Страница 62 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Найдите в тексте правила порядка действий в выражениях, не содержащих скобок. Назовите порядок действий для вычисления значения выражения:
а) $15 \cdot 27 : 9 \cdot 2$;
б) $11 + 12 \cdot 3 - 25$.

Найдите в тексте правила порядка действий в выражениях, содержащих скобки. Назовите порядок действий для вычисления значения выражения:
а) $(15 \cdot 18) : (9 \cdot 2)$;
б) $(11 + 12) \cdot 3 - 25$.

Запишите выражение, убрав лишние скобки:
а) $(10 \cdot 5) + (75 : 3)$;
б) $(25 + 20) - (16 + 12)$.

Правило порядка действий в выражениях, не содержащих скобок:

1. Сначала выполняются действия умножения и деления по порядку слева направо.

2. Затем выполняются действия сложения и вычитания по порядку слева направо.

а) $15 \cdot 27 : 9 \cdot 2$

В этом выражении есть только действия умножения и деления. Выполняем их по порядку слева направо.

1. Первое действие: умножение $15 \cdot 27 = 405$.

2. Второе действие: деление $405 : 9 = 45$.

3. Третье действие: умножение $45 \cdot 2 = 90$.

Порядок действий: сначала умножение $15$ на $27$, затем деление результата на $9$, и в конце умножение результата на $2$.

Ответ: $90$.

б) $11 + 12 \cdot 3 - 25$

В этом выражении есть сложение, умножение и вычитание. Сначала выполняется умножение, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.

1. Первое действие: умножение $12 \cdot 3 = 36$.

2. Второе действие: сложение $11 + 36 = 47$.

3. Третье действие: вычитание $47 - 25 = 22$.

Порядок действий: сначала умножение $12$ на $3$, затем сложение $11$ с результатом, и в конце вычитание $25$ из результата.

Ответ: $22$.

Правило порядка действий в выражениях, содержащих скобки:

Сначала выполняются действия в скобках, а затем остальные действия в соответствии с правилами для выражений без скобок (сначала умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание слева направо).

а) $(15 \cdot 18) : (9 \cdot 2)$

Сначала выполняем действия в каждой из скобок, а затем деление их результатов.

1. Первое действие (в первой скобке): умножение $15 \cdot 18 = 270$.

2. Второе действие (во второй скобке): умножение $9 \cdot 2 = 18$.

3. Третье действие: деление $270 : 18 = 15$.

Порядок действий: сначала умножение в первой скобке, затем умножение во второй скобке, и в конце деление результата первого действия на результат второго.

Ответ: $15$.

б) $(11 + 12) \cdot 3 - 25$

Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и вычитание.

1. Первое действие (в скобке): сложение $11 + 12 = 23$.

2. Второе действие: умножение $23 \cdot 3 = 69$.

3. Третье действие: вычитание $69 - 25 = 44$.

Порядок действий: сначала сложение в скобках, затем умножение результата на $3$, и в конце вычитание $25$ из результата.

Ответ: $44$.

Скобки считаются лишними, если их удаление не меняет порядок действий и, следовательно, не меняет результат вычисления.

а) $(10 \cdot 5) + (75 : 3)$

Согласно порядку действий, умножение и деление выполняются раньше сложения. Поэтому действия в скобках $(10 \cdot 5)$ и $(75 : 3)$ и так будут выполнены в первую очередь. Следовательно, обе пары скобок являются лишними.

Выражение без лишних скобок: $10 \cdot 5 + 75 : 3$.
$10 \cdot 5 = 50$
$75 : 3 = 25$
$50 + 25 = 75$

Ответ: $10 \cdot 5 + 75 : 3$.

б) $(25 + 20) - (16 + 12)$

Рассмотрим первую пару скобок $(25 + 20)$. Так как сложение и вычитание выполняются слева направо, действие $25 + 20$ и так будет первым. Значит, эти скобки лишние.

Рассмотрим вторую пару скобок $(16 + 12)$. Они указывают, что из первого результата нужно вычесть сумму чисел $16$ и $12$. Если убрать эти скобки, получится выражение $25 + 20 - 16 + 12$, где сначала будет вычитание, а потом сложение, что изменит результат ($45 - 16 + 12 = 29 + 12 = 41$, в то время как с скобками $45 - 28 = 17$). Поэтому вторая пара скобок не является лишней.

Выражение без лишних скобок: $25 + 20 - (16 + 12)$.

Ответ: $25 + 20 - (16 + 12)$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (224-226)

224 Найдите значение выражения:

а) $2307 - 453 + 636$;

б) $734 + 2586 - 1090 + 175$;

в) $7488 : 144 : 4 \cdot 20$;

г) $6400 : 16 \cdot 50 : 125$.

а) $2307 - 453 + 636$

В выражении присутствуют только действия сложения и вычитания. Эти действия имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо.

1) Первым действием выполним вычитание:

$2307 - 453 = 1854$

2) Вторым действием выполним сложение:

$1854 + 636 = 2490$

Ответ: 2490

б) $734 + 2586 - 1090 + 175$

В данном выражении также присутствуют только действия сложения и вычитания, поэтому выполняем их последовательно слева направо.

1) Первое действие:

$734 + 2586 = 3320$

2) Второе действие:

$3320 - 1090 = 2230$

3) Третье действие:

$2230 + 175 = 2405$

Ответ: 2405

в) $7488 : 144 : 4 \cdot 20$

В выражении присутствуют действия умножения и деления. Они имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняются по порядку слева направо.

1) Первое действие:

$7488 : 144 = 52$

2) Второе действие:

$52 : 4 = 13$

3) Третье действие:

$13 \cdot 20 = 260$

Ответ: 260

г) $6400 : 16 \cdot 50 : 125$

Порядок действий в этом выражении также слева направо, так как умножение и деление являются действиями одной ступени.

1) Первое действие:

$6400 : 16 = 400$

2) Второе действие:

$400 \cdot 50 = 20000$

3) Третье действие:

$20000 : 125 = 160$

Ответ: 160

225 Укажите порядок действий и выполните вычисления:

1) $15 + 15 \cdot 10 - 10$;

2) $(15 + 15) \cdot 10 - 10$;

3) $(15 + 15) \cdot (10 - 10)$;

4) $15 + 15 \cdot (10 - 10)$.

Чем похожи и чем различаются эти выражения?

1) В выражении $15 + 15 \cdot 10 - 10$ порядок действий следующий: сначала выполняется умножение, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.
1. $15 \cdot 10 = 150$
2. $15 + 150 = 165$
3. $165 - 10 = 155$
Полное решение: $15 + 15 \cdot 10 - 10 = 15 + 150 - 10 = 165 - 10 = 155$.
Ответ: 155

2) В выражении $(15 + 15) \cdot 10 - 10$ порядок действий следующий: сначала выполняется действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.
1. $15 + 15 = 30$
2. $30 \cdot 10 = 300$
3. $300 - 10 = 290$
Полное решение: $(15 + 15) \cdot 10 - 10 = 30 \cdot 10 - 10 = 300 - 10 = 290$.
Ответ: 290

3) В выражении $(15 + 15) \cdot (10 - 10)$ порядок действий следующий: сначала выполняются действия в каждой из скобок, а затем умножение их результатов.
1. $15 + 15 = 30$
2. $10 - 10 = 0$
3. $30 \cdot 0 = 0$
Полное решение: $(15 + 15) \cdot (10 - 10) = 30 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

4) В выражении $15 + 15 \cdot (10 - 10)$ порядок действий следующий: сначала выполняется действие в скобках, затем умножение, и в конце сложение.
1. $10 - 10 = 0$
2. $15 \cdot 0 = 0$
3. $15 + 0 = 15$
Полное решение: $15 + 15 \cdot (10 - 10) = 15 + 15 \cdot 0 = 15 + 0 = 15$.
Ответ: 15

Чем похожи и чем различаются эти выражения?
Сходство: все выражения состоят из одних и тех же чисел (два числа 15 и два числа 10) и используют одни и те же арифметические операции (сложение, умножение и вычитание).
Различие: выражения различаются наличием и расстановкой скобок. Скобки изменяют стандартный порядок выполнения действий, что приводит к разным результатам для каждого выражения.

226 В каком случае неправильно указан порядок действий?

1) $12 \overset{1}{\cdot} 24 \overset{3}{+} 72 \overset{2}{:} 4;$

2) $17 \overset{2}{\cdot} 85 \overset{3}{-} \overset{1}{(63 - 29)};$

3) $27 \overset{3}{+} \overset{1}{(58 - 7)} \overset{2}{\cdot} 6;$

4) $100 \overset{3}{-} (25 \overset{2}{+} 90 \overset{1}{:} 5).$

Для определения правильного порядка действий необходимо следовать общепринятым математическим правилам: в первую очередь выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (в порядке их следования слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (также слева направо). Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) В выражении $12 \cdot 24 + 72 : 4$ скобок нет. Действия умножения и деления имеют одинаковый, более высокий приоритет, чем сложение. Они выполняются слева направо. Таким образом, правильный порядок: сначала умножение $12 \cdot 24$, затем деление $72 : 4$, и в конце сложение их результатов. Указанный в задании порядок (1. умножение, 2. деление, 3. сложение) является верным. Ответ: Порядок действий указан верно.

2) В выражении $17 \cdot 85 - (63 - 29)$ есть скобки, поэтому действие в них выполняется в первую очередь. После этого выполняется умножение, так как оно имеет более высокий приоритет, чем вычитание. Последним действием будет вычитание. Правильный порядок: 1. вычитание в скобках $63 - 29$; 2. умножение $17 \cdot 85$; 3. вычитание результата первого действия из результата второго. Указанный порядок является верным. Ответ: Порядок действий указан верно.

3) В выражении $27 + (58 - 7) \cdot 6$ сначала выполняется действие в скобках ($58 - 7$). Затем, согласно правилам, выполняется умножение результата, полученного в скобках, на 6. Последним действием выполняется сложение. Правильный порядок: 1. $58 - 7$; 2. результат первого действия умножить на 6; 3. к 27 прибавить результат второго действия. Указанный порядок является верным. Ответ: Порядок действий указан верно.

4) В выражении $100 - (25 + 90 : 5)$ в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках. Внутри скобок находится выражение $25 + 90 : 5$, которое содержит и сложение, и деление. Деление имеет более высокий приоритет, чем сложение, поэтому оно должно быть выполнено первым. Правильный порядок действий: 1. деление $90 : 5$; 2. сложение $25$ с результатом деления; 3. вычитание результата из скобок из числа 100. В задании указан неверный порядок, где первым действием является сложение ($25 + 90$), что нарушает правила порядка арифметических действий. Ответ: Порядок действий указан неверно.

227 РАССУЖДАЕМ Попробуйте сравнить значения выражений, не выполняя вычислений. Расскажите, как вы рассуждали. Проверьте себя с помощью вычислений:

а) $1200 - (432 - 153)$ и $1200 - 432 - 153$;

б) $6480 : 15 \cdot 24$ и $6480 : (15 \cdot 24)$.

а) Сравнить $1200 - (432 - 153)$ и $1200 - 432 - 153$

Рассуждение:

Рассмотрим первое выражение: $1200 - (432 - 153)$. Здесь из числа $1200$ вычитается разность. Согласно правилу вычитания разности из числа, чтобы из числа вычесть разность, можно из этого числа вычесть уменьшаемое и к полученному результату прибавить вычитаемое. Таким образом, выражение можно переписать в виде: $1200 - 432 + 153$.

Рассмотрим второе выражение: $1200 - 432 - 153$. Здесь из числа $1200$ последовательно вычитаются два числа, что равносильно вычитанию их суммы: $1200 - (432 + 153)$.

Теперь сравним полученные выражения: $1200 - 432 + 153$ и $1200 - 432 - 153$. Начальная часть обоих выражений, $1200 - 432$, одинакова. В первом случае мы прибавляем $153$, а во втором — вычитаем $153$. Очевидно, что прибавление числа даст больший результат, чем вычитание того же числа. Следовательно, значение первого выражения больше.

Проверка:

1. Вычислим значение первого выражения:
$1200 - (432 - 153) = 1200 - 279 = 921$.

2. Вычислим значение второго выражения:
$1200 - 432 - 153 = 768 - 153 = 615$.

Сравнивая результаты, получаем $921 > 615$, что подтверждает наши рассуждения.

Ответ: $1200 - (432 - 153) > 1200 - 432 - 153$.

б) Сравнить $6480 : 15 \cdot 24$ и $6480 : (15 \cdot 24)$

Рассуждение:

Рассмотрим первое выражение: $6480 : 15 \cdot 24$. При отсутствии скобок действия деления и умножения выполняются последовательно слева направо. То есть, мы сначала делим $6480$ на $15$, а затем полученный результат умножаем на $24$.

Рассмотрим второе выражение: $6480 : (15 \cdot 24)$. Наличие скобок указывает, что сначала нужно выполнить действие в них, то есть найти произведение $15 \cdot 24$, и только потом разделить $6480$ на полученный результат.

Таким образом, в первом случае мы делим $6480$ на $15$, а во втором — на число, которое в $24$ раза больше ($15 \cdot 24$). Деление на большее число при одинаковом делимом дает меньший результат. Но в первом выражении после деления следует еще и умножение на $24$, что значительно увеличивает результат.

Представим выражения в виде дробей для наглядности. Первое выражение: $\frac{6480}{15} \cdot 24$. Второе выражение: $\frac{6480}{15 \cdot 24}$, что можно записать как $\frac{6480}{15} \cdot \frac{1}{24}$.

Теперь сравним $\frac{6480}{15} \cdot 24$ и $\frac{6480}{15} \cdot \frac{1}{24}$. Общий множитель $\frac{6480}{15}$ в обоих выражениях одинаков. Значит, сравнение сводится к сравнению множителей $24$ и $\frac{1}{24}$. Поскольку $24 > \frac{1}{24}$, значение первого выражения будет больше.

Проверка:

1. Вычислим значение первого выражения:
$6480 : 15 \cdot 24 = 432 \cdot 24 = 10368$.

2. Вычислим значение второго выражения:
$6480 : (15 \cdot 24) = 6480 : 360 = 18$.

Сравнивая результаты, получаем $10368 > 18$, что подтверждает наши рассуждения.

Ответ: $6480 : 15 \cdot 24 > 6480 : (15 \cdot 24)$.

РАБОТАЕМ С ТЕРМИНАМИ И СИМВОЛАМИ (228–229)

228 Прочитайте выражения, используя термины «сумма», «разность», «произведение», «частное», и найдите их значения:

а) $(174 + 29) \cdot (18 + 83)$ и $174 + 29 \cdot 18 + 83$;

б) $840 : 8 + 97$ и $840 : (8 + 97)$.

а)

Рассмотрим первое выражение: $(174 + 29) \cdot (18 + 83)$.
Это выражение читается как «произведение суммы чисел 174 и 29 и суммы чисел 18 и 83».
Для нахождения его значения выполним действия в следующем порядке:
1) Сложение в первых скобках: $174 + 29 = 203$.
2) Сложение во вторых скобках: $18 + 83 = 101$.
3) Умножение результатов: $203 \cdot 101 = 20503$.
Таким образом, $(174 + 29) \cdot (18 + 83) = 203 \cdot 101 = 20503$.
Ответ: 20503.

Рассмотрим второе выражение: $174 + 29 \cdot 18 + 83$.
Это выражение читается как «сумма числа 174, произведения чисел 29 и 18, и числа 83».
Для нахождения его значения выполним действия в следующем порядке (сначала умножение, затем сложение):
1) Умножение: $29 \cdot 18 = 522$.
2) Сложение: $174 + 522 + 83 = 696 + 83 = 779$.
Таким образом, $174 + 29 \cdot 18 + 83 = 174 + 522 + 83 = 779$.
Ответ: 779.

б)

Рассмотрим первое выражение: $840 : 8 + 97$.
Это выражение читается как «сумма частного чисел 840 и 8 и числа 97».
Для нахождения его значения выполним действия в следующем порядке (сначала деление, затем сложение):
1) Деление: $840 : 8 = 105$.
2) Сложение: $105 + 97 = 202$.
Таким образом, $840 : 8 + 97 = 105 + 97 = 202$.
Ответ: 202.

Рассмотрим второе выражение: $840 : (8 + 97)$.
Это выражение читается как «частное числа 840 и суммы чисел 8 и 97».
Для нахождения его значения выполним действия в следующем порядке:
1) Сложение в скобках: $8 + 97 = 105$.
2) Деление: $840 : 105 = 8$.
Таким образом, $840 : (8 + 97) = 840 : 105 = 8$.
Ответ: 8.

229 Составьте выражение и найдите его значение:

а) сумма произведения $24 \cdot 11$ и частного $96 : 3$;

б) разность числа 510 и суммы $236 + 128$;

в) произведение суммы $27 + 13$ и разности $52 - 22$;

г) частное суммы $31 + 29$ и числа 30.

а) Согласно условию, нужно найти сумму произведения чисел 24 и 11 и частного чисел 96 и 3. Составим соответствующее числовое выражение:
$ (24 \cdot 11) + (96 : 3) $
Теперь найдем его значение, выполняя действия в правильном порядке (сначала умножение и деление, затем сложение):
1. Вычислим произведение: $ 24 \cdot 11 = 264 $
2. Вычислим частное: $ 96 : 3 = 32 $
3. Вычислим сумму полученных результатов: $ 264 + 32 = 296 $
Ответ: 296

б) Согласно условию, нужно найти разность числа 510 и суммы чисел 236 и 128. Составим соответствующее числовое выражение:
$ 510 - (236 + 128) $
Теперь найдем его значение, выполняя действия в правильном порядке (сначала действие в скобках, затем вычитание):
1. Вычислим сумму в скобках: $ 236 + 128 = 364 $
2. Вычислим разность: $ 510 - 364 = 146 $
Ответ: 146

в) Согласно условию, нужно найти произведение суммы чисел 27 и 13 и разности чисел 52 и 22. Составим соответствующее числовое выражение:
$ (27 + 13) \cdot (52 - 22) $
Теперь найдем его значение, выполняя действия в правильном порядке (сначала действия в скобках, затем умножение):
1. Вычислим сумму в первых скобках: $ 27 + 13 = 40 $
2. Вычислим разность во вторых скобках: $ 52 - 22 = 30 $
3. Вычислим произведение полученных результатов: $ 40 \cdot 30 = 1200 $
Ответ: 1200

г) Согласно условию, нужно найти частное от деления суммы чисел 31 и 29 на число 30. Составим соответствующее числовое выражение:
$ (31 + 29) : 30 $
Теперь найдем его значение, выполняя действия в правильном порядке (сначала действие в скобках, затем деление):
1. Вычислим сумму в скобках: $ 31 + 29 = 60 $
2. Вычислим частное: $ 60 : 30 = 2 $
Ответ: 2