 250 + 2 \times 180 = 250 + 360 = 610$ мм.
  Проверяем неравенство: $590 < 610 < 640$. Неравенство верно.
  Вывод: Ступенька 2 соответствует обоим требованиям.
• Ступенька 3: Высота $h = 185$ мм, глубина $d = 280$ мм.
  1. Проверка высоты: $170 < 185 < 190$. Неравенство верно.
  2. Проверка второго условия: $d + 2h = 280 + 2 \times 185 = 280 + 370 = 650$ мм.
  Проверяем неравенство: $590 < 650 < 640$. Неравенство неверно, так как $650 > 640$.
  Вывод: Ступенька 3 не соответствует требованиям.

Ответ: Требованиям соответствует только ступенька 2.

2)

Это задание является практическим и требует проведения измерений на реальном объекте. Чтобы ответить на вопрос, необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью измерительного инструмента (например, рулетки) измерить высоту ($h$) и глубину ($d$) одной ступеньки лестницы в вашем доме или школе. Размеры следует записать в миллиметрах.
2. Проверить, удовлетворяют ли полученные размеры требованиям, описанным в задаче:
• Первое требование: $170 < h < 190$.
• Второе требование: $590 < d + 2h < 640$.
3. Если оба неравенства верны, то ступеньки удовлетворяют требованиям. Если хотя бы одно неверно — не удовлетворяют.

Ответ: Ответ зависит от результатов конкретных измерений.

3)

Данная задача включает в себя два вопроса: расчет количества ступенек и определение допустимых пределов для их глубины.

Расчет количества ступенек.

Общая высота лестницы составляет 270 см. Планируемая высота одной ступеньки $h = 180$ мм. Для расчетов необходимо привести величины к одной единице измерения. Переведем общую высоту в миллиметры:

$270 \text{ см} = 2700$ мм.

Чтобы найти количество ступенек, разделим общую высоту лестницы на высоту одной ступеньки:

Количество ступенек = $\frac{2700 \text{ мм}}{180 \text{ мм}} = 15$.

Определение пределов глубины ступеньки.

Высота ступеньки $h = 180$ мм. Проверим, соответствует ли она первому требованию:

$170 < 180 < 190$. Условие выполняется.

Теперь, используя второе требование, найдем допустимый диапазон для глубины $d$. Второе требование задается неравенством:

$590 < d + 2h < 640$

Подставим в него известную высоту $h = 180$ мм:

$590 < d + 2 \times 180 < 640$

$590 < d + 360 < 640$

Чтобы найти пределы для $d$, вычтем 360 из всех частей этого двойного неравенства:

$590 - 360 < d < 640 - 360$

$230 < d < 280$

Следовательно, глубина ступеньки должна быть в пределах от 230 мм до 280 мм.

Ответ: Получится 15 ступенек. Глубина ступеньки может находиться в пределах от 230 мм до 280 мм.