Номер 141, страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.5. Решение комбинаторных задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 141, страница 45.

141 Саша выбрал в библиотеке пять книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг из пяти есть у Саши?

Подсказка. Дайте книгам номера 1, 2, 3, 4 и 5.

Эта задача относится к разделу комбинаторики. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 книги из 5, причем порядок выбора не имеет значения. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Способ 1: Метод прямого перебора

Воспользуемся подсказкой и присвоим каждой книге номер от 1 до 5. Теперь systematically перечислим все возможные уникальные пары книг.

- С книгой №1 можно составить следующие пары: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5). Всего 4 варианта.
- С книгой №2, чтобы избежать повторений (пара (2, 1) это то же самое, что и (1, 2)), будем составлять пары только с книгами с большими номерами: (2, 3), (2, 4), (2, 5). Всего 3 новых варианта.
- С книгой №3: (3, 4), (3, 5). Всего 2 новых варианта.
- С книгой №4: (4, 5). Всего 1 новый вариант.
- Для книги №5 все возможные пары уже были перечислены.

Теперь сложим все найденные варианты: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (то есть количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка) вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество книг $n = 5$, а количество книг, которые нужно выбрать, $k = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!}$

Распишем факториалы и выполним вычисления. Знак "!" означает факториал, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

$C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

Оба способа решения приводят к одинаковому результату. У Саши есть 10 различных вариантов выбора двух книг из пяти.

Ответ: 10 вариантов.