Страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

81 Рассмотрите последовательность нечётных чисел:

$1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots$

Какое число стоит в этой последовательности на 20-м месте? на 100-м месте? на 175-м месте?

Данная последовательность $1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots$ является арифметической прогрессией, состоящей из нечётных чисел. Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 2$, так как каждое следующее число на 2 больше предыдущего.

Формулу для нахождения n-го члена ($a_n$) этой последовательности можно вывести из общей формулы арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$. Таким образом, чтобы найти нечётное число на n-м месте, нужно использовать формулу $a_n = 2n - 1$.

Какое число стоит в этой последовательности на 20-м месте?
Подставим $n=20$ в выведенную формулу: $a_{20} = 2 \cdot 20 - 1 = 40 - 1 = 39$.
Ответ: 39

на 100-м месте?
Подставим $n=100$ в формулу: $a_{100} = 2 \cdot 100 - 1 = 200 - 1 = 199$.
Ответ: 199

на 175-м месте?
Подставим $n=175$ в формулу: $a_{175} = 2 \cdot 175 - 1 = 350 - 1 = 349$.
Ответ: 349

$82$ Какое из чисел больше:

а) $245$ или $1002$;

б) $25000$ или $9876$;

в) $74196$ или $74215$;

г) $119700$ или $119046$;

д) $908007$ или $900876$;

е) $340506$ или $3040506$?

Чтобы определить, какое из двух натуральных чисел больше, используется следующий алгоритм:

1. Сначала сравнивается количество цифр (разрядов) в числах. То число, в котором больше цифр, является большим.
2. Если количество цифр в числах одинаковое, то их сравнивают поразрядно, двигаясь слева направо (от старшего разряда к младшему). Большим будет то число, у которого цифра в первом несовпадающем разряде больше.

а) Сравним числа 245 и 1002.

В числе 245 три цифры, а в числе 1002 — четыре цифры. Так как число цифр разное, большим является то число, у которого цифр больше.

Поскольку $4 > 3$, то $1002 > 245$.

Ответ: 1002.

б) Сравним числа 25 000 и 9876.

В числе 25 000 пять цифр, а в числе 9876 — четыре цифры. Число с большим количеством цифр является большим.

Поскольку $5 > 4$, то $25000 > 9876$.

Ответ: 25 000.

в) Сравним числа 74 196 и 74 215.

Оба числа пятизначные. Сравним их поразрядно слева направо:

• Цифры в разряде десятков тысяч совпадают: 7 = 7.
• Цифры в разряде тысяч совпадают: 4 = 4.
• Цифры в разряде сотен различаются: $1 < 2$.

Так как в старшем из несовпадающих разрядов (разряде сотен) у числа 74 215 цифра больше, то это число больше.

$74215 > 74196$

Ответ: 74 215.

г) Сравним числа 119 700 и 119 046.

Оба числа шестизначные. Сравним их поразрядно слева направо:

• Цифры в разряде сотен тысяч совпадают: 1 = 1.
• Цифры в разряде десятков тысяч совпадают: 1 = 1.
• Цифры в разряде тысяч совпадают: 9 = 9.
• Цифры в разряде сотен различаются: $7 > 0$.

Так как в разряде сотен у числа 119 700 цифра больше, то это число больше.

$119700 > 119046$

Ответ: 119 700.

д) Сравним числа 908 007 и 900 876.

Оба числа шестизначные. Сравним их поразрядно слева направо:

• Цифры в разряде сотен тысяч совпадают: 9 = 9.
• Цифры в разряде десятков тысяч совпадают: 0 = 0.
• Цифры в разряде тысяч различаются: $8 > 0$.

Так как в разряде тысяч у числа 908 007 цифра больше, то это число больше.

$908007 > 900876$

Ответ: 908 007.

е) Сравним числа 340 506 и 3 040 506.

В числе 340 506 шесть цифр, а в числе 3 040 506 — семь цифр. Число, в котором больше цифр, является большим.

Поскольку $7 > 6$, то $3040506 > 340506$.

Ответ: 3 040 506.

83 Какое из чисел меньше:

а) 7280 или 7028;

б) 11 111 или 2222;

в) 15 278 или 15 287;

г) 613 028 или 1 047 100;

д) 900 990 или 90 909;

е) 10 111 111 или 11 100 000?

а) Чтобы сравнить числа 7280 и 7028, мы начинаем сравнивать их цифры слева направо. Оба числа четырехзначные. Цифра в разряде тысяч одинакова и равна 7. Сравниваем цифры в разряде сотен: у числа 7280 это 2, а у числа 7028 это 0. Так как $0 < 2$, то число 7028 меньше, чем 7280.
Ответ: 7028.

б) Чтобы сравнить числа 11 111 и 2222, сначала посчитаем количество цифр в каждом числе. Число 11 111 является пятизначным, а число 2222 — четырехзначным. Число с меньшим количеством разрядов всегда меньше. Следовательно, 2222 меньше, чем 11 111.
Ответ: 2222.

в) Чтобы сравнить числа 15 278 и 15 287, мы сравниваем их цифры слева направо. Оба числа пятизначные. Первые три цифры (1, 5, 2) у них совпадают. Сравниваем четвертую цифру (разряд десятков): у числа 15 278 это 7, а у числа 15 287 это 8. Так как $7 < 8$, то число 15 278 меньше, чем 15 287.
Ответ: 15 278.

г) Чтобы сравнить числа 613 028 и 1 047 100, посчитаем количество цифр в каждом. Число 613 028 является шестизначным, а число 1 047 100 — семизначным. Число, в котором меньше цифр, является меньшим. Значит, 613 028 меньше, чем 1 047 100.
Ответ: 613 028.

д) Чтобы сравнить числа 900 990 и 90 909, определим количество разрядов в каждом. Число 900 990 является шестизначным, а число 90 909 — пятизначным. Пятизначное число всегда меньше шестизначного. Следовательно, 90 909 меньше, чем 900 990.
Ответ: 90 909.

е) Чтобы сравнить числа 10 111 111 и 11 100 000, сравниваем их цифры слева направо, так как оба числа восьмизначные. Первая цифра (разряд десятков миллионов) у них одинакова и равна 1. Сравниваем вторую цифру (разряд миллионов): у числа 10 111 111 это 0, а у числа 11 100 000 это 1. Так как $0 < 1$, то число 10 111 111 меньше, чем 11 100 000.
Ответ: 10 111 111.

84 Сравните числа:

а) $908$ и $789$;
б) $407$ и $1007$;
в) $0$ и $600$;
г) $3344$ и $4333$;
д) $1800180$ и $180180$;
е) $115978$ и $115887$.

а) Сравниваем числа 908 и 789. Оба числа являются трехзначными. Чтобы их сравнить, посмотрим на цифры в старшем разряде (сотни). У числа 908 в разряде сотен стоит цифра 9, а у числа 789 – цифра 7. Так как $9 > 7$, то и число 908 больше числа 789.
Ответ: $908 > 789$.

б) Сравниваем числа 407 и 1007. Число 407 состоит из трех цифр (трехзначное), а число 1007 – из четырех цифр (четырехзначное). Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше разрядов (цифр). Следовательно, 1007 больше, чем 407.
Ответ: $407 < 1007$.

в) Сравниваем числа 0 и 600. Число 0 меньше любого натурального (положительного) числа. Так как 600 – натуральное число, оно больше 0.
Ответ: $0 < 600$.

г) Сравниваем числа 3344 и 4333. Оба числа являются четырехзначными. Сравним цифры в старшем разряде (тысячи). У числа 3344 в разряде тысяч стоит цифра 3, а у числа 4333 – цифра 4. Так как $3 < 4$, то число 3344 меньше числа 4333.
Ответ: $3344 < 4333$.

д) Сравниваем числа 1 800 180 и 180 180. Число 1 800 180 является семизначным, а число 180 180 – шестизначным. Число, в котором больше разрядов, всегда больше. Следовательно, 1 800 180 больше, чем 180 180.
Ответ: $1\,800\,180 > 180\,180$.

е) Сравниваем числа 115 978 и 115 887. Оба числа являются шестизначными. Начнем сравнивать их поразрядно слева направо, пока не найдем различающиеся цифры.
Цифры в разряде сотен тысяч одинаковы: 1 и 1.
Цифры в разряде десятков тысяч одинаковы: 1 и 1.
Цифры в разряде тысяч одинаковы: 5 и 5.
Цифры в разряде сотен различаются: у числа 115 978 это 9, а у числа 115 887 это 8.
Так как $9 > 8$, то число, у которого эта цифра больше, будет большим. Следовательно, 115 978 больше 115 887.
Ответ: $115\,978 > 115\,887$.

85 РАССУЖДАЕМ

1) Какое из двух чисел меньше: пятизначное или четырёхзначное? шестизначное или восьмизначное?

2) Закончите вывод: если количество цифр в двух числах различно, то меньшим из них является то, ...

1)

При сравнении двух натуральных чисел с разным количеством цифр, меньшим всегда будет то число, в котором меньше цифр. Это происходит потому, что даже самое маленькое число с большим количеством разрядов (например, $10\ 000$) всегда больше, чем самое большое число с меньшим количеством разрядов (например, $9\ 999$).

Сравнение пятизначного и четырехзначного чисел:
В четырехзначном числе 4 цифры, а в пятизначном — 5 цифр. Так как $4 < 5$, любое четырехзначное число меньше любого пятизначного.

Сравнение шестизначного и восьмизначного чисел:
В шестизначном числе 6 цифр, а в восьмизначном — 8 цифр. Так как $6 < 8$, любое шестизначное число меньше любого восьмизначного.

Ответ: Четырехзначное число меньше пятизначного. Шестизначное число меньше восьмизначного.

2)

Основываясь на правиле сравнения чисел с разным количеством цифр, можно завершить предложенный вывод. Если количество цифр в двух числах различно, то меньшим из них будет то, в записи которого используется меньшее количество знаков (цифр).

Законченный вывод: если количество цифр в двух числах различно, то меньшим из них является то, у которого меньше цифр.

Ответ: ...у которого меньше цифр.

86 Сравните числа:

a) 1 млн и 10 000 000;

б) 1 млн 100 тыс. и 10 010 000;

в) 1 млрд и 1 000 000 001;

г) 1 млрд 10 млн 100 тыс. и 1 010 110 000.

а)

Чтобы сравнить числа, представим "1 млн" в виде числа, записанного цифрами. 1 миллион – это 1 с шестью нулями.

$1~\text{млн} = 1~000~000$.

Теперь сравним $1~000~000$ и $10~000~000$.

Число $1~000~000$ имеет 7 разрядов, а число $10~000~000$ имеет 8 разрядов. Число, в котором больше разрядов, является большим.

Следовательно, $1~000~000 < 10~000~000$.

Ответ: $1~\text{млн} < 10~000~000$.

б)

Представим число "1 млн 100 тыс." в цифровом виде.

$1~\text{млн} = 1~000~000$.

$100~\text{тыс.} = 100~000$.

$1~\text{млн}~100~\text{тыс.} = 1~000~000 + 100~000 = 1~100~000$.

Теперь сравним $1~100~000$ и $10~010~000$.

Число $1~100~000$ имеет 7 разрядов, а число $10~010~000$ имеет 8 разрядов. Число с большим количеством разрядов больше.

Следовательно, $1~100~000 < 10~010~000$.

Ответ: $1~\text{млн}~100~\text{тыс.} < 10~010~000$.

в)

Представим "1 млрд" в цифровом виде. 1 миллиард – это 1 с девятью нулями.

$1~\text{млрд} = 1~000~000~000$.

Теперь сравним $1~000~000~000$ и $1~000~000~001$.

Оба числа имеют одинаковое количество разрядов (десять). Сравним их поразрядно слева направо. Первые девять цифр у чисел совпадают. В разряде единиц у первого числа стоит 0, а у второго – 1.

Поскольку $0 < 1$, то $1~000~000~000 < 1~000~000~001$.

Ответ: $1~\text{млрд} < 1~000~000~001$.

г)

Представим число "1 млрд 10 млн 100 тыс." в цифровом виде.

$1~\text{млрд} = 1~000~000~000$.

$10~\text{млн} = 10~000~000$.

$100~\text{тыс.} = 100~000$.

$1~\text{млрд}~10~\text{млн}~100~\text{тыс.} = 1~000~000~000 + 10~000~000 + 100~000 = 1~010~100~000$.

Теперь сравним $1~010~100~000$ и $1~010~110~000$.

Оба числа имеют одинаковое количество разрядов (десять). Сравним их поразрядно слева направо. Цифры в разрядах миллиардов, сотен миллионов, десятков миллионов, миллионов и сотен тысяч совпадают ($1, 0, 1, 0, 1$). Различие появляется в разряде десятков тысяч: у первого числа это 0, а у второго – 1.

Поскольку $0 < 1$, то $1~010~100~000 < 1~010~110~000$.

Ответ: $1~\text{млрд}~10~\text{млн}~100~\text{тыс.} < 1~010~110~000$.

87 Назовите числа сначала в порядке возрастания, а потом в порядке убывания; в каждом случае запишите цепочку неравенств:

a) 89, 61, 88, 49;

б) 576, 675, 568, 615;

в) 1033, 831, 1130, 1008.

Образец, $3 < 7 < 12 < 20$, $20 > 12 > 7 > 3$.

а)

Дан набор чисел: 89, 61, 88, 49.

Сначала расположим эти числа в порядке возрастания (от меньшего к большему). Для этого сравним их между собой. Самое маленькое число из набора — 49. Следующее по величине — 61. Далее идет 88. Самое большое число — 89. Получаем ряд: 49, 61, 88, 89. Запишем соответствующую цепочку неравенств: $49 < 61 < 88 < 89$.

Теперь расположим числа в порядке убывания (от большего к меньшему). Это будет обратный порядок. Начинаем с самого большого числа — 89. Затем идет 88, потом 61, и самое маленькое — 49. Получаем ряд: 89, 88, 61, 49. Запишем соответствующую цепочку неравенств: $89 > 88 > 61 > 49$.

Ответ: $49 < 61 < 88 < 89$; $89 > 88 > 61 > 49$.

б)

Дан набор чисел: 576, 675, 568, 615.

Для расположения чисел в порядке возрастания, сравним их по разрядам, начиная со старшего (сотни). Числа 576 и 568 имеют 5 сотен, а числа 675 и 615 — 6 сотен. Следовательно, числа с 5 сотнями меньше чисел с 6 сотнями. Сравним 576 и 568: у них одинаковое число сотен, поэтому сравниваем десятки. У 576 семь десятков, а у 568 — шесть. Так как $6 < 7$, то $568 < 576$. Сравним 675 и 615: у них одинаковое число сотен, сравниваем десятки. У 675 семь десятков, а у 615 — один. Так как $1 < 7$, то $615 < 675$. Объединив все сравнения, получаем ряд: 568, 576, 615, 675. Цепочка неравенств для порядка возрастания: $568 < 576 < 615 < 675$.

Для расположения чисел в порядке убывания, запишем их в обратном порядке: от наибольшего к наименьшему. Получаем ряд: 675, 615, 576, 568. Цепочка неравенств для порядка убывания: $675 > 615 > 576 > 568$.

Ответ: $568 < 576 < 615 < 675$; $675 > 615 > 576 > 568$.

в)

Дан набор чисел: 1033, 831, 1130, 1008.

Для расположения чисел в порядке возрастания, сначала обратим внимание на количество цифр в каждом числе. Число 831 — трёхзначное, а остальные — четырёхзначные. Следовательно, 831 является наименьшим числом в наборе. Теперь сравним оставшиеся четырёхзначные числа: 1033, 1130, 1008. Все они имеют по 1 тысяче. Сравним сотни: у 1033 и 1008 — 0 сотен, а у 1130 — 1 сотня. Значит, 1130 — самое большое из этих трёх чисел. Осталось сравнить 1033 и 1008. У них одинаковое количество тысяч и сотен. Сравниваем десятки: у 1033 — 3 десятка, а у 1008 — 0 десятков. Так как $0 < 3$, то $1008 < 1033$. Итоговый ряд в порядке возрастания: 831, 1008, 1033, 1130. Цепочка неравенств: $831 < 1008 < 1033 < 1130$.

Для расположения чисел в порядке убывания, запишем их в обратном порядке: от наибольшего к наименьшему. Получаем ряд: 1130, 1033, 1008, 831. Цепочка неравенств: $1130 > 1033 > 1008 > 831$.

Ответ: $831 < 1008 < 1033 < 1130$; $1130 > 1033 > 1008 > 831$.

88 Назовите два ближайших числа, между которыми находится данное число, и запишите ответ в виде двойного неравенства; каждое неравенство прочитайте, правильно склоняя числительные:

а) 28;

б) 84;

в) 145;

г) 219;

д) 1001;

е) 10101.

а) Для числа 28 ближайшими числами являются предыдущее число 27 и последующее число 29. Запишем это в виде двойного неравенства: $27 < 28 < 29$.

Это неравенство читается так: «Двадцать восемь больше двадцати семи и меньше двадцати девяти».

Ответ: $27 < 28 < 29$.

б) Для числа 84 ближайшими числами являются 83 и 85. Двойное неравенство будет выглядеть следующим образом: $83 < 84 < 85$.

Это неравенство читается так: «Восемьдесят четыре больше восьмидесяти трех и меньше восьмидесяти пяти».

Ответ: $83 < 84 < 85$.

в) Для числа 145 ближайшими числами являются 144 и 146. Запишем это в виде двойного неравенства: $144 < 145 < 146$.

Это неравенство читается так: «Сто сорок пять больше ста сорока четырех и меньше ста сорока шести».

Ответ: $144 < 145 < 146$.

г) Для числа 219 ближайшими числами являются 218 и 220. Двойное неравенство для этого случая: $218 < 219 < 220$.

Это неравенство читается так: «Двести девятнадцать больше двухсот восемнадцати и меньше двухсот двадцати».

Ответ: $218 < 219 < 220$.

д) Для числа 1001 ближайшими числами являются 1000 и 1002. Запишем это в виде двойного неравенства: $1000 < 1001 < 1002$.

Это неравенство читается так: «Одна тысяча один больше одной тысячи и меньше одной тысячи двух».

Ответ: $1000 < 1001 < 1002$.

е) Для числа 10 101 ближайшими числами являются 10 100 и 10 102. Двойное неравенство будет таким: $10100 < 10101 < 10102$.

Это неравенство читается так: «Десять тысяч сто один больше десяти тысяч ста и меньше десяти тысяч ста двух».

Ответ: $10100 < 10101 < 10102$.

89 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Найдите среди данных записей неверные и объясните, в чём ошибка.

1) $11 < 12 < 13$.

2) $20 < 24 > 25$.

3) $32 > 31 > 30$.

4) $16 > 18 < 22$.

Проанализируем каждую запись, чтобы найти неверные и объяснить ошибку.

Это двойное неравенство, которое можно разбить на две части: $11 < 12$ и $12 < 13$.

Первая часть, $11 < 12$ (одиннадцать меньше двенадцати), верна.

Вторая часть, $12 < 13$ (двенадцать меньше тринадцати), также верна.

Поскольку обе части неравенства верны, вся запись является верной.

Ответ: Верно.

Эта запись состоит из двух неравенств: $20 < 24$ и $24 > 25$.

Первая часть, $20 < 24$ (двадцать меньше двадцати четырех), верна.

Вторая часть, $24 > 25$ (двадцать четыре больше двадцати пяти), неверна. На самом деле, 24 меньше 25, поэтому правильная запись должна быть $24 < 25$.

Так как одна из частей записи неверна, вся запись является неверной.

Ответ: Неверно.

Это двойное неравенство, которое можно разбить на две части: $32 > 31$ и $31 > 30$.

Первая часть, $32 > 31$ (тридцать два больше тридцати одного), верна.

Вторая часть, $31 > 30$ (тридцать один больше тридцати), также верна.

Поскольку обе части неравенства верны, вся запись является верной.

Ответ: Верно.

Эта запись состоит из двух неравенств: $16 > 18$ и $18 < 22$.

Первая часть, $16 > 18$ (шестнадцать больше восемнадцати), неверна. На самом деле, 16 меньше 18, поэтому правильная запись должна быть $16 < 18$.

Вторая часть, $18 < 22$ (восемнадцать меньше двадцати двух), верна.

Так как одна из частей записи неверна, вся запись является неверной.

Ответ: Неверно.

90 Запишите данное утверждение, используя знаки неравенств:

а) $a > 15$

б) $b < 100$

в) $a > c$

г) $20 < c < 30$

д) $25 < d < 35$

е) $a < 14 < b$

а) Утверждение "число $a$ больше 15" означает, что значение переменной $a$ должно быть строго больше, чем число 15. Для записи этого утверждения используется знак "больше" ($>$).

Ответ: $a > 15$.

б) Утверждение "число $b$ меньше 100" означает, что значение переменной $b$ должно быть строго меньше, чем число 100. Для записи этого утверждения используется знак "меньше" ($<$).

Ответ: $b < 100$.

в) Утверждение "число $a$ больше числа $c$" означает, что значение переменной $a$ больше значения переменной $c$. Это сравнение записывается с помощью знака "больше" ($>$).

Ответ: $a > c$.

г) Утверждение "число $c$ меньше 30 и больше 20" является двойным неравенством. Оно состоит из двух условий, которые должны выполняться одновременно: $c < 30$ (число $c$ меньше 30) и $c > 20$ (число $c$ больше 20). Эти два неравенства можно объединить в одно.

Ответ: $20 < c < 30$.

д) Утверждение "число $d$ больше 25 и меньше 35" также является двойным неравенством. Оно означает, что $d > 25$ и $d < 35$ одновременно. Это записывается в виде единого выражения.

Ответ: $25 < d < 35$.

е) Утверждение "число 14 больше числа $a$ и меньше числа $b$" состоит из двух частей. Первая часть, "14 больше числа $a$", записывается как $14 > a$ или, что эквивалентно, $a < 14$. Вторая часть, "14... меньше числа $b$", записывается как $14 < b$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство.

Ответ: $a < 14 < b$.