Страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

137 Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9.

Чтобы составить все возможные двузначные числа из цифр 3, 5, 7, 9, нужно рассмотреть все варианты для разряда десятков и разряда единиц. Поскольку в условии не сказано, что цифры не могут повторяться, мы можем использовать их несколько раз.

На позицию десятков можно поставить любую из четырех цифр (3, 5, 7, 9) – это 4 варианта.
На позицию единиц также можно поставить любую из четырех цифр (3, 5, 7, 9) – это еще 4 варианта.

Общее количество комбинаций равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $4 \times 4 = 16$ чисел.

Перечислим все эти числа, систематизируя их по первой цифре:
• Если первая цифра 3: 33, 35, 37, 39.
• Если первая цифра 5: 53, 55, 57, 59.
• Если первая цифра 7: 73, 75, 77, 79.
• Если первая цифра 9: 93, 95, 97, 99.

Ответ: 33, 35, 37, 39, 53, 55, 57, 59, 73, 75, 77, 79, 93, 95, 97, 99.

Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр только один раз?

В этом случае цифры в двузначном числе повторяться не должны. Мы используем тот же набор цифр {3, 5, 7, 9}.

Для выбора первой цифры (в разряде десятков) у нас есть 4 варианта.

После того как первая цифра выбрана, для второй цифры (в разряде единиц) остается на один вариант меньше, так как повторения не допускаются. То есть, $4 - 1 = 3$ варианта.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество доступных вариантов для каждой позиции:
$4 \times 3 = 12$.

Это является задачей нахождения числа размещений без повторений из 4 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$.

Ответ: 12.

138 Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, используя при записи числа каждую цифру не более одного раза. Сколько получится чисел, если каждую цифру использовать не один раз?

Запишите все двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, используя при записи числа каждую цифру не более одного раза.

Для составления двузначного числа из цифр 0, 1, 2 без повторений необходимо учесть следующие правила:

1. Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц.
2. На месте десятков не может стоять цифра 0, иначе число будет однозначным. Следовательно, для первой цифры у нас есть два варианта: 1 или 2.
3. Каждая цифра может быть использована только один раз.

Рассмотрим все возможные комбинации:

• Если на первом месте (десятки) стоит цифра 1, то на втором месте (единицы) могут стоять оставшиеся цифры 0 или 2. Получаем числа: 10 и 12.
• Если на первом месте (десятки) стоит цифра 2, то на втором месте (единицы) могут стоять оставшиеся цифры 0 или 1. Получаем числа: 20 и 21.

Таким образом, мы можем составить 4 различных двузначных числа.

Ответ: 10, 12, 20, 21.

Сколько получится чисел, если каждую цифру использовать не один раз?

Условие "использовать не один раз" означает, что цифры в числе могут повторяться. Мы по-прежнему составляем двузначные числа из цифр 0, 1, 2.

1. Для первой цифры (десятки) по-прежнему есть 2 варианта (1 или 2), так как число не может начинаться с нуля.
2. Для второй цифры (единицы) мы можем использовать любую из трёх данных цифр (0, 1 или 2), так как повторения разрешены. Таким образом, для второй цифры у нас есть 3 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество вариантов для десятков $ \times $ Количество вариантов для единиц $ = 2 \times 3 = 6$.

Перечислим эти числа для наглядности:

• Начинающиеся с 1: 10, 11, 12.
• Начинающиеся с 2: 20, 21, 22.

Всего получается 6 чисел.

Ответ: 6.

139. Сколькими способами можно составить патруль из двух полицейских, если на дежурство вышли четверо: Быстров, Свистунов, Умнов и Дубов?

Подсказка. Обозначьте милиционеров первыми буквами их фамилий.

Для решения этой задачи нужно определить количество способов выбрать 2 человека из 4. Так как порядок полицейских в патруле не важен (пара Быстров-Свистунов — это то же самое, что и Свистунов-Быстров), мы будем использовать сочетания.

Обозначим полицейских первыми буквами их фамилий, как предложено в подсказке:

• Б — Быстров
• С — Свистунов
• У — Умнов
• Д — Дубов

Можно решить задачу, перечислив все возможные уникальные пары:

1. БС (Быстров и Свистунов)
2. БУ (Быстров и Умнов)
3. БД (Быстров и Дубов)
4. СУ (Свистунов и Умнов)
5. СД (Свистунов и Дубов)
6. УД (Умнов и Дубов)

Подсчитав количество пар, получаем 6 способов.

Также можно использовать формулу для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае всего полицейских $n=4$, а размер патруля $k=2$. Подставляем значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, существует 6 способов составить патруль.

Ответ: 6.

140 Из четырёх игр: шашки, лото, конструктор и эрудит – надо выбрать две. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать две игры из четырех доступных. Поскольку порядок выбора игр не имеет значения (выбор "шашки и лото" идентичен выбору "лото и шашки"), задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2.

Решить задачу можно двумя способами.

Способ 1: Прямой перебор всех возможных пар.
Перечислим все уникальные пары игр, которые можно составить из четырех названий: шашки (Ш), лото (Л), конструктор (К) и эрудит (Э).

1. Шашки и лото
2. Шашки и конструктор
3. Шашки и эрудит
4. Лото и конструктор
5. Лото и эрудит
6. Конструктор и эрудит

Подсчет показывает, что существует 6 различных пар.

Способ 2: Использование формулы числа сочетаний.
Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в каждой выборке.

В нашем случае общее количество игр $n=4$, и нам нужно выбрать $k=2$ игры.
Подставляем эти значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Таким образом, существует 6 способов выбрать две игры из четырех.

Ответ: 6

141 Саша выбрал в библиотеке пять книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг из пяти есть у Саши?

Подсказка. Дайте книгам номера 1, 2, 3, 4 и 5.

Эта задача относится к разделу комбинаторики. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 книги из 5, причем порядок выбора не имеет значения. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний.

Способ 1: Метод прямого перебора

Воспользуемся подсказкой и присвоим каждой книге номер от 1 до 5. Теперь systematically перечислим все возможные уникальные пары книг.

- С книгой №1 можно составить следующие пары: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5). Всего 4 варианта.
- С книгой №2, чтобы избежать повторений (пара (2, 1) это то же самое, что и (1, 2)), будем составлять пары только с книгами с большими номерами: (2, 3), (2, 4), (2, 5). Всего 3 новых варианта.
- С книгой №3: (3, 4), (3, 5). Всего 2 новых варианта.
- С книгой №4: (4, 5). Всего 1 новый вариант.
- Для книги №5 все возможные пары уже были перечислены.

Теперь сложим все найденные варианты: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (то есть количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка) вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество книг $n = 5$, а количество книг, которые нужно выбрать, $k = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!}$

Распишем факториалы и выполним вычисления. Знак "!" означает факториал, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

$C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

Оба способа решения приводят к одинаковому результату. У Саши есть 10 различных вариантов выбора двух книг из пяти.

Ответ: 10 вариантов.

142 В магазине продаются полотенца трёх видов: в полоску, в клетку и в горошек. Из скольких вариантов покупки придётся выбирать, если нужны два разных полотенца?

Для решения этой задачи нам нужно найти количество способов выбрать 2 разных полотенца из 3 доступных видов. Пусть у нас есть три вида полотенец: в полоску (П), в клетку (К) и в горошек (Г).

Поскольку нам нужно купить два разных полотенца, и порядок их выбора не важен (купить полосатое и клетчатое — это то же самое, что купить клетчатое и полосатое), мы ищем число сочетаний из 3 элементов по 2.

Способ 1: Прямой перебор вариантов

Мы можем просто перечислить все возможные уникальные пары:

• 1. Полотенце в полоску и полотенце в клетку.
• 2. Полотенце в полоску и полотенце в горошек.
• 3. Полотенце в клетку и полотенце в горошек.

Всего получается 3 варианта покупки.

Способ 2: Использование формулы сочетаний

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество видов полотенец $n=3$, а количество полотенец, которые нужно выбрать, $k=2$.

Подставляем наши значения в формулу: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3.

143 Шифр для сейфа составляется из трёх разных цифр. Запишите все шифры, которые можно составить, используя цифры 1, 2 и 3.

По условию, шифр для сейфа состоит из трех разных цифр, и для его составления используются цифры 1, 2 и 3. Нам необходимо найти все возможные комбинации этих цифр. Эта задача сводится к нахождению всех перестановок из трех элементов.

Будем систематически перечислять все возможные шифры, фиксируя первую цифру:

1. Если первая цифра шифра — 1, то оставшиеся две цифры (2 и 3) могут быть расположены двумя способами: 23 или 32. Таким образом, мы получаем два шифра: 123 и 132.

2. Если первая цифра шифра — 2, то оставшиеся две цифры (1 и 3) также могут быть расположены двумя способами: 13 или 31. Получаем шифры: 213 и 231.

3. Если первая цифра шифра — 3, то оставшиеся две цифры (1 и 2) можно расположить как 12 или 21. Получаем шифры: 312 и 321.

Собрав все найденные варианты вместе, мы получаем полный список всех возможных шифров. Общее количество таких шифров равно числу перестановок из 3 элементов, которое вычисляется по формуле $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 123, 132, 213, 231, 312, 321.