Страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

153 МОДЕЛИРУЕМ

На поле пять игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке 2.18 с помощью стрелок изображён один из возможных вариантов комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы между игроками в данной комбинации.

Рис. 2.18

Согласно условию задачи, в комбинации участвуют пять игроков. Игрок № 1 начинает комбинацию, а игрок № 5 забивает гол. Каждый из пяти хоккеистов ударяет по шайбе ровно один раз. Это означает, что нам нужно найти все возможные последовательности передач шайбы, которые начинаются с игрока № 1, заканчиваются игроком № 5, и в которых игроки № 2, № 3 и № 4 участвуют по одному разу.

Задача сводится к нахождению всех возможных упорядоченных последовательностей (перестановок) для трех игроков, находящихся в середине комбинации: № 2, № 3 и № 4.

Общее число перестановок для $n$ элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал). В данном случае у нас 3 игрока ($n=3$), поэтому общее количество возможных комбинаций равно:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Таким образом, существует всего 6 уникальных вариантов развития комбинации.

Один из этих шести вариантов уже показан на рисунке 2.18 в условии задачи. Это последовательность:

$1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5$

Нам необходимо найти все остальные $6 - 1 = 5$ возможных вариантов. Для этого мы должны найти все другие перестановки игроков № 2, № 3 и № 4.

Ниже перечислены все остальные возможные варианты передачи шайбы:

1. $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 5$

2. $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5$

3. $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5$

4. $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 5$

5. $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5$

Ответ:

Кроме варианта, изображенного на рисунке, существуют еще 5 возможных вариантов передачи шайбы между игроками:

$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 5$

$1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5$

$1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5$

$1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 5$

$1 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5$

154 В школьной лотерее должно быть всего десять различных выигрышей. Есть ручки, блокноты, записные книжки, альбомы для рисования. Можно ли из этих предметов составить десять различных выигрышей, по два разных предмета в каждом?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько различных пар предметов можно составить из предложенных четырех видов. В лотерее есть четыре вида предметов: ручки, блокноты, записные книжки и альбомы для рисования. Каждый выигрыш должен состоять из двух разных предметов.

Эта задача относится к комбинаторике, а именно к нахождению числа сочетаний. Нам нужно найти количество сочетаний из 4 элементов по 2. Порядок предметов в паре не имеет значения (ручка и блокнот — это тот же выигрыш, что и блокнот и ручка).

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Где $n$ — общее количество видов предметов, а $k$ — количество предметов в одном выигрыше.

В нашем случае $n = 4$ (ручка, блокнот, записная книжка, альбом) и $k = 2$ (два разных предмета в выигрыше).

Подставим значения в формулу:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, из четырех видов предметов можно составить только 6 различных выигрышей, состоящих из двух предметов.

Можно также перечислить все возможные комбинации, чтобы убедиться в этом:
1. Ручка и блокнот
2. Ручка и записная книжка
3. Ручка и альбом
4. Блокнот и записная книжка
5. Блокнот и альбом
6. Записная книжка и альбом

По условию задачи, в лотерее должно быть десять различных выигрышей. Поскольку мы можем составить только 6 различных выигрышей, то составить десять различных выигрышей из этих предметов невозможно.

Ответ: нет, из этих предметов нельзя составить десять различных выигрышей, так как можно составить только 6.

155 Назовите все цифры, которые можно подставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство:

а) $7*38 > 7238$;

б) $96*4 < 9614$;

в) $1596 > 159*$.

а) В неравенстве $7*38 > 7238$ мы сравниваем два четырёхзначных числа. Чтобы первое число было больше второго, необходимо сравнить их цифры по разрядам, начиная со старшего (слева направо).
Разряд тысяч у обоих чисел одинаков и равен 7.
Следующий разряд – сотни. У первого числа на этом месте стоит звёздочка (*), а у второго – цифра 2. Чтобы первое число было больше, цифра на месте звёздочки должна быть больше 2. Если это условие выполняется, то значения в последующих разрядах (десятках и единицах) уже не будут иметь значения для исхода сравнения.
Таким образом, подходят все цифры, которые больше 2.
Ответ: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

б) В неравенстве $96*4 < 9614$ мы также сравниваем четырёхзначные числа.
Разряды тысяч (9) и сотен (6) у обоих чисел совпадают.
Переходим к разряду десятков. У первого числа на этом месте стоит звёздочка (*), а у второго – цифра 1. Чтобы первое число было меньше второго, цифра на месте звёздочки должна быть меньше 1.
Единственная цифра, которая меньше 1, – это 0.
Ответ: 0.

в) В неравенстве $1596 > 159*$ сравниваем числа.
Разряды тысяч (1), сотен (5) и десятков (9) у них одинаковы.
Значит, результат сравнения зависит от разряда единиц. У первого числа в разряде единиц стоит цифра 6, а у второго – звёздочка (*).
Чтобы первое число было больше второго, цифра 6 должна быть больше цифры на месте звёздочки. Следовательно, подходят все цифры, которые меньше 6.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

156 Сравните:

а) 3 км 650 м и 3560 м;

б) 172 см и 17 дм 2 см;

в) 2 см 3 мм и 30 мм;

г) 35 км и 25 000 000 см.

а) Для того чтобы сравнить 3 км 650 м и 3560 м, переведём обе величины в метры. Мы знаем, что в одном километре 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Поэтому $3 \text{ км} 650 \text{ м} = 3 \times 1000 \text{ м} + 650 \text{ м} = 3000 \text{ м} + 650 \text{ м} = 3650 \text{ м}$. Теперь сравним $3650 \text{ м}$ и $3560 \text{ м}$. Так как $3650 > 3560$, то $3 \text{ км} 650 \text{ м} > 3560 \text{ м}$. Ответ: $3 \text{ км} 650 \text{ м} > 3560 \text{ м}$.

б) Чтобы сравнить 172 см и 17 дм 2 см, приведём обе величины к сантиметрам. Мы знаем, что в одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Переведём 17 дм 2 см в сантиметры: $17 \text{ дм} 2 \text{ см} = 17 \times 10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 170 \text{ см} + 2 \text{ см} = 172 \text{ см}$. Теперь сравним $172 \text{ см}$ и $172 \text{ см}$. Так как $172 = 172$, то $172 \text{ см} = 17 \text{ дм} 2 \text{ см}$. Ответ: $172 \text{ см} = 17 \text{ дм} 2 \text{ см}$.

в) Для сравнения 2 см 3 мм и 30 мм, переведём обе величины в миллиметры. В одном сантиметре 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Следовательно, $2 \text{ см} 3 \text{ мм} = 2 \times 10 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 20 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 23 \text{ мм}$. Теперь сравним $23 \text{ мм}$ и $30 \text{ мм}$. Так как $23 < 30$, то $2 \text{ см} 3 \text{ мм} < 30 \text{ мм}$. Ответ: $2 \text{ см} 3 \text{ мм} < 30 \text{ мм}$.

г) Чтобы сравнить 35 км и 25 000 000 см, приведём обе величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Отсюда следует, что $1 \text{ км} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100 000 \text{ см}$. Теперь переведём 35 км в сантиметры: $35 \text{ км} = 35 \times 100 000 \text{ см} = 3 500 000 \text{ см}$. Сравним $3 500 000 \text{ см}$ и $25 000 000 \text{ см}$. Так как $3 500 000 < 25 000 000$, то $35 \text{ км} < 25 000 000 \text{ см}$. Ответ: $35 \text{ км} < 25 000 000 \text{ см}$.

157 Выполните действия:

а) $524 + 2588$;

б) $3000 - 1023$;

в) $369 \cdot 205$;

г) $680 \cdot 700$;

д) $6675 : 5$;

е) $10800 : 40$.

а) Выполним сложение чисел 524 и 2588 в столбик.
1. Складываем единицы: $4 + 8 = 12$. 2 записываем в результат, 1 переносим в разряд десятков.
2. Складываем десятки: $2 + 8 + 1 = 11$. 1 записываем в результат, 1 переносим в разряд сотен.
3. Складываем сотни: $5 + 5 + 1 = 11$. 1 записываем в результат, 1 переносим в разряд тысяч.
4. Складываем тысячи: $2 + 1 = 3$. Записываем 3 в результат.
В результате получаем $524 + 2588 = 3112$.
Ответ: 3112

б) Выполним вычитание 1023 из 3000 в столбик.
1. В разряде единиц нужно из 0 вычесть 3. Занимаем 1 из старшего разряда. $10 - 3 = 7$.
2. В разряде десятков теперь 9 (так как мы занимали для единиц). $9 - 2 = 7$.
3. В разряде сотен теперь 9. $9 - 0 = 9$.
4. В разряде тысяч осталось 2 (так как мы занимали 1). $2 - 1 = 1$.
В результате получаем $3000 - 1023 = 1977$.
Ответ: 1977

в) Для умножения $369$ на $205$ используем метод умножения в столбик или распределительный закон.
Представим $205$ как сумму $200 + 5$.
$369 \cdot 205 = 369 \cdot (200 + 5) = 369 \cdot 200 + 369 \cdot 5$.
Вычислим каждое произведение отдельно:
$369 \cdot 5 = 1845$.
$369 \cdot 200 = 73800$.
Теперь сложим полученные результаты: $73800 + 1845 = 75645$.
Ответ: 75645

г) Чтобы перемножить круглые числа $680$ и $700$, можно сначала перемножить их значащие части, а затем приписать к результату общее количество нулей.
1. Умножаем $68$ на $7$: $68 \cdot 7 = 476$.
2. Считаем общее количество нулей в исходных числах: у 680 один ноль, у 700 два ноля, итого $1+2=3$ ноля.
3. Приписываем три ноля к результату: $476000$.
$680 \cdot 700 = 476000$.
Ответ: 476000

д) Выполним деление $6675$ на $5$ в столбик (уголком).
1. Делим первую цифру делимого (6) на 5. Получаем 1, записываем в частное. Остаток $6 - 5 \cdot 1 = 1$.
2. Сносим следующую цифру (6), получаем 16. Делим 16 на 5. Получаем 3, записываем в частное. Остаток $16 - 5 \cdot 3 = 1$.
3. Сносим следующую цифру (7), получаем 17. Делим 17 на 5. Получаем 3, записываем в частное. Остаток $17 - 5 \cdot 3 = 2$.
4. Сносим последнюю цифру (5), получаем 25. Делим 25 на 5. Получаем 5, записываем в частное. Остаток $25 - 5 \cdot 5 = 0$.
В результате получаем $6675 : 5 = 1335$.
Ответ: 1335

е) При делении $10800$ на $40$ можно сократить по одному нулю в делимом и делителе.
$10800 : 40 = 1080 : 4$.
Теперь выполним деление $1080$ на $4$ в столбик.
1. Делим 10 на 4. Получаем 2, записываем в частное. Остаток $10 - 4 \cdot 2 = 2$.
2. Сносим следующую цифру (8), получаем 28. Делим 28 на 4. Получаем 7, записываем в частное. Остаток $28 - 4 \cdot 7 = 0$.
3. Сносим последнюю цифру (0). Делим 0 на 4. Получаем 0, записываем в частное.
В результате получаем $10800 : 40 = 270$.
Ответ: 270

158 Начертите две окружности, каждую радиусом $3 \text{ см}$, так, чтобы они пересекались. Обозначьте точки их пересечения буквами $A$ и $B$. Начертите окружность, диаметром которой служит отрезок $AB$.

Для выполнения данного задания необходимо последовательно выполнить следующие шаги с помощью циркуля и линейки:

1. Построение первой окружности. Отметьте на листе бумаги точку $O_1$ — центр первой окружности. С помощью циркуля, установленного на радиус $r = 3$ см, начертите окружность с центром в точке $O_1$.

2. Построение второй пересекающейся окружности. Для того чтобы окружности пересекались, расстояние $d$ между их центрами должно удовлетворять условию $0 < d < 2r$, то есть $0 \text{ см} < d < 6 \text{ см}$. Выберем, например, расстояние $d = 4$ см. Отложите от точки $O_1$ отрезок длиной 4 см и отметьте его конец как точку $O_2$ — центр второй окружности. Не меняя раствора циркуля ($r = 3$ см), начертите вторую окружность с центром в точке $O_2$.

3. Обозначение точек пересечения. Две построенные окружности пересекутся в двух точках. Обозначьте эти точки буквами A и B.

4. Построение третьей окружности. Соедините точки A и B отрезком. Этот отрезок AB является диаметром для третьей окружности. Чтобы её начертить, необходимо найти её центр и радиус. Центр третьей окружности — это середина отрезка AB (обозначим её точкой M). Радиус третьей окружности равен половине длины диаметра AB, то есть $r_3 = AM = BM = AB / 2$. Установите острие циркуля в точку M и начертите окружность радиусом $r_3$. Эта окружность пройдет через точки A и B.

В результате выполнения этих шагов будет получен чертеж, подобный представленному ниже:

Пояснение к чертежу:

• Синим цветом показана первая окружность с центром $O_1$ и радиусом 3 см.

• Красным цветом показана вторая окружность с центром $O_2$ и радиусом 3 см. Расстояние между центрами $O_1O_2$ выбрано равным 4 см.

• Точки A и B — точки пересечения первых двух окружностей.

• Зеленым цветом показана третья окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре. Её центр M является серединой отрезка AB.

Ответ: Выше приведено пошаговое описание построения и итоговый чертеж.