Страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

220 Сравните величины:

а) 14 м и 138 дм 10 см;

б) 835 см и 100 м;

в) 12 т и 10 290 кг;

г) 2 ч 12 мин и 212 мин.

а) 14 м и 138 дм 10 см

Чтобы сравнить эти величины, приведем их к одной единице измерения, например, к сантиметрам (см).

Мы знаем, что в 1 метре (м) 100 сантиметров (см), а в 1 дециметре (дм) 10 сантиметров (см).

Переведем первую величину в сантиметры:

$14 \text{ м} = 14 \times 100 \text{ см} = 1400 \text{ см}$

Переведем вторую величину в сантиметры:

$138 \text{ дм } 10 \text{ см} = (138 \times 10) \text{ см} + 10 \text{ см} = 1380 \text{ см} + 10 \text{ см} = 1390 \text{ см}$

Теперь сравним полученные значения:

$1400 \text{ см} > 1390 \text{ см}$

Следовательно, $14 \text{ м} > 138 \text{ дм } 10 \text{ см}$.

Ответ: $14 \text{ м} > 138 \text{ дм } 10 \text{ см}$.

б) 835 см и 100 м

Для сравнения приведем обе величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести метры в сантиметры.

В 1 метре (м) содержится 100 сантиметров (см).

Переведем 100 м в сантиметры:

$100 \text{ м} = 100 \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}$

Теперь сравним 835 см и 10000 см:

$835 \text{ см} < 10000 \text{ см}$

Таким образом, $835 \text{ см} < 100 \text{ м}$.

Ответ: $835 \text{ см} < 100 \text{ м}$.

в) 12 т и 10 290 кг

Чтобы сравнить эти величины, приведем их к одной единице измерения массы — килограммам (кг).

Мы знаем, что в 1 тонне (т) содержится 1000 килограммов (кг).

Переведем 12 тонн в килограммы:

$12 \text{ т} = 12 \times 1000 \text{ кг} = 12000 \text{ кг}$

Теперь сравним полученное значение с 10 290 кг:

$12000 \text{ кг} > 10290 \text{ кг}$

Следовательно, $12 \text{ т} > 10 290 \text{ кг}$.

Ответ: $12 \text{ т} > 10 290 \text{ кг}$.

г) 2 ч 12 мин и 212 мин

Для сравнения этих временных промежутков, приведем их к одной единице измерения — минутам (мин).

В 1 часе (ч) содержится 60 минут (мин).

Переведем первую величину в минуты:

$2 \text{ ч } 12 \text{ мин} = (2 \times 60) \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 120 \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 132 \text{ мин}$

Теперь сравним полученное значение с 212 мин:

$132 \text{ мин} < 212 \text{ мин}$

Таким образом, $2 \text{ ч } 12 \text{ мин} < 212 \text{ мин}$.

Ответ: $2 \text{ ч } 12 \text{ мин} < 212 \text{ мин}$.

221 1) Запишите ряд чисел, который получится, если последовательно округлять число 528 709 до десятков, до сотен и т. д. до высшего разряда.

2) Запишите полученные приближения в порядке возрастания.

1)

Выполним последовательное округление числа 528 709 до различных разрядов, начиная с десятков и заканчивая высшим разрядом (сотнями тысяч).

• Округление до десятков: цифра в разряде единиц — 9. Так как $9 \ge 5$, округляем в большую сторону, увеличивая разряд десятков на 1.
  $528 709 \approx 528 710$.

• Округление до сотен: цифра в разряде десятков — 0. Так как $0 < 5$, округляем в меньшую сторону, оставляя разряд сотен без изменений.
  $528 709 \approx 528 700$.

• Округление до тысяч: цифра в разряде сотен — 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону, увеличивая разряд тысяч на 1.
  $528 709 \approx 529 000$.

• Округление до десятков тысяч: цифра в разряде тысяч — 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону, увеличивая разряд десятков тысяч на 1.
  $528 709 \approx 530 000$.

• Округление до сотен тысяч (высший разряд): цифра в разряде десятков тысяч — 2. Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону, оставляя разряд сотен тысяч без изменений.
  $528 709 \approx 500 000$.

Ряд чисел, полученный в результате последовательного округления: 528 710, 528 700, 529 000, 530 000, 500 000.

Ответ: 528 710, 528 700, 529 000, 530 000, 500 000.

2)

Расположим полученные в пункте 1) приближения в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему).

Сравниваем числа: 500 000, 528 700, 528 710, 529 000, 530 000.

Получаем следующий ряд в порядке возрастания: $500 000 < 528 700 < 528 710 < 529 000 < 530 000$.

Ответ: 500 000, 528 700, 528 710, 529 000, 530 000.

222 Запишите все четырёхзначные числа, которые можно составить, используя только цифры 0 и 1. Сколько всего таких чисел?

Для решения этой задачи нужно определить, сколько существует четырёхзначных чисел, состоящих только из цифр 0 и 1, а затем перечислить их все.

Сколько всего таких чисел?
Четырёхзначное число состоит из четырёх разрядов. Согласно правилам, первая цифра многозначного числа не может быть нулём.

- Первая цифра (разряд тысяч): может быть только 1. Таким образом, есть 1 вариант.
- Вторая цифра (разряд сотен): может быть 0 или 1. Таким образом, есть 2 варианта.
- Третья цифра (разряд десятков): может быть 0 или 1. Таким образом, есть 2 варианта.
- Четвёртая цифра (разряд единиц): может быть 0 или 1. Таким образом, есть 2 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждого разряда:
$1 \times 2 \times 2 \times 2 = 8$.
Следовательно, существует всего 8 таких чисел.
Ответ: 8.

Все четырёхзначные числа, которые можно составить
Так как мы знаем, что первая цифра всегда 1, мы можем систематически перечислить все возможные комбинации для оставшихся трёх позиций:

1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.
Ответ: 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111.

223 НАБЛЮДАЕМ И АНАЛИЗИРУЕМ

Окна, расположенные на центральной башне церкви, построенной в готическом стиле (рис. 3.4, а), имеют форму, показанную на рисунке 3.4, б. Воспроизведите рисунок, задав ширину окна самостоятельно.

Подсказка. Радиус самой маленькой окружности в 6 раз меньше ширины окна.

а) б) Рис. 3.4

Для воспроизведения рисунка готического окна, показанного на схеме, необходимо выполнить последовательность геометрических построений. Зададим ширину окна как произвольную величину $W$. Весь рисунок можно построить, зная это единственное измерение и используя подсказку из условия.

1. Построение основания и внешней арки

Начертим горизонтальный отрезок $AB$ длиной $W$. Это основание окна. Найдем его середину — точку $M$. Эта точка будет центром для самой большой дуги. С центром в точке $M$ и радиусом $R_1 = \frac{AB}{2} = \frac{W}{2}$ проведем полуокружность над отрезком $AB$. Это будет внешняя арка окна.

2. Построение внутренних арок

Точка $M$ делит основание $AB$ на два равных отрезка: $AM$ и $MB$, каждый длиной $\frac{W}{2}$. Эти отрезки служат диаметрами для двух внутренних арок. Построим две полуокружности, расположенные над основанием:

• Первую — с диаметром $AM$. Ее центр находится в середине отрезка $AM$, а радиус $R_2 = \frac{AM}{2} = \frac{W/2}{2} = \frac{W}{4}$.
• Вторую — с диаметром $MB$. Ее центр находится в середине отрезка $MB$, а радиус также равен $R_2 = \frac{W}{4}$.

Эти две полуокружности образуют внутренние арки.

3. Построение верхней окружности

Эта окружность вписана между тремя ранее построенными дугами.

• Нахождение радиуса. Согласно подсказке, радиус этой окружности, $R_3$, в 6 раз меньше ширины окна: $R_3 = \frac{W}{6}$.
• Нахождение центра. Из соображений симметрии, центр окружности, назовем его $O_3$, должен лежать на перпендикуляре к отрезку $AB$, проходящем через его середину $M$ (ось симметрии окна). Окружность касается большой внешней полуокружности изнутри. Это означает, что расстояние между их центрами ($M$ и $O_3$) равно разности их радиусов: $MO_3 = R_1 - R_3$. Вычислим это расстояние: $MO_3 = \frac{W}{2} - \frac{W}{6} = \frac{3W}{6} - \frac{W}{6} = \frac{2W}{6} = \frac{W}{3}$. Таким образом, центр $O_3$ находится на оси симметрии на расстоянии $\frac{W}{3}$ от основания $AB$.
• Проверка касания. Можно убедиться, что при таком расположении окружность будет касаться и двух малых арок. Расстояние от центра $O_3$ до центра, например, левой малой арки (точки $O_2$ в середине $AM$) по теореме Пифагора равно $\sqrt{(\frac{W}{4})^2 + (\frac{W}{3})^2} = \sqrt{\frac{W^2}{16} + \frac{W^2}{9}} = \sqrt{\frac{9W^2 + 16W^2}{144}} = \sqrt{\frac{25W^2}{144}} = \frac{5W}{12}$. Эта величина в точности равна сумме радиусов малой арки и верхней окружности: $R_2 + R_3 = \frac{W}{4} + \frac{W}{6} = \frac{3W}{12} + \frac{2W}{12} = \frac{5W}{12}$. Равенство расстояния между центрами и суммы радиусов доказывает касание.
• Построение. Из найденной точки $O_3$ проводим окружность радиусом $R_3 = \frac{W}{6}$.

Выполнив эти построения, вы получите точную копию геометрической схемы окна.

Ответ: Для воспроизведения рисунка необходимо, задав ширину окна $W$, последовательно построить: 1) большую полуокружность с диаметром $W$; 2) две малые полуокружности, чьи диаметры равны $\frac{W}{2}$ и лежат на диаметре большой полуокружности; 3) верхнюю окружность с радиусом $\frac{W}{6}$, центр которой находится на оси симметрии фигуры на расстоянии $\frac{W}{3}$ от основания.