Страница 52 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

170 Из пункта А в пункт С ведут разные дороги (рис. 3.1). Сколькими маршрутами можно проехать из пункта А в пункт С? Найдите самый короткий маршрут.

РАССУЖДАЕМ (171–172)

171 Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

а) $247 + 979$ и $250 + 980$;

б) $193 + 872$ и $190 + 870$;

в) $245 + 176$ и $250 + 180$;

г) $1288 + 976$ и $1200 + 900$.

Образец. а) Будем рассуждать следующим образом: так как $247$ меньше,

Рис. 3.1

170. Для того чтобы определить, сколькими маршрутами можно проехать из пункта А в пункт С, необходимо перечислить все возможные пути, показанные на схеме.
Из пункта А можно поехать в пункт B или D. Из обоих этих пунктов путь ведет в пункт P. Из пункта P можно поехать в M или N, и уже из них — в конечный пункт С.
Таким образом, все возможные маршруты:
1. A → B → P → M → C
2. A → B → P → N → C
3. A → D → P → M → C
4. A → D → P → N → C
Всего существует 4 различных маршрута.

Чтобы найти самый короткий маршрут, вычислим длину каждого из них:
1. Длина маршрута A → B → P → M → C: $37 + 22 + 26 + 17 = 102$ км.
2. Длина маршрута A → B → P → N → C: $37 + 22 + 25 + 21 = 105$ км.
3. Длина маршрута A → D → P → M → C: $42 + 19 + 26 + 17 = 104$ км.
4. Длина маршрута A → D → P → N → C: $42 + 19 + 25 + 21 = 107$ км.

Сравнив полученные длины (102 км, 105 км, 104 км, 107 км), мы видим, что наименьшая составляет 102 км. Этот путь соответствует маршруту A → B → P → M → C.
Ответ: Из пункта А в пункт С можно проехать 4 маршрутами. Самый короткий маршрут: A → B → P → M → C, его длина 102 км.

171. Для сравнения значений выражений, не выполняя вычислений, воспользуемся свойством сложения: если каждое слагаемое одной суммы соответственно меньше (или больше) каждого слагаемого другой суммы, то и первая сумма будет меньше (или больше) второй.

а) Сравним выражения $247 + 979$ и $250 + 980$.
Сравниваем первые слагаемые: $247 < 250$.
Сравниваем вторые слагаемые: $979 < 980$.
Поскольку каждое слагаемое в первом выражении меньше соответствующего слагаемого во втором, то и вся сумма меньше.
Ответ: $247 + 979 < 250 + 980$.

б) Сравним выражения $193 + 872$ и $190 + 870$.
Сравниваем первые слагаемые: $193 > 190$.
Сравниваем вторые слагаемые: $872 > 870$.
Поскольку каждое слагаемое в первом выражении больше соответствующего слагаемого во втором, то и вся сумма больше.
Ответ: $193 + 872 > 190 + 870$.

в) Сравним выражения $245 + 176$ и $250 + 180$.
Сравниваем первые слагаемые: $245 < 250$.
Сравниваем вторые слагаемые: $176 < 180$.
Поскольку каждое слагаемое в первом выражении меньше соответствующего слагаемого во втором, то и вся сумма меньше.
Ответ: $245 + 176 < 250 + 180$.

г) Сравним выражения $1288 + 976$ и $1200 + 900$.
Сравниваем первые слагаемые: $1288 > 1200$.
Сравниваем вторые слагаемые: $976 > 900$.
Поскольку каждое слагаемое в первом выражении больше соответствующего слагаемого во втором, то и вся сумма больше.
Ответ: $1288 + 976 > 1200 + 900$.

171 Сравните значения выражений, не выполняя вычислений:

а) $247 + 979$ и $250 + 980$;

б) $193 + 872$ и $190 + 870$;

в) $245 + 176$ и $250 + 180$;

г) $1288 + 976$ и $1200 + 900$.

Образец. а) Будем рассуждать следующим образом: так как 247 меньше, чем 250, и 979 меньше, чем 980, то и сумма 247 и 979 меньше, чем сумма 250 и 980: $247 + 979 < 250 + 980$.

Рис. 3.1

Чтобы сравнить значения выражений $247 + 979$ и $250 + 980$, сравним их слагаемые. Первое слагаемое первой суммы $247$ меньше первого слагаемого второй суммы $250$ ($247 < 250$). Второе слагаемое первой суммы $979$ меньше второго слагаемого второй суммы $980$ ($979 < 980$). Так как оба слагаемых первой суммы меньше соответствующих слагаемых второй суммы, то и вся первая сумма меньше второй.

Ответ: $247 + 979 < 250 + 980$.

Сравним слагаемые в выражениях $193 + 872$ и $190 + 870$. Первое слагаемое $193$ больше, чем $190$ ($193 > 190$). Второе слагаемое $872$ больше, чем $870$ ($872 > 870$). Поскольку каждое слагаемое в первой сумме больше соответствующего слагаемого во второй, то первая сумма больше второй.

Ответ: $193 + 872 > 190 + 870$.

Сравним слагаемые в выражениях $245 + 176$ и $250 + 180$. Первое слагаемое $245$ меньше, чем $250$ ($245 < 250$). Второе слагаемое $176$ меньше, чем $180$ ($176 < 180$). Поскольку каждое слагаемое в первой сумме меньше соответствующего слагаемого во второй, то первая сумма меньше второй.

Ответ: $245 + 176 < 250 + 180$.

Сравним слагаемые в выражениях $1288 + 976$ и $1200 + 900$. Первое слагаемое $1288$ больше, чем $1200$ ($1288 > 1200$). Второе слагаемое $976$ больше, чем $900$ ($976 > 900$). Поскольку каждое слагаемое в первой сумме больше соответствующего слагаемого во второй, то первая сумма больше второй.

Ответ: $1288 + 976 > 1200 + 900$.

172 Как можно сравнить сумму $375 + 197$ с числом 600, не находя ее точного значения? Для этого подберем два «удобных» круглых числа, в сумме дающих 600. Мы видим, что 375 меньше, чем 400, а 197 меньше, чем 200, значит, их сумма меньше, чем $400 + 200$, т. е. 600. Записать это рассуждение можно так: $375 + 197 < 400 + 200 = 600$. Этот прием называют оценкой. Пользуясь оценкой, сравните сумму с данным числом:

а) $289 + 655$ и 1000;

б) $336 + 208$ и 500;

в) $107 + 248$ и 300;

г) $28 + 57 + 49$ и 150.

а) Чтобы сравнить сумму $289 + 655$ с числом $1000$, воспользуемся методом оценки. Округлим каждое слагаемое в большую сторону до ближайшего "удобного" круглого числа. Число $289$ меньше, чем $300$. Число $655$ меньше, чем $700$. Значит, их сумма будет меньше суммы $300$ и $700$.
Запишем это рассуждение: $289 + 655 < 300 + 700 = 1000$.
Следовательно, сумма $289 + 655$ меньше, чем $1000$.

Ответ: $289 + 655 < 1000$.

б) Чтобы сравнить сумму $336 + 208$ с числом $500$, используем оценку. В этом случае удобнее округлить каждое слагаемое в меньшую сторону. Число $336$ больше, чем $300$. Число $208$ больше, чем $200$. Значит, их сумма будет больше, чем сумма $300$ и $200$.
Запишем это рассуждение: $336 + 208 > 300 + 200 = 500$.
Следовательно, сумма $336 + 208$ больше, чем $500$.

Ответ: $336 + 208 > 500$.

в) Чтобы сравнить сумму $107 + 248$ с числом $300$, используем оценку, округляя слагаемые в меньшую сторону. Число $107$ больше, чем $100$. Число $248$ больше, чем $200$. Значит, их сумма будет больше, чем сумма $100$ и $200$.
Запишем это рассуждение: $107 + 248 > 100 + 200 = 300$.
Следовательно, сумма $107 + 248$ больше, чем $300$.

Ответ: $107 + 248 > 300$.

г) Чтобы сравнить сумму $28 + 57 + 49$ с числом $150$, используем оценку, округляя слагаемые в большую сторону до ближайшего десятка. Число $28$ меньше, чем $30$. Число $57$ меньше, чем $60$. Число $49$ меньше, чем $50$. Значит, их сумма будет меньше, чем сумма $30$, $60$ и $50$.
Запишем это рассуждение: $28 + 57 + 49 < 30 + 60 + 50 = 140$.
Так как $140 < 150$, то и исходная сумма $28 + 57 + 49$ тем более меньше $150$.

Ответ: $28 + 57 + 49 < 150$.

173 Иногда при вычислениях полезно сделать предварительную прикидку результата, т. е. найти его приближённое значение. Найдите приближённое значение суммы, округлив слагаемые до старшего разряда, а затем найдите точное значение суммы. На сколько оно отличается от приближённого?

а) $284 + 634;$

б) $5473 + 2614;$

в) $1945 + 726;$

г) $495 + 226;$

д) $705 + 516 + 101;$

е) $1022 + 377 + 999.$

а) $284 + 634$

1. Округляем слагаемые до старшего разряда (сотни):
$284 \approx 300$ (так как следующая за старшим разрядом цифра 8 ≥ 5)
$634 \approx 600$ (так как следующая за старшим разрядом цифра 3 < 5)

2. Находим приближенное значение суммы:
$300 + 600 = 900$

3. Находим точное значение суммы:
$284 + 634 = 918$

4. Находим, на сколько точное значение отличается от приближенного:
$|918 - 900| = 18$

Ответ: точное значение отличается от приближенного на 18.

б) $5473 + 2614$

1. Округляем слагаемые до старшего разряда (тысячи):
$5473 \approx 5000$ (так как следующая за старшим разрядом цифра 4 < 5)
$2614 \approx 3000$ (так как следующая за старшим разрядом цифра 6 ≥ 5)

2. Находим приближенное значение суммы:
$5000 + 3000 = 8000$

3. Находим точное значение суммы:
$5473 + 2614 = 8087$

4. Находим, на сколько точное значение отличается от приближенного:
$|8087 - 8000| = 87$

Ответ: точное значение отличается от приближенного на 87.

в) $1945 + 726$

1. Округляем слагаемые до старшего разряда:
Для числа 1945 старший разряд - тысячи: $1945 \approx 2000$ (так как 9 ≥ 5)
Для числа 726 старший разряд - сотни: $726 \approx 700$ (так как 2 < 5)

2. Находим приближенное значение суммы:
$2000 + 700 = 2700$

3. Находим точное значение суммы:
$1945 + 726 = 2671$

4. Находим, на сколько точное значение отличается от приближенного:
$|2671 - 2700| = 29$

Ответ: точное значение отличается от приближенного на 29.

г) $495 + 226$

1. Округляем слагаемые до старшего разряда (сотни):
$495 \approx 500$ (так как 9 ≥ 5)
$226 \approx 200$ (так как 2 < 5)

2. Находим приближенное значение суммы:
$500 + 200 = 700$

3. Находим точное значение суммы:
$495 + 226 = 721$

4. Находим, на сколько точное значение отличается от приближенного:
$|721 - 700| = 21$

Ответ: точное значение отличается от приближенного на 21.

д) $705 + 516 + 101$

1. Округляем слагаемые до старшего разряда (сотни):
$705 \approx 700$ (так как 0 < 5)
$516 \approx 500$ (так как 1 < 5)
$101 \approx 100$ (так как 0 < 5)

2. Находим приближенное значение суммы:
$700 + 500 + 100 = 1300$

3. Находим точное значение суммы:
$705 + 516 + 101 = 1322$

4. Находим, на сколько точное значение отличается от приближенного:
$|1322 - 1300| = 22$

Ответ: точное значение отличается от приближенного на 22.

е) $1022 + 377 + 999$

1. Округляем слагаемые до старшего разряда:
Для числа 1022 старший разряд - тысячи: $1022 \approx 1000$ (так как 0 < 5)
Для числа 377 старший разряд - сотни: $377 \approx 400$ (так как 7 ≥ 5)
Для числа 999 старший разряд - сотни: $999 \approx 1000$ (так как 9 ≥ 5)

2. Находим приближенное значение суммы:
$1000 + 400 + 1000 = 2400$

3. Находим точное значение суммы:
$1022 + 377 + 999 = 2398$

4. Находим, на сколько точное значение отличается от приближенного:
$|2398 - 2400| = 2$

Ответ: точное значение отличается от приближенного на 2.

174 Книгохранилище библиотеки занимает три комнаты. В одной комнате 8200 книг, в другой — 12400 книг, а в третьей — 13500 книг. Сколько примерно тысяч книг находится в книгохранилище библиотеки? Выберите правильный ответ.

1) 108 тыс.

2) 341 тыс.

3) 23 тыс.

4) 34 тыс.

Чтобы определить, сколько примерно тысяч книг находится в книгохранилище, необходимо сначала вычислить общее количество книг, а затем округлить полученное значение до ближайшей тысячи.

1. Найдем общее количество книг, сложив число книг в каждой из трех комнат:

$8200 + 12400 + 13500$

Посчитаем сумму:

$8200 + 12400 = 20600$

$20600 + 13500 = 34100$

Итак, общее количество книг в книгохранилище составляет 34 100.

2. Теперь округлим это число до тысяч. Число 34 100 находится между 34 000 и 35 000. Чтобы округлить до тысяч, смотрим на цифру в разряде сотен. В данном случае это 1. Поскольку 1 меньше 5, округление производится в меньшую сторону, то есть до 34 000.

$34100 \approx 34000$

Таким образом, в книгохранилище примерно 34 000 книг, что составляет 34 тысячи.

3. Сравним полученный результат с вариантами ответов:

1) 108 тыс.
2) 341 тыс.
3) 23 тыс.
4) 34 тыс.

Наш результат совпадает с вариантом 4.

Ответ: 4) 34 тыс.

175 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) Представьте себе, что вы находитесь в магазине электротоваров и хотите быстро прикинуть, в какую сумму обойдётся покупка плеера за 1490 р. и музыкального диска за 199 р. Замените данные числа близкими круглыми числами и определите, сколько примерно денег потребуется на эту покупку.

б) Теперь вы в продуктовом магазине покупаете овощи и фрукты. Пакет выдерживает груз до 5 кг. Можете ли вы положить в него 950 г помидоров, 1 кг 30 г огурцов, 1 кг 700 г яблок, или для этого потребуется ещё один пакет? Ответьте на вопрос, выполнив прикидку.

а) Чтобы быстро прикинуть общую сумму покупки, необходимо заменить данные числа близкими к ним круглыми числами, удобными для устного счета.

Стоимость плеера составляет 1490 р. Это число очень близко к 1500 р.

Стоимость музыкального диска — 199 р. Это число очень близко к 200 р.

Теперь сложим округленные значения, чтобы получить примерную сумму покупки:

$1500 \text{ р.} + 200 \text{ р.} = 1700 \text{ р.}$

Таким образом, на покупку потребуется примерно 1700 рублей.

Ответ: Примерно 1700 р.

б) Чтобы определить, поместятся ли все продукты в один пакет, нужно найти их общий вес и сравнить с максимальной нагрузкой, которую выдерживает пакет (5 кг). Выполним прикидку, округлив вес каждого продукта.

1. Вес помидоров: 950 г. Это значение близко к 1000 г, то есть 1 кг. Примем вес помидоров равным 1 кг.

2. Вес огурцов: 1 кг 30 г. Так как 30 г — это небольшая величина, для прикидки можно ей пренебречь. Примем вес огурцов равным 1 кг.

3. Вес яблок: 1 кг 700 г. Это значение (1,7 кг) ближе к 2 кг, чем к 1,5 кг. Округлим его до 2 кг.

Теперь найдем примерный общий вес всех продуктов, сложив округленные значения:

$1 \text{ кг} + 1 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 4 \text{ кг}$

Сравним полученный примерный вес с максимальной нагрузкой пакета:

$4 \text{ кг} < 5 \text{ кг}$

Так как примерный общий вес покупок меньше, чем максимальный вес, который выдерживает пакет, все продукты можно положить в один пакет.

Ответ: Да, все овощи и фрукты можно положить в один пакет, так как их примерный общий вес составляет 4 кг, что меньше 5 кг.