Страница 35 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

101 Запишите координаты точек, отмеченных на координатной прямой (рис. 2.6).

M: $M(2)$

N: $N(3)$

P: $P(4)$

K: $K(5)$

L: $L(6)$

Рис. 2.6

Для того чтобы определить координаты заданных точек, сначала необходимо найти цену одного деления координатной прямой. На прямой отмечены точки с координатами 0 и 1. Расстояние между ними (единичный отрезок) разделено на 2 равных деления. Следовательно, цена одного деления равна:

$(1 - 0) : 2 = 0,5$.

Теперь, зная цену деления, мы можем найти координату каждой точки. Координата точки равна количеству делений от начала отсчета (точки 0) до этой точки, умноженному на цену деления.

M

Точка M находится на расстоянии 3 делений от точки 0. Ее координата равна:

$3 \times 0,5 = 1,5$.

Ответ: M(1,5).

N

Точка N находится на расстоянии 5 делений от точки 0. Ее координата равна:

$5 \times 0,5 = 2,5$.

Ответ: N(2,5).

P

Точка P находится на расстоянии 8 делений от точки 0. Ее координата равна:

$8 \times 0,5 = 4$.

Ответ: P(4).

K

Точка K находится на расстоянии 10 делений от точки 0. Ее координата равна:

$10 \times 0,5 = 5$.

Ответ: K(5).

L

Точка L находится на расстоянии 13 делений от точки 0. Ее координата равна:

$13 \times 0,5 = 6,5$.

Ответ: L(6,5).

102. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок одну клетку. Отметьте на ней точки:

a) $B(7)$, $C(10)$, $D(14)$, $E(19)$;

б) $L(6)$, $M(9)$, $N(12)$, $P(17)$.

Для решения задачи нужно начертить координатную прямую. Это прямая линия с отмеченным на ней началом отсчета (точкой 0), единичным отрезком и положительным направлением, указанным стрелкой. По условию, за единичный отрезок принимается одна клетка. Чтобы отметить точку с заданной координатой, необходимо отложить от начала отсчета (точки 0) вправо соответствующее количество единичных отрезков.

Нужно отметить на координатной прямой точки $B(7)$, $C(10)$, $D(14)$ и $E(19)$.

1. Для точки $B(7)$: отсчитываем от точки 0 семь единичных отрезков вправо и отмечаем точку B.
2. Для точки $C(10)$: отсчитываем от точки 0 десять единичных отрезков вправо и отмечаем точку C.
3. Для точки $D(14)$: отсчитываем от точки 0 четырнадцать единичных отрезков вправо и отмечаем точку D.
4. Для точки $E(19)$: отсчитываем от точки 0 девятнадцать единичных отрезков вправо и отмечаем точку E.

Ответ:

Нужно отметить на координатной прямой точки $L(6)$, $M(9)$, $N(12)$ и $P(17)$.

1. Для точки $L(6)$: отсчитываем от точки 0 шесть единичных отрезков вправо и отмечаем точку L.
2. Для точки $M(9)$: отсчитываем от точки 0 девять единичных отрезков вправо и отмечаем точку M.
3. Для точки $N(12)$: отсчитываем от точки 0 двенадцать единичных отрезков вправо и отмечаем точку N.
4. Для точки $P(17)$: отсчитываем от точки 0 семнадцать единичных отрезков вправо и отмечаем точку P.

Ответ:

103 а) Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок две клетки. Отметьте на ней числа 1, 3, 5, 7, 9.

б) Начертите координатную прямую. Отметьте на ней числа 2, 4, 8, 10.

а)

Чтобы начертить координатную прямую, сначала проведем горизонтальную линию и укажем на ней стрелкой положительное направление (вправо). Затем выберем точку, которая будет началом отсчета, и обозначим её числом 0.

По условию, единичный отрезок равен двум клеткам. Это значит, что расстояние между двумя соседними целыми числами (например, между 0 и 1) будет составлять две клетки.

Отметим на прямой заданные числа:

• Число 1 будет находиться на расстоянии $1 \times 2 = 2$ клетки вправо от 0.
• Число 3 будет находиться на расстоянии $3 \times 2 = 6$ клеток вправо от 0.
• Число 5 будет находиться на расстоянии $5 \times 2 = 10$ клеток вправо от 0.
• Число 7 будет находиться на расстоянии $7 \times 2 = 14$ клеток вправо от 0.
• Число 9 будет находиться на расстоянии $9 \times 2 = 18$ клеток вправо от 0.

Изобразим это на координатной прямой. Заданные числа выделены красными точками.

Ответ: Координатная прямая с отмеченными числами 1, 3, 5, 7, 9 представлена выше.

б)

Начертим координатную прямую, выбрав на ней начало отсчета (точку 0) и направление.

В данном случае длина единичного отрезка не задана, поэтому мы можем выбрать её произвольно. Для удобства выберем единичный отрезок, равный одной клетке.

Теперь отметим на прямой заданные числа, откладывая соответствующее количество единичных отрезков вправо от нуля:

• Число 2 будет находиться на расстоянии 2 единичных отрезков от 0.
• Число 4 будет находиться на расстоянии 4 единичных отрезков от 0.
• Число 8 будет находиться на расстоянии 8 единичных отрезков от 0.
• Число 10 будет находиться на расстоянии 10 единичных отрезков от 0.

На изображении ниже показана координатная прямая с отмеченными точками 2, 4, 8, 10, которые выделены синим цветом.

Ответ: Координатная прямая с отмеченными числами 2, 4, 8, 10 представлена выше.

104 a) Начертите прямую и отметьте на ней точку O. Отступите от точки O вправо на четыре клетки, поставьте засечку и подпишите под ней число $2$. Отметьте на этой координатной прямой числа $1$, $4$, $8$.

б) Начертите прямую и отметьте на ней точку O. Отступив от точки O вправо на три клетки, поставьте засечку и подпишите под ней число $6$. Отметьте на этой координатной прямой числа $12$, $2$, $8$.

а)

1. Начертим прямую и отметим на ней точку O — начало отсчета, которой соответствует число 0.
2. По условию, точка с координатой 2 находится на расстоянии 4 клеток вправо от точки O. Это задает масштаб (цену деления) координатной прямой.
3. Найдем длину единичного отрезка, то есть расстояние, соответствующее числу 1. Если числу 2 соответствуют 4 клетки, то числу 1 будет соответствовать в два раза меньшее расстояние:
$4 \text{ клетки} \div 2 = 2 \text{ клетки}$.
Итак, единичный отрезок на этой прямой равен 2 клеткам.
4. Теперь отметим на координатной прямой заданные числа 1, 4 и 8, откладывая от точки O соответствующее количество клеток.
- Чтобы отметить число 1, нужно отложить 1 единичный отрезок, что составляет $1 \times 2 = 2$ клетки вправо от O.
- Чтобы отметить число 4, нужно отложить 4 единичных отрезка, что составляет $4 \times 2 = 8$ клеток вправо от O.
- Чтобы отметить число 8, нужно отложить 8 единичных отрезков, что составляет $8 \times 2 = 16$ клеток вправо от O.

Ответ: На координатной прямой число 1 будет находиться на расстоянии 2 клеток от точки O, число 4 — на расстоянии 8 клеток, а число 8 — на расстоянии 16 клеток.

б)

1. Начертим новую прямую и отметим на ней точку O — начало отсчета (число 0).
2. По условию, точка с координатой 6 находится на расстоянии 3 клеток вправо от точки O.
3. Определим масштаб. Если числу 6 соответствуют 3 клетки, то мы можем найти, какому числовому значению соответствует одна клетка:
$6 \div 3 \text{ клетки} = 2$.
Это означает, что каждая клетка вправо от O увеличивает координату на 2.
4. Теперь отметим на координатной прямой заданные числа 12, 2 и 8, вычисляя для каждого из них расстояние в клетках от точки O.
- Для числа 12: так как каждая клетка соответствует 2 единицам, то расстояние будет $12 \div 2 = 6$ клеток вправо от O.
- Для числа 2: расстояние составит $2 \div 2 = 1$ клетку вправо от O.
- Для числа 8: расстояние составит $8 \div 2 = 4$ клетки вправо от O.

Ответ: На координатной прямой число 12 будет находиться на расстоянии 6 клеток от точки O, число 2 — на расстоянии 1 клетки, а число 8 — на расстоянии 4 клеток.

РАССУЖДАЕМ (105–107)

105 Перечертите рисунок 2.7 в тетрадь и подпишите числа у каждой засечки.

а) 10 ... 100

б) 100 ... 700

Рис. 2.7

а) Чтобы определить значения у каждой засечки на числовой прямой, сначала необходимо найти цену одного деления. На прямой отмечены точки 10 и 100. Посчитаем количество равных отрезков (интервалов) между ними. Между второй засечкой (10) и пятой засечкой (100) находится 3 интервала.
Найдем разность значений между известными точками:
$100 - 10 = 90$
Теперь разделим эту разность на количество интервалов, чтобы найти цену одного деления:
$90 \div 3 = 30$
Таким образом, каждая следующая засечка на 30 больше предыдущей. Теперь определим значение для каждой засечки:
Вторая засечка имеет значение 10.
Первая засечка находится на одно деление левее, поэтому ее значение: $10 - 30 = -20$.
Третья засечка: $10 + 30 = 40$.
Четвертая засечка: $40 + 30 = 70$.
Пятая засечка: $70 + 30 = 100$. Это совпадает с данным в условии значением, значит, расчеты верны.
Ответ: числа на засечках слева направо: -20, 10, 40, 70, 100.

б) На второй числовой прямой отмечены точки 100 и 700. Между первой засечкой (100) и пятой засечкой (700) находится 4 равных интервала.
Найдем разность значений между этими точками:
$700 - 100 = 600$
Разделим полученную разность на количество интервалов, чтобы определить цену одного деления:
$600 \div 4 = 150$
Цена одного деления равна 150. Теперь найдем значения для всех засечек, начиная с первой и прибавляя по 150.
Первая засечка: 100.
Вторая засечка: $100 + 150 = 250$.
Третья засечка: $250 + 150 = 400$.
Четвертая засечка: $400 + 150 = 550$.
Пятая засечка: $550 + 150 = 700$. Это значение совпадает с данным в условии, что подтверждает правильность расчетов.
Ответ: числа на засечках слева направо: 100, 250, 400, 550, 700.

106 Каким числам соответствуют точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на рисунке 2.8?

0, 5, $A$, 20, $B$, $C$, 50, $D$.

Рис. 2.8

Для того чтобы определить, каким числам соответствуют точки на координатной прямой, необходимо сначала найти цену одного деления шкалы (единичный отрезок).

Из рисунка видно, что между отметками 0 и 5 находится одно деление. Следовательно, цена одного деления равна 5. Проверим это на другом участке шкалы. Например, между отметками 20 и 50 находится 6 делений. Найдем разность значений: $50 - 20 = 30$. Разделим эту разность на количество делений: $30 \div 6 = 5$. Таким образом, цена одного деления действительно равна 5.

A
Точка А находится на втором делении от начала отсчета (точки 0). Чтобы найти ее координату, нужно цену деления умножить на количество делений от нуля: $2 \times 5 = 10$.
Ответ: 10.

B
Точка B находится на одно деление правее отметки 20. Чтобы найти ее координату, нужно к 20 прибавить цену одного деления: $20 + 5 = 25$.
Ответ: 25.

C
Точка C находится на два деления левее отметки 50. Чтобы найти ее координату, нужно из 50 вычесть цену двух делений: $50 - 2 \times 5 = 50 - 10 = 40$.
Ответ: 40.

D
Точка D находится на одно деление правее отметки 50. Чтобы найти ее координату, нужно к 50 прибавить цену одного деления: $50 + 5 = 55$.
Ответ: 55.