Страница 41 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

124 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что вы — комментатор на телевидении в региональном центре. Готовясь к эфиру, вы просматриваете имеющиеся блоки информации и округляете некоторые числовые данные, для того чтобы они легче воспринимались на слух. Как бы вы озвучили в эфире следующую информацию (употребляйте такие слова, как «примерно», «около», «более»)?

а) В праздничном марафоне «Спорт без возраста» приняли участие 596 человек.

б) В район, пострадавший во время стихийного бедствия, поступило 42 т гуманитарного груза.

в) Фермер, по его подсчётам, собрал в своём саду 328 кг яблок.

г) Автолюбитель совершил за сутки пробег длиной 1015 км.

а) Число 596 очень близко к 600. Для того чтобы информация легче воспринималась на слух, его лучше всего округлить до 600. Слово «около» идеально подходит для этого случая, так как оно указывает на небольшое отклонение от точного значения.
Ответ: В праздничном марафоне «Спорт без возраста» приняли участие около 600 человек.

б) Количество 42 тонны можно округлить до 40. Использование слова «более» в данном контексте не только упрощает число, но и подчеркивает значимость оказанной помощи, что является важным для новостного сообщения о гуманитарном грузе.
Ответ: В район, пострадавший во время стихийного бедствия, поступило более 40 тонн гуманитарного груза.

в) Число 328 кг наиболее логично округлить до ближайшего десятка, то есть до 330 кг. Слово «примерно» хорошо сочетается с фразой «по его подсчётам», которая уже указывает на то, что данное число является приблизительным.
Ответ: Фермер, по его подсчётам, собрал в своём саду примерно 330 кг яблок.

г) Расстояние в 1015 км лишь немного превышает 1000 км. Фраза «более 1000 км» является самым удачным вариантом для эфира: она использует круглое, легко запоминающееся число и при этом звучит внушительно, точно передавая информацию о большом пробеге.
Ответ: Автолюбитель совершил за сутки пробег длиной более 1000 км.

При выполнении заданий 125—127 пользуйтесь правилом округления.

125 Округлите:

a) до десятков числа: 281, 69, 347, 23;

б) до тысяч числа: 3267, 8750, 26342, 21623;

в) до миллионов числа: 5 487 900, 31672350.

а) до десятков числа: 281, 69, 347, 23;

Чтобы округлить число до десятков, необходимо посмотреть на цифру в разряде единиц. Если эта цифра меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то цифру в разряде десятков оставляем без изменений, а разряд единиц заменяем нулем. Если цифра в разряде единиц равна 5 или больше (5, 6, 7, 8, 9), то цифру в разряде десятков увеличиваем на единицу, а разряд единиц заменяем нулем.
- В числе 281 в разряде единиц стоит 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону: $281 \approx 280$.
- В числе 69 в разряде единиц стоит 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону: $69 \approx 70$.
- В числе 347 в разряде единиц стоит 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $347 \approx 350$.
- В числе 23 в разряде единиц стоит 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $23 \approx 20$.

Ответ: 280, 70, 350, 20.

б) до тысяч числа: 3267, 8750, 26 342, 21 623;

Чтобы округлить число до тысяч, смотрим на цифру в разряде сотен. Если она меньше 5, то цифру в разряде тысяч оставляем без изменений, а все последующие разряды (сотни, десятки, единицы) заменяем нулями. Если цифра в разряде сотен равна 5 или больше, то цифру в разряде тысяч увеличиваем на единицу, а все последующие разряды заменяем нулями.
- В числе 3267 в разряде сотен стоит 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону: $3267 \approx 3000$.
- В числе 8750 в разряде сотен стоит 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону: $8750 \approx 9000$.
- В числе 26 342 в разряде сотен стоит 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону: $26 342 \approx 26 000$.
- В числе 21 623 в разряде сотен стоит 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону: $21 623 \approx 22 000$.

Ответ: 3000, 9000, 26 000, 22 000.

в) до миллионов числа: 5 487 900, 31 672 350.

Чтобы округлить число до миллионов, смотрим на цифру в разряде сотен тысяч. Если она меньше 5, то цифру в разряде миллионов оставляем без изменений, а все последующие разряды заменяем нулями. Если цифра в разряде сотен тысяч равна 5 или больше, то цифру в разряде миллионов увеличиваем на единицу, а все последующие разряды заменяем нулями.
- В числе 5 487 900 в разряде сотен тысяч стоит 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону: $5 487 900 \approx 5 000 000$.
- В числе 31 672 350 в разряде сотен тысяч стоит 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону: $31 672 350 \approx 32 000 000$.

Ответ: 5 000 000, 32 000 000.

126 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Округляя до миллионов число 26 547 049, три ученика дали такие ответы:

Маша: $26547049 \approx 26000000$.

Лиля: $26547049 \approx 2700000$.

Костя: $26547049 \approx 26500000$.

Объясните, какую ошибку допустил каждый из них, и дайте правильный ответ.

Для того чтобы округлить число 26 547 049 до миллионов, необходимо посмотреть на цифру в разряде, который следует за миллионами, — это разряд сотен тысяч. В данном числе в разряде сотен тысяч стоит цифра 5.

Согласно правилу округления, если цифра в следующем разряде равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде (в нашем случае — в разряде миллионов) увеличивают на единицу. Цифры во всех последующих разрядах заменяют нулями.

Таким образом, цифру 6 в разряде миллионов мы увеличиваем на 1 (получаем 7), а все последующие цифры заменяем нулями. Правильное округление выглядит так: $26 \underline{5}47 049 \approx 27 000 000$.

Теперь проанализируем ответы учеников.

Маша: 26 547 049 ≈ 26 000 000

Маша округлила число в меньшую сторону (просто отбросила цифры после разряда миллионов). Она не учла правило, что при цифре 5 в разряде сотен тысяч необходимо округлять в большую сторону.

Ответ: Маша неверно применила правило округления.

Лиля: 26 547 049 ≈ 2 700 000

Лиля, по всей видимости, правильно определила, что округлять нужно до 27 миллионов, но при записи ответа допустила ошибку в порядке числа. Она потеряла разряд десятков миллионов, из-за чего её ответ (2,7 миллиона) оказался в 10 раз меньше, чем должен быть.

Ответ: Лиля допустила ошибку в записи итогового числа, потеряв разряд.

Костя: 26 547 049 ≈ 26 500 000

Костя выполнил округление до другого разряда. Вместо того чтобы округлить до миллионов, как требовалось в задании, он округлил число до сотен тысяч. Его округление до сотен тысяч выполнено верно ($26 5\underline{4}7 049 \approx 26 500 000$), но это не является решением поставленной задачи.

Ответ: Костя округлил число до неверного разряда (до сотен тысяч вместо миллионов).

Правильный ответ

При округлении числа 26 547 049 до миллионов, мы смотрим на цифру в разряде сотен тысяч (5). Так как она равна 5, мы увеличиваем цифру в разряде миллионов (6) на 1 и заменяем все последующие цифры нулями.

Ответ: $26 547 049 \approx 27 000 000$.

127 Выполните округление указанного числа и запишите результат с использованием сокращённого наименования:

а) 514 908 – до тысяч;

б) 1892 665 – до миллионов.

а) Чтобы округлить число 514 908 до тысяч, нужно посмотреть на цифру в разряде сотен. В данном числе это цифра 9. Правило округления гласит: если следующая за округляемым разрядом цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то округляемый разряд увеличивается на единицу, а все последующие разряды заменяются нулями. Так как $9 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде тысяч (4) на единицу: $4 + 1 = 5$. Цифры в разрядах сотен, десятков и единиц заменяем нулями. Получаем число 515 000. Теперь запишем результат с использованием сокращенного наименования "тысяч" (тыс.).
$514 908 \approx 515 000 = 515$ тыс.
Ответ: 515 тыс.

б) Чтобы округлить число 1 892 665 до миллионов, нужно посмотреть на цифру в разряде сотен тысяч. В данном числе это цифра 8. Так как $8 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде миллионов (1) на единицу: $1 + 1 = 2$. Все последующие разряды (сотни тысяч, десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки и единицы) заменяем нулями. Получаем число 2 000 000. Теперь запишем результат с использованием сокращенного наименования "миллионов" (млн).
$1 892 665 \approx 2 000 000 = 2$ млн.
Ответ: 2 млн.

128 Округлите данное число до десятков, до сотен, до тысяч и т. д., вплоть до старшего разряда:

a) 62538;

б) 908125;

в) 5069874.

а) Округлим число $62 538$ до различных разрядов:

• до десятков: смотрим на цифру в разряде единиц — это 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятков (3) увеличиваем на 1, а разряд единиц заменяем нулём. Получаем: $62 538 \approx 62 540$.

• до сотен: смотрим на цифру в разряде десятков — это 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотен (5) оставляем без изменений, а последующие разряды (десятки и единицы) заменяем нулями. Получаем: $62 538 \approx 62 500$.

• до тысяч: смотрим на цифру в разряде сотен — это 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде тысяч (2) увеличиваем на 1, а последующие разряды заменяем нулями. Получаем: $62 538 \approx 63 000$.

• до старшего разряда (десятков тысяч): смотрим на цифру в разряде тысяч — это 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде десятков тысяч (6) оставляем без изменений, а последующие разряды заменяем нулями. Получаем: $62 538 \approx 60 000$.

Ответ: $62 540; 62 500; 63 000; 60 000$.

б) Округлим число $908 125$ до различных разрядов:

• до десятков: смотрим на цифру в разряде единиц — это 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде десятков (2) увеличиваем на 1. Получаем: $908 125 \approx 908 130$.

• до сотен: смотрим на цифру в разряде десятков — это 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотен (1) оставляем без изменений. Получаем: $908 125 \approx 908 100$.

• до тысяч: смотрим на цифру в разряде сотен — это 1. Так как $1 < 5$, то цифру в разряде тысяч (8) оставляем без изменений. Получаем: $908 125 \approx 908 000$.

• до десятков тысяч: смотрим на цифру в разряде тысяч — это 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде десятков тысяч (0) увеличиваем на 1. Получаем: $908 125 \approx 910 000$.

• до старшего разряда (сотен тысяч): смотрим на цифру в разряде десятков тысяч — это 0. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде сотен тысяч (9) оставляем без изменений. Получаем: $908 125 \approx 900 000$.

Ответ: $908 130; 908 100; 908 000; 910 000; 900 000$.

в) Округлим число $5 069 874$ до различных разрядов:

• до десятков: смотрим на цифру в разряде единиц — это 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде десятков (7) оставляем без изменений. Получаем: $5 069 874 \approx 5 069 870$.

• до сотен: смотрим на цифру в разряде десятков — это 7. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде сотен (8) увеличиваем на 1. Получаем: $5 069 874 \approx 5 069 900$.

• до тысяч: смотрим на цифру в разряде сотен — это 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде тысяч (9) увеличиваем на 1. Так как $9+1=10$, разряд тысяч становится 0, а к разряду десятков тысяч (6) прибавляется 1. Получаем: $5 069 874 \approx 5 070 000$.

• до десятков тысяч: смотрим на цифру в разряде тысяч — это 9. Так как $9 \ge 5$, то цифру в разряде десятков тысяч (6) увеличиваем на 1. Получаем: $5 069 874 \approx 5 070 000$.

• до сотен тысяч: смотрим на цифру в разряде десятков тысяч — это 6. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотен тысяч (0) увеличиваем на 1. Получаем: $5 069 874 \approx 5 100 000$.

• до старшего разряда (миллионов): смотрим на цифру в разряде сотен тысяч — это 0. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде миллионов (5) оставляем без изменений. Получаем: $5 069 874 \approx 5 000 000$.

Ответ: $5 069 870; 5 069 900; 5 070 000; 5 070 000; 5 100 000; 5 000 000$.

129 Рассмотрите приближённые равенства и в каждом случае скажите, до какого разряда округлили число 486 573:

1) $486 573 \approx 486 600;$

2) $486 573 \approx 487 000;$

3) $486 573 \approx 500 000.$

Для определения разряда, до которого округлили число, необходимо посмотреть, какие разряды в приближенном значении заменены нулями. Округление происходит до старшего разряда, который не является нулем (если это не само число 0).

1) $486 573 \approx 486 600$

В числе 486 600 нулями заменены разряды единиц и десятков. Последняя значащая цифра (6) находится в разряде сотен. Это означает, что число округлили до сотен.
Проверим: чтобы округлить 486 573 до сотен, смотрим на цифру в разряде десятков. Это 7. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде сотен (5) увеличиваем на 1, а все последующие разряды заменяем нулями.
$486 573 \approx 486 (5+1)00 = 486 600$.
Приближенное равенство верно, следовательно, округление было выполнено до разряда сотен.

Ответ: до сотен.

2) $486 573 \approx 487 000$

В числе 487 000 нулями заменены разряды единиц, десятков и сотен. Последняя значащая цифра (7) находится в разряде тысяч. Это означает, что число округлили до тысяч.
Проверим: чтобы округлить 486 573 до тысяч, смотрим на цифру в разряде сотен. Это 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде тысяч (6) увеличиваем на 1, а все последующие разряды заменяем нулями.
$486 573 \approx 48(6+1) 000 = 487 000$.
Приближенное равенство верно, следовательно, округление было выполнено до разряда тысяч.

Ответ: до тысяч.

3) $486 573 \approx 500 000$

В числе 500 000 нулями заменены разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и десятков тысяч. Последняя значащая цифра (5) находится в разряде сотен тысяч. Это означает, что число округлили до сотен тысяч.
Проверим: чтобы округлить 486 573 до сотен тысяч, смотрим на цифру в разряде десятков тысяч. Это 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотен тысяч (4) увеличиваем на 1, а все последующие разряды заменяем нулями.
$486 573 \approx (4+1)00 000 = 500 000$.
Приближенное равенство верно, следовательно, округление было выполнено до разряда сотен тысяч.

Ответ: до сотен тысяч.

130 В школе 20 классов, в каждом из которых от 30 до 40 учеников. Оцените число учащихся школы. Какое из двух полученных чисел точнее указывает примерное число учащихся в школе, если в школе 758 учеников? 626 учеников?

Сначала оценим общее число учащихся в школе. Для этого найдем минимальное и максимальное возможное количество учеников, исходя из данных условий. В школе 20 классов, в каждом из которых от 30 до 40 учеников.

Минимальное общее число учащихся будет, если в каждом из 20 классов будет минимальное количество учеников, то есть 30:
$20 \times 30 = 600$ учеников.

Максимальное общее число учащихся будет, если в каждом из 20 классов будет максимальное количество учеников, то есть 40:
$20 \times 40 = 800$ учеников.

Таким образом, общее число учащихся в школе оценивается как находящееся в диапазоне от 600 до 800. Два полученных числа для оценки — это 600 (нижняя граница) и 800 (верхняя граница).

Далее определим, какое из этих двух чисел точнее указывает примерное число учащихся для каждого из предложенных случаев. Чтобы определить, какая оценка точнее, нужно найти абсолютную разницу (модуль разности) между фактическим числом и каждой из оценок. Меньшая разница соответствует более точной оценке.

758 учеников

Сравним, какое из оценочных чисел, 600 или 800, находится ближе к 758.
Разница между фактическим числом и верхней оценкой: $|758 - 800| = 42$.
Разница между фактическим числом и нижней оценкой: $|758 - 600| = 158$.
Поскольку $42 < 158$, число 800 является более точной оценкой.
Ответ: Если в школе 758 учеников, то число 800 точнее указывает примерное число учащихся.

626 учеников

Сравним, какое из оценочных чисел, 600 или 800, находится ближе к 626.
Разница между фактическим числом и верхней оценкой: $|626 - 800| = 174$.
Разница между фактическим числом и нижней оценкой: $|626 - 600| = 26$.
Поскольку $26 < 174$, число 600 является более точной оценкой.
Ответ: Если в школе 626 учеников, то число 600 точнее указывает примерное число учащихся.

131 РАССУЖДАЕМ

Миша задумал число и, округлив его до десятков, записал: 280. Какое число мог задумать Миша?

Подсказка.

Подумайте, какая цифра могла стоять в разряде десятков.

Чтобы найти, какое число мог задумать Миша, нужно вспомнить правила округления до десятков. При округлении числа до десятков мы смотрим на цифру в разряде единиц.

• Если цифра в разряде единиц — 0, 1, 2, 3 или 4, то число округляется в меньшую сторону. Цифра в разряде десятков не меняется, а в разряде единиц пишется 0.
• Если цифра в разряде единиц — 5, 6, 7, 8 или 9, то число округляется в большую сторону. Цифра в разряде десятков увеличивается на 1, а в разряде единиц пишется 0.

После округления получилось число 280. Это могло произойти в двух случаях.

Случай 1: Число было округлено в меньшую сторону.

В этом случае, в разряде десятков исходного числа была цифра 8, а в разряде единиц — одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4. Таким образом, задуманное число могло быть 280, 281, 282, 283 или 284.

Случай 2: Число было округлено в большую сторону.

В этом случае, разряд десятков исходного числа был увеличен на 1 и стал равен 8. Значит, до округления в разряде десятков была цифра $8 - 1 = 7$. При этом в разряде единиц могла стоять одна из цифр: 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, задуманное число могло быть 275, 276, 277, 278 или 279.

Объединив оба случая, мы получаем все возможные числа, которые мог задумать Миша.

Ответ: Миша мог задумать любое целое число от 275 до 284 включительно (275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284).