Номер 223, страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.2. Умножение и деление. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 223, страница 60.

223 НАБЛЮДАЕМ И АНАЛИЗИРУЕМ

Окна, расположенные на центральной башне церкви, построенной в готическом стиле (рис. 3.4, а), имеют форму, показанную на рисунке 3.4, б. Воспроизведите рисунок, задав ширину окна самостоятельно.

Подсказка. Радиус самой маленькой окружности в 6 раз меньше ширины окна.

а) б) Рис. 3.4

Для воспроизведения рисунка готического окна, показанного на схеме, необходимо выполнить последовательность геометрических построений. Зададим ширину окна как произвольную величину $W$. Весь рисунок можно построить, зная это единственное измерение и используя подсказку из условия.

1. Построение основания и внешней арки

Начертим горизонтальный отрезок $AB$ длиной $W$. Это основание окна. Найдем его середину — точку $M$. Эта точка будет центром для самой большой дуги. С центром в точке $M$ и радиусом $R_1 = \frac{AB}{2} = \frac{W}{2}$ проведем полуокружность над отрезком $AB$. Это будет внешняя арка окна.

2. Построение внутренних арок

Точка $M$ делит основание $AB$ на два равных отрезка: $AM$ и $MB$, каждый длиной $\frac{W}{2}$. Эти отрезки служат диаметрами для двух внутренних арок. Построим две полуокружности, расположенные над основанием:

• Первую — с диаметром $AM$. Ее центр находится в середине отрезка $AM$, а радиус $R_2 = \frac{AM}{2} = \frac{W/2}{2} = \frac{W}{4}$.
• Вторую — с диаметром $MB$. Ее центр находится в середине отрезка $MB$, а радиус также равен $R_2 = \frac{W}{4}$.

Эти две полуокружности образуют внутренние арки.

3. Построение верхней окружности

Эта окружность вписана между тремя ранее построенными дугами.

• Нахождение радиуса. Согласно подсказке, радиус этой окружности, $R_3$, в 6 раз меньше ширины окна: $R_3 = \frac{W}{6}$.
• Нахождение центра. Из соображений симметрии, центр окружности, назовем его $O_3$, должен лежать на перпендикуляре к отрезку $AB$, проходящем через его середину $M$ (ось симметрии окна). Окружность касается большой внешней полуокружности изнутри. Это означает, что расстояние между их центрами ($M$ и $O_3$) равно разности их радиусов: $MO_3 = R_1 - R_3$. Вычислим это расстояние: $MO_3 = \frac{W}{2} - \frac{W}{6} = \frac{3W}{6} - \frac{W}{6} = \frac{2W}{6} = \frac{W}{3}$. Таким образом, центр $O_3$ находится на оси симметрии на расстоянии $\frac{W}{3}$ от основания $AB$.
• Проверка касания. Можно убедиться, что при таком расположении окружность будет касаться и двух малых арок. Расстояние от центра $O_3$ до центра, например, левой малой арки (точки $O_2$ в середине $AM$) по теореме Пифагора равно $\sqrt{(\frac{W}{4})^2 + (\frac{W}{3})^2} = \sqrt{\frac{W^2}{16} + \frac{W^2}{9}} = \sqrt{\frac{9W^2 + 16W^2}{144}} = \sqrt{\frac{25W^2}{144}} = \frac{5W}{12}$. Эта величина в точности равна сумме радиусов малой арки и верхней окружности: $R_2 + R_3 = \frac{W}{4} + \frac{W}{6} = \frac{3W}{12} + \frac{2W}{12} = \frac{5W}{12}$. Равенство расстояния между центрами и суммы радиусов доказывает касание.
• Построение. Из найденной точки $O_3$ проводим окружность радиусом $R_3 = \frac{W}{6}$.

Выполнив эти построения, вы получите точную копию геометрической схемы окна.

Ответ: Для воспроизведения рисунка необходимо, задав ширину окна $W$, последовательно построить: 1) большую полуокружность с диаметром $W$; 2) две малые полуокружности, чьи диаметры равны $\frac{W}{2}$ и лежат на диаметре большой полуокружности; 3) верхнюю окружность с радиусом $\frac{W}{6}$, центр которой находится на оси симметрии фигуры на расстоянии $\frac{W}{3}$ от основания.