Номер 139, страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.5. Решение комбинаторных задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 139, страница 45.

139. Сколькими способами можно составить патруль из двух полицейских, если на дежурство вышли четверо: Быстров, Свистунов, Умнов и Дубов?

Подсказка. Обозначьте милиционеров первыми буквами их фамилий.

Для решения этой задачи нужно определить количество способов выбрать 2 человека из 4. Так как порядок полицейских в патруле не важен (пара Быстров-Свистунов — это то же самое, что и Свистунов-Быстров), мы будем использовать сочетания.

Обозначим полицейских первыми буквами их фамилий, как предложено в подсказке:

• Б — Быстров
• С — Свистунов
• У — Умнов
• Д — Дубов

Можно решить задачу, перечислив все возможные уникальные пары:

1. БС (Быстров и Свистунов)
2. БУ (Быстров и Умнов)
3. БД (Быстров и Дубов)
4. СУ (Свистунов и Умнов)
5. СД (Свистунов и Дубов)
6. УД (Умнов и Дубов)

Подсчитав количество пар, получаем 6 способов.

Также можно использовать формулу для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае всего полицейских $n=4$, а размер патруля $k=2$. Подставляем значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, существует 6 способов составить патруль.

Ответ: 6.