Страница 51 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

161 Заполните таблицу:

$b$:

17 25 33 [пусто] 59 [пусто] [пусто]

$c$:

9 16 [пусто] 19 [пусто] 14 12

$b + c$:

[пусто] [пусто] 50 61 [пусто] 93 52

$b - c$:

[пусто] [пусто] [пусто] [пусто] 36 58 0

Для заполнения таблицы необходимо выполнить вычисления для каждого столбца, используя известные значения.

Итоговая заполненная таблица:

162 Используя равенство $678 + 1357 = 2035$, найдите $2035 - 1357$ и $2035 - 678$.

Объясните, как вы рассуждали.

Данная задача основана на взаимосвязи компонентов при сложении. В равенстве $a + b = c$, числа $a$ и $b$ называются слагаемыми, а число $c$ — суммой. Чтобы найти одно из слагаемых, необходимо из суммы вычесть другое слагаемое. То есть, из равенства $a + b = c$ следуют два других: $c - a = b$ и $c - b = a$.

В нашем случае дано равенство $678 + 1357 = 2035$. Здесь $678$ и $1357$ — это слагаемые, а $2035$ — это сумма.

2035 – 1357

Чтобы найти значение этого выражения, мы из суммы ($2035$) вычитаем одно из слагаемых ($1357$). Результатом будет второе слагаемое из исходного равенства.

$2035 - 1357 = 678$

Ответ: 678

2035 – 678

Аналогично, чтобы найти значение этого выражения, мы из суммы ($2035$) вычитаем другое слагаемое ($678$). Результатом будет первое слагаемое из исходного равенства.

$2035 - 678 = 1357$

Ответ: 1357

163 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Проверьте с помощью сложения, верно ли равенство:

a) $2158 - 599 = 1559;$

б) $2601 - 765 = 1836;$

в) $10032 - 2255 = 7777;$

г) $11431 - 5316 = 6115;$

а)

Для проверки равенства $2158 - 599 = 1559$ необходимо выполнить сложение разности и вычитаемого. Если их сумма будет равна уменьшаемому, то равенство верно.
Проверка: $1559 + 599 = 2158$.
Поскольку $2158 = 2158$, равенство является верным.
Ответ: верно.

б)

Проверим равенство $2601 - 765 = 1836$ с помощью сложения. Сложим разность $1836$ и вычитаемое $765$.
Проверка: $1836 + 765 = 2601$.
Полученная сумма $2601$ равна уменьшаемому, значит, равенство верное.
Ответ: верно.

в)

Чтобы проверить, верно ли равенство $10032 - 2255 = 7777$, сложим разность $7777$ и вычитаемое $2255$.
Проверка: $7777 + 2255 = 10032$.
Результат сложения совпадает с уменьшаемым $10032$. Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

г)

Для проверки равенства $11431 - 5316 = 6115$ выполним сложение. Прибавим к разности $6115$ вычитаемое $5316$.
Проверка: $6115 + 5316 = 11431$.
Сумма $11431$ равна уменьшаемому, поэтому исходное равенство является верным.
Ответ: верно.

164 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ

Сформулируйте, как найти неизвестный компонент действия, и найдите его:

а) $b + 1111 = 3000$;

б) $456 + c = 1362$;

в) $p + 207 = 1451$;

г) $1834 - y = 753$;

д) $b - 45 = 96$;

е) $2045 - x = 15$;

ж) $k - 183 = 2095$;

з) $708 + c = 1834$;

и) $2002 - x = 1362$.

а) В уравнении $b + 1111 = 3000$ неизвестным компонентом является первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$b = 3000 - 1111$
$b = 1889$
Ответ: 1889.

б) В уравнении $456 + c = 1362$ неизвестным компонентом является второе слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$c = 1362 - 456$
$c = 906$
Ответ: 906.

в) В уравнении $p + 207 = 1451$ неизвестным компонентом является первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$p = 1451 - 207$
$p = 1244$
Ответ: 1244.

г) В уравнении $1834 - y = 753$ неизвестным компонентом является вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$y = 1834 - 753$
$y = 1081$
Ответ: 1081.

д) В уравнении $b - 45 = 96$ неизвестным компонентом является уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$b = 96 + 45$
$b = 141$
Ответ: 141.

е) В уравнении $2045 - x = 15$ неизвестным компонентом является вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 2045 - 15$
$x = 2030$
Ответ: 2030.

ж) В уравнении $k - 183 = 2095$ неизвестным компонентом является уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$k = 2095 + 183$
$k = 2278$
Ответ: 2278.

з) В уравнении $708 + c = 1834$ неизвестным компонентом является второе слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$c = 1834 - 708$
$c = 1126$
Ответ: 1126.

и) В уравнении $2002 - x = 1362$ неизвестным компонентом является вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 2002 - 1362$
$x = 640$
Ответ: 640.

165 Представьте число 2135 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно:

а) 750;

б) 1325.

Чтобы представить число в виде суммы двух слагаемых, если одно из них известно, необходимо найти второе слагаемое. Для этого нужно из исходного числа (которое является суммой) вычесть известное слагаемое.

а)

Дано число 2135 и одно из слагаемых, равное 750. Чтобы найти второе слагаемое, вычтем 750 из 2135:

$2135 - 750 = 1385$

Таким образом, второе слагаемое равно 1385. Проверим, сложив оба слагаемых: $750 + 1385 = 2135$.
Число 2135 можно представить в виде суммы: $2135 = 750 + 1385$.

Ответ: $2135 = 750 + 1385$.

б)

Дано число 2135 и одно из слагаемых, равное 1325. Чтобы найти второе слагаемое, вычтем 1325 из 2135:

$2135 - 1325 = 810$

Таким образом, второе слагаемое равно 810. Проверим, сложив оба слагаемых: $1325 + 810 = 2135$.
Число 2135 можно представить в виде суммы: $2135 = 1325 + 810$.

Ответ: $2135 = 1325 + 810$.

Решите задачу и прокомментируйте свои действия (166–170).

166 а) В начале пути спидометр автомобиля показывал 16 523 км. Определите, каким станет показание спидометра через 670 км.

б) В начале пути спидометр автомобиля показывал 27 836 км, а в конце — 28 184 км. Какой путь проделал автомобиль?

а) Спидометр показывает общий пробег автомобиля. Чтобы узнать, каким станет показание спидометра после поездки, нужно к начальному значению пробега прибавить расстояние, которое проехал автомобиль. В данном случае, к начальному показанию 16 523 км нужно прибавить 670 км.

Выполним сложение:

$16523 + 670 = 17193$ (км)

После поездки показание спидометра станет 17 193 км.

Ответ: 17 193 км.

б) Чтобы найти путь, который проделал автомобиль, нужно из показания спидометра в конце пути вычесть показание спидометра в начале пути. В данном случае, из конечного значения 28 184 км нужно вычесть начальное значение 27 836 км.

Выполним вычитание:

$28184 - 27836 = 348$ (км)

Автомобиль проделал путь, равный 348 км.

Ответ: 348 км.

167 a) Электричка отходит от станции каждое утро в 7 ч 27 мин и идёт до конечной станции 1 ч 55 мин. Когда она прибывает на конечную станцию?

б) Поезд прибывает на станцию в 9 ч 15 мин утра. Он находится в пути 8 ч 20 мин. В какое время он отходит от станции отправления?

а) Чтобы найти время прибытия электрички, нужно ко времени её отправления прибавить время, которое она находится в пути.

Время отправления: 7 ч 27 мин.

Время в пути: 1 ч 55 мин.

Сложим часы с часами, а минуты с минутами:

$7$ ч $27$ мин + $1$ ч $55$ мин = $(7 + 1)$ ч $(27 + 55)$ мин = $8$ ч $82$ мин.

Поскольку в одном часе 60 минут, преобразуем 82 минуты:

$82$ мин = $60$ мин + $22$ мин = $1$ ч $22$ мин.

Теперь добавим этот результат к часам:

$8$ ч + $1$ ч $22$ мин = $9$ ч $22$ мин.

Электричка прибывает на конечную станцию в 9 часов 22 минуты.

Ответ: 9 ч 22 мин.

б) Чтобы найти время отправления поезда, нужно из времени прибытия вычесть время, которое поезд находился в пути.

Время прибытия: 9 ч 15 мин.

Время в пути: 8 ч 20 мин.

Выполним вычитание: $9$ ч $15$ мин - $8$ ч $20$ мин.

Так как из 15 минут нельзя вычесть 20 минут, займём 1 час из 9 часов и переведём его в минуты ($1$ ч = $60$ мин).

$9$ ч $15$ мин = $8$ ч + $1$ ч + $15$ мин = $8$ ч + $60$ мин + $15$ мин = $8$ ч $75$ мин.

Теперь можно выполнить вычитание:

$8$ ч $75$ мин - $8$ ч $20$ мин = $(8 - 8)$ ч $(75 - 20)$ мин = $0$ ч $55$ мин.

Поезд отходит от станции отправления в 0 часов 55 минут.

Ответ: 0 ч 55 мин.

168 a) Саша прыгнул в длину на 3 м 18 см. Это на 15 см хуже результата Вовы и на 25 см лучше результата Пети. Какие результаты в прыжках в длину показали Вова и Петя?

б) Три команды девочек участвовали в эстафете по плаванию «четыре по 25 м». Суммарное время первой команды составило 1 мин 45 с. Это на 20 с меньше, чем у второй команды, и на 8 с больше, чем у третьей команды. Какое время показали вторая и третья команды?

а)

Для начала переведем результат Саши в сантиметры для удобства вычислений, зная, что в одном метре 100 сантиметров.

Результат Саши: $3 \text{ м } 18 \text{ см} = 3 \times 100 \text{ см} + 18 \text{ см} = 318 \text{ см}$.

1. Найдем результат Вовы.
Результат Саши на 15 см хуже, чем у Вовы. Это означает, что Вова прыгнул на 15 см дальше Саши.

$318 \text{ см} + 15 \text{ см} = 333 \text{ см}$.

Переведем результат Вовы обратно в метры и сантиметры: $333 \text{ см} = 3 \text{ м } 33 \text{ см}$.

2. Найдем результат Пети.
Результат Саши на 25 см лучше, чем у Пети. Это означает, что Петя прыгнул на 25 см ближе, чем Саша.

$318 \text{ см} - 25 \text{ см} = 293 \text{ см}$.

Переведем результат Пети обратно в метры и сантиметры: $293 \text{ см} = 2 \text{ м } 93 \text{ см}$.

Ответ: результат Вовы – 3 м 33 см, а результат Пети – 2 м 93 см.

б)

Сначала переведем время первой команды в секунды для удобства вычислений, зная, что в одной минуте 60 секунд.

Время первой команды: $1 \text{ мин } 45 \text{ с} = 1 \times 60 \text{ с} + 45 \text{ с} = 105 \text{ с}$.

1. Найдем время второй команды.
Время первой команды на 20 секунд меньше, чем у второй. Это означает, что вторая команда плыла на 20 секунд дольше.

$105 \text{ с} + 20 \text{ с} = 125 \text{ с}$.

Переведем время второй команды обратно в минуты и секунды: $125 \text{ с} = 2 \times 60 \text{ с} + 5 \text{ с} = 2 \text{ мин } 5 \text{ с}$.

2. Найдем время третьей команды.
Время первой команды на 8 секунд больше, чем у третьей. Это означает, что третья команда плыла на 8 секунд быстрее.

$105 \text{ с} - 8 \text{ с} = 97 \text{ с}$.

Переведем время третьей команды обратно в минуты и секунды: $97 \text{ с} = 1 \times 60 \text{ с} + 37 \text{ с} = 1 \text{ мин } 37 \text{ с}$.

Ответ: время второй команды – 2 мин 5 с, а время третьей команды – 1 мин 37 с.

169 a) Во время выборов в городе за одного из двух кандидатов проголосовало 42 356 избирателей, а за другого — на 1600 избирателей больше. Сколько всего человек проголосовало за этих двух кандидатов?

б) Семья во время отпуска совершила путешествие. На автомобиле она преодолела 635 км, на поезде — на 160 км меньше, а на самолёте — на 90 км больше, чем на поезде и автомобиле вместе. Какой путь проделала семья во время путешествия?

а)

1. Сначала узнаем, сколько избирателей проголосовало за второго кандидата. По условию, их было на 1600 больше, чем за первого:

$42356 + 1600 = 43956$ (избирателей) – проголосовало за второго кандидата.

2. Теперь найдем общее количество человек, проголосовавших за обоих кандидатов, сложив число избирателей за первого и второго кандидата:

$42356 + 43956 = 86312$ (человек) – проголосовало всего.

Ответ: всего за этих двух кандидатов проголосовало 86 312 человек.

б)

1. Найдем расстояние, которое семья преодолела на поезде. По условию, это на 160 км меньше, чем на автомобиле:

$635 - 160 = 475$ (км) – на поезде.

2. Вычислим, какой путь семья преодолела на автомобиле и поезде вместе:

$635 + 475 = 1110$ (км) – на автомобиле и поезде.

3. Узнаем расстояние, которое семья пролетела на самолёте. Оно на 90 км больше, чем путь на поезде и автомобиле вместе:

$1110 + 90 = 1200$ (км) – на самолёте.

4. Чтобы найти общий путь, проделанный семьей, сложим расстояния, пройденные на каждом виде транспорта:

$635 + 475 + 1200 = 2310$ (км) – весь путь.

Ответ: семья проделала путь в 2310 км.