Страница 57 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

200 Представьте число:

а) $2880$ в виде произведения двух чисел, одно из которых равно $45$;

б) $10 323$ в виде произведения двух чисел, одно из которых равно $111$.

а) Чтобы представить число 2880 в виде произведения двух чисел, одно из которых равно 45, нужно найти второй множитель. Пусть искомый множитель равен $x$. Тогда можно записать следующее уравнение:

$45 \times x = 2880$

Чтобы найти $x$, необходимо разделить 2880 на 45:

$x = 2880 \div 45$

Выполнив деление, получаем:

$x = 64$

Таким образом, число 2880 можно представить как произведение 45 и 64.

Ответ: $45 \times 64$.

б) Чтобы представить число 10 323 в виде произведения двух чисел, одно из которых равно 111, нужно найти второй множитель. Пусть искомый множитель равен $y$. Тогда можно записать следующее уравнение:

$111 \times y = 10323$

Чтобы найти $y$, необходимо разделить 10 323 на 111:

$y = 10323 \div 111$

Выполнив деление, получаем:

$y = 93$

Таким образом, число 10 323 можно представить как произведение 111 и 93.

Ответ: $111 \times 93$.

Решите задачу и прокомментируйте свои действия (201–202).

201 а) Расфасовали 12 кг 600 г конфет в коробки, по 300 г в каждую. Сколько коробок конфет получилось?

б) Для 40 новогодних подарков купили 10 кг шоколадных конфет. Сколько граммов конфет содержится в каждом подарке?

а)

Для того чтобы узнать, сколько коробок конфет получилось, необходимо общую массу конфет разделить на массу конфет в одной коробке. Так как массы даны в разных единицах (килограммах и граммах), сначала приведем общую массу к одной единице измерения – граммам.
В одном килограмме 1000 граммов, следовательно:
$12 \text{ кг } 600 \text{ г} = 12 \times 1000 \text{ г} + 600 \text{ г} = 12000 \text{ г} + 600 \text{ г} = 12600 \text{ г}$.
Теперь разделим общую массу конфет на массу конфет в одной коробке:
$12600 \text{ г} \div 300 \text{ г} = 42$.
Получилось 42 коробки.

Ответ: 42 коробки.

б)

Чтобы определить, сколько граммов конфет содержится в каждом подарке, нужно общую массу купленных конфет разделить на количество подарков.
Сначала переведем общую массу конфет из килограммов в граммы:
$10 \text{ кг} = 10 \times 1000 \text{ г} = 10000 \text{ г}$.
Теперь разделим полученную массу на количество подарков:
$10000 \text{ г} \div 40 = 250 \text{ г}$.
Значит, в каждом подарке содержится 250 граммов конфет.

Ответ: 250 граммов.

202 а) Для отделки одного бального платья нужно 1 м 25 см кружев. Сколько метров кружев понадобится для отделки 24 таких же платьев? Хватит ли 7 м кружев для отделки 6 таких платьев?

б) За одну минуту принтер печатает 16 страниц. Сколько страниц можно распечатать на этом принтере за 40 мин? Хватит ли получаса, чтобы распечатать на нём 500 страниц?

а)

Сначала найдем, сколько метров кружев понадобится для отделки 24 платьев. Для одного платья нужно 1 м 25 см. Для удобства вычислений переведем эту длину в сантиметры, зная, что 1 м = 100 см:

$1 \text{ м } 25 \text{ см} = 100 \text{ см} + 25 \text{ см} = 125 \text{ см}$

Теперь умножим длину кружев для одного платья на количество платьев (24):

$125 \times 24 = 3000 \text{ см}$

Переведем результат обратно в метры:

$3000 \text{ см} = 30 \text{ м}$

Далее ответим на второй вопрос: хватит ли 7 м кружев для отделки 6 платьев. Вычислим необходимое количество кружев для 6 платьев:

$125 \text{ см} \times 6 = 750 \text{ см}$

$750 \text{ см}$ это $7 \text{ м } 50 \text{ см}$. В наличии у нас есть 7 м ($700 \text{ см}$). Сравним необходимое и имеющееся количество:

$7 \text{ м } 50 \text{ см} > 7 \text{ м}$

Следовательно, 7 метров кружев не хватит.

Ответ: для 24 платьев понадобится 30 м кружев; 7 м кружев для отделки 6 платьев не хватит.

б)

Сначала найдем, сколько страниц принтер напечатает за 40 минут. Его скорость — 16 страниц в минуту. Чтобы найти общее количество, умножим скорость на время:

$16 \times 40 = 640 \text{ страниц}$

Далее ответим на второй вопрос: хватит ли получаса, чтобы распечатать 500 страниц. Полчаса — это 30 минут. Рассчитаем, сколько страниц принтер напечатает за это время:

$16 \times 30 = 480 \text{ страниц}$

За полчаса принтер может напечатать 480 страниц, а нужно распечатать 500.

$480 < 500$

Поскольку 480 страниц меньше, чем 500, получаса не хватит.

Ответ: за 40 минут можно распечатать 640 страниц; получаса не хватит, чтобы распечатать 500 страниц.

203 Составьте выражение по условию задачи и решите её:

а) Для открытия спортивного парада всех спортсменов построили в 8 колонн. В каждой колонне 15 рядов по 25 спортсменов. Сколько спортсменов участвовало в открытии парада?

$8 \times 15 \times 25$

б) В кинотеатре 6 кинозалов. В каждом кинозале 25 рядов по 24 места. Сколько всего зрительских мест в кинотеатре?

$6 \times 25 \times 24$

а)

Чтобы найти общее количество спортсменов, нужно умножить количество колонн на количество рядов в каждой колонне и на количество спортсменов в каждом ряду.

Составим выражение по условию задачи:

$8 \times 15 \times 25$

Для удобства вычислений воспользуемся переместительным свойством умножения (от перестановки множителей произведение не меняется):

$8 \times 25 \times 15 = 200 \times 15 = 3000$

Таким образом, в открытии парада участвовало 3000 спортсменов.

Ответ: 3000 спортсменов.

б)

Чтобы найти общее количество зрительских мест в кинотеатре, необходимо умножить количество кинозалов на количество рядов в каждом кинозале и на количество мест в каждом ряду.

Составим выражение по условию задачи:

$6 \times 25 \times 24$

Воспользуемся сочетательным свойством умножения для удобства вычислений:

$6 \times (25 \times 24) = 6 \times 600 = 3600$

Таким образом, всего в кинотеатре 3600 зрительских мест.

Ответ: 3600 мест.

204 Выполните прикидку результата, округлив множители до старшего разряда, затем найдите точное значение произведения. На сколько оно отличается от приближённого?

а) $47 \cdot 23$;

б) $518 \cdot 19$;

в) $192 \cdot 485$;

г) $285 \cdot 209$.

а) $47 \cdot 23$
Сначала выполним прикидку, округлив множители до старшего разряда (десятков). $47$ округляем до $50$, а $23$ округляем до $20$.
Приближённое произведение: $50 \cdot 20 = 1000$.
Теперь найдём точное значение произведения: $47 \cdot 23 = 1081$.
Разница между точным и приближённым значением составляет: $1081 - 1000 = 81$.
Ответ: приближённое произведение 1000, точное произведение 1081, разница 81.

б) $518 \cdot 19$
Выполним прикидку. Округлим множители до их старшего разряда. $518$ (старший разряд - сотни) округляем до $500$. $19$ (старший разряд - десятки) округляем до $20$.
Приближённое произведение: $500 \cdot 20 = 10000$.
Точное значение произведения: $518 \cdot 19 = 9842$.
Разница между приближённым и точным значением составляет: $10000 - 9842 = 158$.
Ответ: приближённое произведение 10000, точное произведение 9842, разница 158.

в) $192 \cdot 485$
Выполним прикидку, округлив множители до старшего разряда (сотен). $192$ округляем до $200$, а $485$ округляем до $500$.
Приближённое произведение: $200 \cdot 500 = 100000$.
Точное значение произведения: $192 \cdot 485 = 93120$.
Разница между приближённым и точным значением составляет: $100000 - 93120 = 6880$.
Ответ: приближённое произведение 100000, точное произведение 93120, разница 6880.

г) $285 \cdot 209$
Выполним прикидку, округлив множители до старшего разряда (сотен). $285$ округляем до $300$, а $209$ округляем до $200$.
Приближённое произведение: $300 \cdot 200 = 60000$.
Точное значение произведения: $285 \cdot 209 = 59565$.
Разница между приближённым и точным значением составляет: $60000 - 59565 = 435$.
Ответ: приближённое произведение 60000, точное произведение 59565, разница 435.

205 Определите последнюю цифру результата:

а) $23 \cdot 24$;

б) $689 \cdot 13$;

в) $215 \cdot 33$;

г) $8624 \cdot 22$;

д) $520 \cdot 107$;

е) $4991 \cdot 217$.

Чтобы определить последнюю цифру результата, не нужно вычислять все произведение. Достаточно найти последнюю цифру произведения последних цифр множителей.

а) $23 \cdot 24$

Последняя цифра числа 23 — это 3. Последняя цифра числа 24 — это 4. Найдем произведение этих цифр: $3 \cdot 4 = 12$. Последняя цифра полученного числа (12) — это 2. Следовательно, последняя цифра результата $23 \cdot 24$ будет 2.
Ответ: 2.

б) $689 \cdot 13$

Последняя цифра числа 689 — это 9. Последняя цифра числа 13 — это 3. Найдем произведение этих цифр: $9 \cdot 3 = 27$. Последняя цифра полученного числа (27) — это 7. Следовательно, последняя цифра результата $689 \cdot 13$ будет 7.
Ответ: 7.

в) $215 \cdot 33$

Последняя цифра числа 215 — это 5. Последняя цифра числа 33 — это 3. Найдем произведение этих цифр: $5 \cdot 3 = 15$. Последняя цифра полученного числа (15) — это 5. Следовательно, последняя цифра результата $215 \cdot 33$ будет 5.
Ответ: 5.

г) $8624 \cdot 22$

Последняя цифра числа 8624 — это 4. Последняя цифра числа 22 — это 2. Найдем произведение этих цифр: $4 \cdot 2 = 8$. Последняя цифра полученного числа (8) — это 8. Следовательно, последняя цифра результата $8624 \cdot 22$ будет 8.
Ответ: 8.

д) $520 \cdot 107$

Последняя цифра числа 520 — это 0. Последняя цифра числа 107 — это 7. Найдем произведение этих цифр: $0 \cdot 7 = 0$. Последняя цифра полученного числа (0) — это 0. Следовательно, последняя цифра результата $520 \cdot 107$ будет 0.
Ответ: 0.

е) $4991 \cdot 217$

Последняя цифра числа 4991 — это 1. Последняя цифра числа 217 — это 7. Найдем произведение этих цифр: $1 \cdot 7 = 7$. Последняя цифра полученного числа (7) — это 7. Следовательно, последняя цифра результата $4991 \cdot 217$ будет 7.
Ответ: 7.

206 РАССУЖДАЕМ

Из четырёх равенств только одно верное. Найдите его, не выполняя вычислений. (Воспользуйтесь результатами упражнений 204 и 205.)

1) $915 \cdot 25 = 22870.$

2) $735 : 35 = 201.$

3) $4860 : 45 = 108.$

4) $206 \cdot 42 = 852.$

По условию задачи, из четырёх равенств только одно верное. Найдём его, проанализировав каждое равенство с помощью оценки результата и проверки по последней цифре, не выполняя полных вычислений.

1) $915 \cdot 25 = 22 870$

Проверим последнюю цифру произведения. Число 915 оканчивается на 5, число 25 также оканчивается на 5. Их произведение должно оканчиваться на 5, так как $5 \cdot 5 = 25$. Предложенный результат $22 870$ оканчивается на 0. Следовательно, равенство неверное.

Ответ: неверно.

2) $735 : 35 = 201$

Для проверки этого равенства выполним обратное действие — умножение: $201 \cdot 35$ должно быть равно $735$. Выполним оценку произведения, округлив множитель: $200 \cdot 35 = 7000$. Это значение намного больше, чем $735$. Следовательно, равенство неверное.

Ответ: неверно.

3) $4860 : 45 = 108$

Проверим равенство умножением: $108 \cdot 45 = 4860$. Сначала проверим последнюю цифру произведения: число 108 оканчивается на 8, число 45 — на 5. Результат их умножения должен оканчиваться на 0 ($8 \cdot 5 = 40$), что соответствует последней цифре числа $4860$. Теперь оценим произведение: $100 \cdot 45 = 4500$. Это близко к $4860$. Проведём более точный расчёт: $108 \cdot 45 = (100 + 8) \cdot 45 = 100 \cdot 45 + 8 \cdot 45 = 4500 + 360 = 4860$. Равенство подтвердилось.

Ответ: верно.

4) $206 \cdot 42 = 852$

Оценим произведение, округлив множители: $200 \cdot 40 = 8000$. Результат должен быть порядка 8000, а предложенный ответ $852$ значительно меньше. Следовательно, равенство неверное.

Ответ: неверно.

207 Спланируйте ход решения задачи и решите её:

а) В 9 вагонах с креслами для сидения столько же мест, сколько в 14 купейных вагонах. Сколько мест в одном вагоне с креслами, если в купейном 36 мест?

б) За 5 мин в бассейн из крана наливается столько воды, сколько вытекает через сливное отверстие за 6 мин. Сколько литров воды вытекает за одну минуту через сливное отверстие, если через кран вливается 30 л в минуту?

а)

План решения:
1. Сначала нужно найти общее количество мест в 14 купейных вагонах, умножив количество вагонов на количество мест в одном вагоне.
2. Затем, зная, что это же количество мест содержится в 9 вагонах с креслами, нужно разделить общее количество мест на 9, чтобы найти количество мест в одном вагоне с креслами.

Решение:
1. Найдем общее количество мест в 14 купейных вагонах:
$14 \times 36 = 504$ (места)

2. Теперь найдем количество мест в одном вагоне с креслами для сидения. Так как в 9 таких вагонах столько же мест, сколько в 14 купейных, то есть 504, разделим это число на 9:
$504 \div 9 = 56$ (мест)

Ответ: 56 мест в одном вагоне с креслами.

б)

План решения:
1. Сначала нужно определить, какой объем воды наливается в бассейн из крана за 5 минут, умножив скорость подачи воды на время.
2. Затем, зная, что этот же объем воды вытекает через сливное отверстие за 6 минут, нужно разделить его на 6, чтобы найти, сколько литров воды вытекает за одну минуту.

Решение:
1. Найдем, сколько воды наливается в бассейн за 5 минут:
$30 \times 5 = 150$ (литров)

2. Этот же объем воды (150 литров) вытекает через сливное отверстие за 6 минут. Найдем, сколько литров вытекает за одну минуту:
$150 \div 6 = 25$ (литров)

Ответ: 25 литров воды вытекает за одну минуту.

Вспомните, как найти пройденный путь, если известны скорость и время движения, и решите задачу (208—211).

208 а) Какое расстояние проехал автомобиль за 4 $ч$ со скоростью 75 $км/ч$?

б) Электричка прошла 168 $км$ за 3 $ч$. С какой скоростью она шла?

в) Велосипедист проехал 24 $км$. Сколько времени он был в пути, если ехал со скоростью 12 $км/ч$?

а) Чтобы найти расстояние, которое проехал автомобиль, необходимо умножить его скорость на время в пути. Основная формула для нахождения пути: $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.
В данном случае известны:
Скорость ($v$) = 75 км/ч
Время ($t$) = 4 ч
Подставим значения в формулу:
$S = 75 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 300 \text{ км}$.
Ответ: 300 км.

б) Чтобы найти скорость, с которой шла электричка, необходимо разделить пройденное расстояние на время, затраченное на этот путь. Формула для нахождения скорости: $v = S / t$.
Известные данные:
Расстояние ($S$) = 168 км
Время ($t$) = 3 ч
Выполним расчет:
$v = 168 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 56 \text{ км/ч}$.
Ответ: 56 км/ч.

в) Чтобы найти время, которое велосипедист был в пути, необходимо разделить пройденное им расстояние на его скорость. Формула для нахождения времени: $t = S / v$.
Дано:
Расстояние ($S$) = 24 км
Скорость ($v$) = 12 км/ч
Найдем время:
$t = 24 \text{ км} / 12 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$.
Ответ: 2 ч.