Страница 48 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Знаю названия разрядов и классов в десятичной записи числа; умею записывать и читать числа в десятичной системе.

1. Запишите цифрами число: пять миллионов двадцать четыре тысячи восемь.

1. Чтобы записать число "пять миллионов двадцать четыре тысячи восемь" цифрами, необходимо правильно расположить цифры в соответствии с их разрядами и классами.

Число можно разложить на следующие составляющие:

• "пять миллионов" — это $5 \times 1\,000\,000 = 5\,000\,000$
• "двадцать четыре тысячи" — это $24 \times 1\,000 = 24\,000$
• "восемь" — это $8$

Теперь сложим эти части:

$5\,000\,000 + 24\,000 + 8 = 5\,024\,008$

Также можно рассуждать по разрядам. Число состоит из трех классов: класса миллионов, класса тысяч и класса единиц. Каждый класс, кроме самого старшего, должен содержать три цифры.

• Класс миллионов: 5 (пять миллионов). Это означает, что в разряде единиц миллионов стоит цифра 5.
• Класс тысяч: 024 (двадцать четыре тысячи). В этом классе нет сотен тысяч (ставим 0), есть два десятка тысяч (ставим 2) и четыре единицы тысяч (ставим 4).
• Класс единиц: 008 (восемь). В этом классе нет сотен (ставим 0), нет десятков (ставим 0), есть восемь единиц (ставим 8).

Соединяя цифры всех классов по порядку, слева направо (от старших к младшим), получаем итоговое число: $5\,024\,008$.

Ответ: $5\,024\,008$

2. Прочитайте число: 25203600107. Назовите разряды, в которых записана цифра 0.

Прочитайте число: 25203600107

Для прочтения многозначного числа его необходимо разбить на классы по три цифры справа налево. Каждый класс имеет свое название: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов и т.д.
Разобьем число 25203600107 на классы:
25 203 600 107

• 107 — класс единиц.
• 600 — класс тысяч.
• 203 — класс миллионов.
• 25 — класс миллиардов.

Теперь прочитаем число по классам слева направо: двадцать пять миллиардов двести три миллиона шестьсот тысяч сто семь.

Ответ: двадцать пять миллиардов двести три миллиона шестьсот тысяч сто семь.

Назовите разряды, в которых записана цифра 0

Разряды в числе определяются положением цифры и считаются справа налево. Проанализируем число 25203600107, чтобы найти разряды с цифрой 0.
25 203 600 107

• 7 — разряд единиц.
• 0 — разряд десятков.
• 1 — разряд сотен.
• 0 — разряд единиц тысяч.
• 0 — разряд десятков тысяч.
• 6 — разряд сотен тысяч.
• 3 — разряд единиц миллионов.
• 0 — разряд десятков миллионов.
• 2 — разряд сотен миллионов.
• 5 — разряд единиц миллиардов.
• 2 — разряд десятков миллиардов.

Таким образом, цифра 0 встречается в четырех разрядах.

Ответ: разряд десятков, разряд единиц тысяч, разряд десятков тысяч, разряд десятков миллионов.

Умею записывать натуральные числа в виде суммы разрядных слагаемых.

3. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

а) 49 532;

б) 1 102 350.

а)

Чтобы записать натуральное число в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо каждую цифру числа умножить на её разряд (единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.) и сложить полученные произведения.

Рассмотрим число $49 532$. В нём:

- цифра $4$ находится в разряде десятков тысяч, её значение $4 \cdot 10 000 = 40 000$;
- цифра $9$ находится в разряде тысяч, её значение $9 \cdot 1 000 = 9 000$;
- цифра $5$ находится в разряде сотен, её значение $5 \cdot 100 = 500$;
- цифра $3$ находится в разряде десятков, её значение $3 \cdot 10 = 30$;
- цифра $2$ находится в разряде единиц, её значение $2 \cdot 1 = 2$.

Сложив все эти значения, мы получим представление числа в виде суммы разрядных слагаемых.

$49 532 = 40 000 + 9 000 + 500 + 30 + 2$.

Ответ: $49 532 = 40 000 + 9 000 + 500 + 30 + 2$.

б)

Рассмотрим число $1 102 350$. В нём:

- цифра $1$ находится в разряде миллионов, её значение $1 \cdot 1 000 000 = 1 000 000$;
- цифра $1$ находится в разряде сотен тысяч, её значение $1 \cdot 100 000 = 100 000$;
- цифра $0$ находится в разряде десятков тысяч, её значение $0 \cdot 10 000 = 0$;
- цифра $2$ находится в разряде тысяч, её значение $2 \cdot 1 000 = 2 000$;
- цифра $3$ находится в разряде сотен, её значение $3 \cdot 100 = 300$;
- цифра $5$ находится в разряде десятков, её значение $5 \cdot 10 = 50$;
- цифра $0$ находится в разряде единиц, её значение $0 \cdot 1 = 0$.

При записи суммы разрядных слагаемых члены, равные нулю, обычно опускают.

$1 102 350 = 1 000 000 + 100 000 + 2 000 + 300 + 50$.

Ответ: $1 102 350 = 1 000 000 + 100 000 + 2 000 + 300 + 50$.

4. Какое число записано в виде суммы разрядных слагаемых:

a) $5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1;$

б) $6 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 9?$

а)

Чтобы определить число, записанное в виде суммы разрядных слагаемых, нужно посмотреть на коэффициенты при степенях десяти (1000, 100, 10, 1). Каждый коэффициент соответствует цифре в определенном разряде числа.
$5 \cdot 1000$ — это 5 тысяч, значит, на месте тысяч будет цифра 5.
$3 \cdot 100$ — это 3 сотни, значит, на месте сотен будет цифра 3.
$7 \cdot 10$ — это 7 десятков, значит, на месте десятков будет цифра 7.
$1$ — это 1 единица, значит, на месте единиц будет цифра 1.
Соединив эти цифры по разрядам, получаем число 5371.
Проверим сложением: $5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 1 = 5000 + 300 + 70 + 1 = 5371$.

Ответ: 5371.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту.
$6 \cdot 10000$ — это 6 десятков тысяч, значит, на месте десятков тысяч будет цифра 6.
$0 \cdot 1000$ — это 0 тысяч, значит, на месте тысяч будет цифра 0.
$4 \cdot 100$ — это 4 сотни, значит, на месте сотен будет цифра 4.
$0 \cdot 10$ — это 0 десятков, значит, на месте десятков будет цифра 0.
$9$ — это 9 единиц, значит, на месте единиц будет цифра 9.
Соединив цифры по разрядам, получаем число 60409.
Проверим сложением: $6 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 9 = 60000 + 0 + 400 + 0 + 9 = 60409$.

Ответ: 60409.

Умею сравнивать натуральные числа.

5. Какое из чисел больше: шестизначное или семизначное?

При сравнении двух натуральных чисел с разным количеством цифр (разрядов), большим всегда будет то число, в котором цифр больше. Это основное правило сравнения натуральных чисел.

Шестизначное число — это число, которое состоит из 6 цифр. Самое маленькое натуральное шестизначное число — это $100\;000$ (сто тысяч). Самое большое шестизначное число — это $999\;999$ (девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять).

Семизначное число — это число, которое состоит из 7 цифр. Самое маленькое натуральное семизначное число — это $1\;000\;000$ (один миллион). Самое большое семизначное число — это $9\;999\;999$ (девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять).

Чтобы определить, какое число больше, достаточно сравнить самое большое шестизначное число с самым маленьким семизначным числом.Сравним $999\;999$ и $1\;000\;000$.Число $1\;000\;000$ на единицу больше, чем $999\;999$. Следовательно, любое семизначное число, будучи не меньше $1\;000\;000$, всегда будет больше любого шестизначного числа, которое не может быть больше $999\;999$.

Ответ: семизначное число больше, чем шестизначное.

6. Сравните числа:
а) 889 и 1001;
б) 8600000 и 8060000.

а) Чтобы сравнить числа 889 и 1001, нужно сначала посчитать количество цифр в каждом из них. В числе 889 — 3 цифры. В числе 1001 — 4 цифры. Из двух натуральных чисел больше то, в котором больше цифр. Поскольку в числе 1001 четыре цифры, а в числе 889 — три, то 1001 больше 889. Математически это записывается так: $889 < 1001$.
Ответ: $889 < 1001$.

б) Чтобы сравнить числа 8 600 000 и 8 060 000, мы видим, что количество цифр в них одинаковое (оба числа семизначные). В таком случае сравнение производится поразрядно, слева направо, до первого несовпадения.

• Сравниваем цифры в разряде миллионов: $8 = 8$.
• Сравниваем цифры в разряде сотен тысяч: $6 > 0$.

Поскольку цифра в разряде сотен тысяч у первого числа (6) больше, чем у второго (0), то и первое число больше второго. Таким образом, $8 600 000 > 8 060 000$.
Ответ: $8 600 000 > 8 060 000$.

7. Верно ли двойное неравенство:

а) $809 < 908 < 980$;

б) $1111 < 1212 < 1203$?

а) $809 < 908 < 980$

Чтобы проверить верность двойного неравенства, нужно проверить верность двух неравенств, из которых оно состоит: $809 < 908$ и $908 < 980$.
1. Сравниваем числа 809 и 908. Это трехзначные числа. Сравнение начинаем со старшего разряда (сотен). У числа 809 в разряде сотен стоит цифра 8, а у числа 908 — цифра 9. Так как $8 < 9$, то и $809 < 908$. Первое неравенство верно.
2. Сравниваем числа 908 и 980. Это также трехзначные числа. Цифры в разряде сотен у них одинаковы (9). Переходим к следующему разряду — десяткам. У числа 908 в разряде десятков стоит цифра 0, а у числа 980 — цифра 8. Так как $0 < 8$, то и $908 < 980$. Второе неравенство тоже верно.
Поскольку оба неравенства верны, то и всё двойное неравенство $809 < 908 < 980$ является верным.

Ответ: да, верно.

б) $1111 < 1212 < 1203$

Проверяем верность двух неравенств, из которых состоит это двойное неравенство: $1111 < 1212$ и $1212 < 1203$.
1. Сравниваем числа 1111 и 1212. Это четырехзначные числа. Цифры в разряде тысяч у них одинаковы (1). Сравниваем цифры в разряде сотен: у числа 1111 это 1, а у числа 1212 это 2. Так как $1 < 2$, то $1111 < 1212$. Первое неравенство верно.
2. Сравниваем числа 1212 и 1203. Это четырехзначные числа. Цифры в разрядах тысяч и сотен у них совпадают (1 и 2). Сравниваем цифры в разряде десятков: у числа 1212 это 1, а у числа 1203 это 0. Так как $1 > 0$, то число 1212 больше числа 1203 ($1212 > 1203$). Следовательно, неравенство $1212 < 1203$ неверно.
Поскольку одно из неравенств в двойном неравенстве неверно, то и всё двойное неравенство $1111 < 1212 < 1203$ является неверным.

Ответ: нет, неверно.

Умею отмечать числа точками на координатной прямой и находить координаты отмеченных точек.

8. Определите координаты точек, отмеченных на координатной прямой.

$0$ $1$ $A$ $B$ $C$

$A(3)$, $B(19)$, $C(7)$

Для определения координат точек, отмеченных на координатной прямой, необходимо сначала найти цену одного деления шкалы.

На прямой отмечены числа 0 и 1. Расстояние между ними, равное единице ($1 - 0 = 1$), разделено на 2 равных промежутка (деления). Следовательно, цена одного деления равна:

$1 : 2 = 0,5$

Теперь определим координату каждой точки, умножив количество делений от начала отсчета (точки 0) на цену одного деления.

A

Точка A находится на 4-м делении от точки 0. Чтобы найти ее координату, умножим количество делений на цену деления:

$4 \cdot 0,5 = 2$

Таким образом, координата точки A равна 2.

Ответ: A(2)

B

Точка B находится на 7-м делении от точки 0. Найдем ее координату:

$7 \cdot 0,5 = 3,5$

Таким образом, координата точки B равна 3,5.

Ответ: B(3,5)

C

Точка C находится на 9-м делении от точки 0. Найдем ее координату:

$9 \cdot 0,5 = 4,5$

Таким образом, координата точки C равна 4,5.

Ответ: C(4,5)

9. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точки $A(3)$, $B(10)$, $C(7)$.

Для того чтобы начертить координатную прямую и отметить на ней точки A(3), B(10) и C(7), необходимо выполнить следующие шаги. Сначала чертят горизонтальную прямую, которая будет служить координатной осью. На этой прямой выбирают точку отсчета, которую обозначают цифрой 0. Затем выбирают единичный отрезок (например, 1 сантиметр или 1 клетка в тетради) и положительное направление, которое обычно указывается стрелкой на правом конце прямой.

От точки 0 вправо откладывают единичные отрезки и подписывают получившиеся деления соответствующими числами: 1, 2, 3, и так далее, как минимум до 10, так как это наибольшая из заданных координат.

После построения координатной прямой на ней отмечают заданные точки в соответствии с их координатами:

• Точка A с координатой 3 располагается на делении с числом 3.

• Точка B с координатой 10 располагается на делении с числом 10.

• Точка C с координатой 7 располагается на делении с числом 7.

Схематическое изображение координатной прямой с отмеченными точками выглядит следующим образом:

A C B
----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+--->
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ответ:

На построенной координатной прямой точка A находится на отметке 3, точка C — на отметке 7, и точка B — на отметке 10.

10. Какая из точек $A(199)$, $B(109)$, $C(201)$, $D(210)$ расположена на координатной прямой левее других?

Чтобы определить, какая из заданных точек расположена на координатной прямой левее других, нужно сравнить их координаты. На координатной прямой точка с меньшей координатой всегда находится левее точки с большей координатой.

Рассмотрим данные точки и их координаты:

• A(199) - координата равна 199
• B(109) - координата равна 109
• C(201) - координата равна 201
• D(210) - координата равна 210

Теперь сравним эти числовые значения: 199, 109, 201, 210.

Чтобы найти самую левую точку, нам нужно найти наименьшее из этих чисел.

Сравнивая числа, мы видим, что:

$109 < 199$

$109 < 201$

$109 < 210$

Наименьшим числом является 109. Это координата точки B.

Следовательно, точка B(109) расположена на координатной прямой левее всех остальных точек.

Ответ: Точка B(109).

Умею округлять натуральные числа.

11. У Ксении в коллекции 227 дисков с фильмами. Укажите примерное количество дисков в коллекции, округлив указанное число дисков:

а) до десятков;

б) до сотен.

Для округления натурального числа до определенного разряда необходимо посмотреть на цифру, следующую за этим разрядом. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляем без изменений, а все последующие цифры заменяем нулями. Если же следующая цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличиваем на единицу, а все последующие цифры также заменяем нулями.

В данном случае нам нужно округлить число 227.

а) до десятков

Чтобы округлить число 227 до десятков, мы смотрим на цифру в разряде единиц. Это цифра 7. Поскольку $7 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде десятков (2) на единицу, получая 3, а цифру в разряде единиц заменяем нулем. Таким образом, число 227, округленное до десятков, равно 230.

$227 \approx 230$

Ответ: примерно 230 дисков.

б) до сотен

Чтобы округлить число 227 до сотен, мы смотрим на цифру в разряде десятков. Это цифра 2. Поскольку $2 < 5$, мы оставляем цифру в разряде сотен (2) без изменений, а все последующие цифры (в разрядах десятков и единиц) заменяем нулями. Таким образом, число 227, округленное до сотен, равно 200.

$227 \approx 200$

Ответ: примерно 200 дисков.

12. Выразите приближённо:

а) $16381 \, \text{г}$ в килограммах;

б) $5743 \, \text{м}$ в километрах.

Могу выполнить ещё и другие задания (укажите несколько номеров).

а) Чтобы выразить граммы в килограммах, необходимо знать, что в одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
Для перевода 16 381 грамма в килограммы, нужно разделить это значение на 1000:
$16381 \text{ г} = \frac{16381}{1000} \text{ кг} = 16,381 \text{ кг}$.
Поскольку в задании просят дать приближённое значение, округлим результат до ближайшего целого числа. Цифра в разряде десятых (первая после запятой) равна 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону.
$16,381 \text{ кг} \approx 16 \text{ кг}$.
Ответ: $\approx 16 \text{ кг}$.

б) Чтобы выразить метры в километрах, необходимо знать, что в одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
Для перевода 5743 метров в километры, нужно разделить это значение на 1000:
$5743 \text{ м} = \frac{5743}{1000} \text{ км} = 5,743 \text{ км}$.
Поскольку в задании просят дать приближённое значение, округлим результат до ближайшего целого числа. Цифра в разряде десятых (первая после запятой) равна 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону.
$5,743 \text{ км} \approx 6 \text{ км}$.
Ответ: $\approx 6 \text{ км}$.