Вопросы, страница 43 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.5. Решение комбинаторных задач. Глава 2. Натуральные числа - страница 43.

Дополним условие рассмотренной задачи требованием: каждую цифру можно использовать только один раз. Какие числа в таком случае нужно отбросить? Сколько останется чисел?

Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр 3 и 6, если:

а) каждую цифру разрешается использовать только один раз?

б) каждую цифру разрешается использовать не один раз?

Изобразите в тетради прямую с точками A, B, C, D (см. рис. 2.16) и добавьте ещё точку E. Теперь на прямой отмечены пять точек. Сколько отрезков при этом добавилось?

A B C D
-----------------------------------

Рис. 2.16

Особенностью рассмотренной задачи является то, что все комбинации составлялись из одних и тех же элементов — букв Р, М, Ф — с помощью их всевозможных перестановок. Придумайте свою задачу на перестановки.

Можете ли вы, не выполняя перебора, дать ответ на вопрос такой задачи: «Аня, Галя и Таня купили вместе интересную книгу и будут читать её по очереди. Сколько есть вариантов этой очереди?»

Какие ветви дерева окажутся лишними, если каждую цифру можно использовать только один раз?

Решите с помощью построения дерева задачу о расписании уроков.

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 3 и 6, если:

а) каждую цифру разрешается использовать только один раз;

Для составления двузначного числа из цифр 3 и 6 без повторений нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. На место первой цифры (десятки) можно поставить любую из двух цифр (3 или 6), то есть есть 2 варианта. После того как первая цифра выбрана, для второй цифры (единицы) остаётся только одна неиспользованная цифра. Таким образом, общее количество вариантов равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \times 1 = 2$.
Эти числа: 36 и 63.

Ответ: 2 числа.

б) каждую цифру разрешается использовать не один раз?

Если цифры можно использовать повторно, то для выбора первой цифры (десятки) есть 2 варианта (3 или 6). Для выбора второй цифры (единицы) также есть 2 варианта, так как мы можем снова использовать ту же цифру. Общее количество вариантов равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \times 2 = 4$.
Эти числа: 33, 36, 63, 66.

Ответ: 4 числа.

Изобразите в тетради прямую с точками A, B, C, D (см. рис. 2.16) и добавьте ещё точку E. Теперь на прямой отмечены пять точек. Сколько отрезков при этом добавилось?

Изначально на прямой было 4 точки: A, B, C, D. Количество отрезков, которые можно построить с помощью $n$ точек, вычисляется по формуле $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.
При $n=4$, количество отрезков было $\frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$. Это отрезки AB, AC, AD, BC, BD, CD.
После добавления точки E на прямой стало 5 точек. Общее количество отрезков стало $\frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
Чтобы найти, сколько отрезков добавилось, нужно из нового общего количества вычесть старое: $10 - 6 = 4$.
Также можно рассуждать иначе: новая точка E образует новые отрезки с каждой из уже существующих точек (A, B, C, D). Таких отрезков будет 4: AE, BE, CE, DE.

Ответ: Добавилось 4 отрезка.

Придумайте свою задачу на перестановки.

Задача: В финальном забеге на 100 метров участвуют 4 бегуна. Сколькими различными способами они могут занять первые четыре места?

Ответ: Задача: В финальном забеге на 100 метров участвуют 4 бегуна. Сколькими различными способами они могут занять первые четыре места?

Можете ли вы, не выполняя перебора, дать ответ на вопрос такой задачи: «Аня, Галя и Таня купили вместе интересную книгу и будут читать её по очереди. Сколько есть вариантов этой очереди?»

Да, можно. Эта задача на нахождение числа перестановок для трёх элементов (Аня, Галя, Таня). Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал").
В данном случае $n=3$, так как у нас три девочки. $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Следовательно, существует 6 различных вариантов очередности чтения книги.

Ответ: Да, можно. Существует 6 вариантов этой очереди.

Какие ветви дерева окажутся лишними, если каждую цифру можно использовать только один раз?

Если предположить, что речь идет о построении дерева вариантов для задачи о составлении двузначных чисел из цифр 3 и 6 (рассмотренной выше), то при построении дерева для случая, когда цифры могут повторяться, мы получаем 4 ветви, приводящие к числам 33, 36, 63, 66.
Условие "каждую цифру можно использовать только один раз" означает, что цифры в числе не должны повторяться. Следовательно, ветви дерева, которые приводят к числам с одинаковыми цифрами, станут лишними.
В данном случае лишними окажутся ветви, образующие числа 33 (первая цифра 3 и вторая 3) и 66 (первая цифра 6 и вторая 6).

Ответ: Лишними окажутся ветви, которые ведут к числам, состоящим из одинаковых цифр.