Страница 67 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

252 Запишите короче произведение и сумму:

а) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ и $2 + 2 + 2 + 2$;

б) $8 + 8 + 8$ и $8 \cdot 8 \cdot 8$.

а) Чтобы записать короче произведение, в котором одинаковые множители повторяются, используют степень. Основание степени — это повторяющийся множитель, а показатель степени — количество повторений. В выражении $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ число 2 умножается на себя 4 раза, поэтому короткая запись будет $2^4$.
Сумму одинаковых слагаемых можно записать в виде произведения. В выражении $2 + 2 + 2 + 2$ число 2 складывается 4 раза, поэтому короткая запись будет $2 \cdot 4$.
Ответ: $2^4$ и $2 \cdot 4$.

б) Сумму одинаковых слагаемых $8 + 8 + 8$ можно заменить произведением. Так как число 8 складывается 3 раза, короткая запись будет $8 \cdot 3$.
Произведение одинаковых множителей $8 \cdot 8 \cdot 8$ можно записать в виде степени. Так как число 8 умножается на себя 3 раза, короткая запись будет $8^3$.
Ответ: $8 \cdot 3$ и $8^3$.

253 Запишите в виде степени произведение чисел:

а) $3 \cdot 3;$

б) $10 \cdot 10 \cdot 10;$

в) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2;$

г) $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4;$

д) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10;$

е) $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1;$

ж) $a \cdot a;$

з) $n \cdot n \cdot n.$

а) Произведение $3 \cdot 3$ представляет собой умножение числа 3 на само себя. Число, которое умножается, называется основанием степени (в данном случае это 3). Количество раз, которое оно умножается, называется показателем степени (в данном случае 2). Таким образом, произведение можно записать в виде степени $3^2$.
Ответ: $3^2$

б) В произведении $10 \cdot 10 \cdot 10$ основанием степени является число 10, а так как оно повторяется 3 раза, показатель степени равен 3. Следовательно, выражение в виде степени будет $10^3$.
Ответ: $10^3$

в) В произведении $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ основание степени – это число 2. Оно умножается само на себя 5 раз, поэтому показатель степени равен 5. Произведение в виде степени записывается как $2^5$.
Ответ: $2^5$

г) В произведении $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ основанием степени является число 4. Оно повторяется в качестве множителя 4 раза, значит, показатель степени тоже равен 4. Запись в виде степени: $4^4$.
Ответ: $4^4$

д) В выражении $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$ основание степени – это 10. Число 10 умножается на себя 5 раз, следовательно, показатель степени равен 5. В виде степени это произведение записывается как $10^5$.
Ответ: $10^5$

е) В произведении $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$ основанием является число 1. Оно повторяется 7 раз, поэтому показатель степени равен 7. В виде степени это можно записать как $1^7$.
Ответ: $1^7$

ж) В произведении $a \cdot a$ основанием степени является переменная $a$. Она умножается сама на себя 2 раза, значит, показатель степени равен 2. Запись в виде степени: $a^2$.
Ответ: $a^2$

з) В произведении $n \cdot n \cdot n$ основанием степени является переменная $n$. Она повторяется в произведении 3 раза, поэтому показатель степени равен 3. В виде степени это записывается как $n^3$.
Ответ: $n^3$

254 Запишите короче в виде степени или произведения выражения:

a) $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2$ (20 множителей) и $2 + 2 + \dots + 2$ (20 слагаемых);

б) $10 + 10 + \dots + 10$ (10 слагаемых) и $10 \cdot 10 \cdot \dots \cdot 10$ (10 множителей);

в) $5 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 5$ (100 множителей) и $5 + 5 + \dots + 5$ (100 слагаемых).

а)

Первое выражение $2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2$ (20 множителей) представляет собой произведение двадцати одинаковых множителей, равных 2. По определению степени, такое произведение можно записать как число 2, возведенное в степень, равную количеству множителей, то есть 20.
$ \underbrace{2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2}_{20 \text{ множителей}} = 2^{20} $

Второе выражение $2 + 2 + ... + 2$ (20 слагаемых) представляет собой сумму двадцати одинаковых слагаемых, равных 2. По определению умножения, такую сумму можно записать в виде произведения этого слагаемого на их количество.
$ \underbrace{2 + 2 + ... + 2}_{20 \text{ слагаемых}} = 2 \cdot 20 $

Ответ: $2^{20}$ и $2 \cdot 20$.

б)

Первое выражение $10 + 10 + ... + 10$ (10 слагаемых) — это сумма десяти одинаковых слагаемых, равных 10. Эту сумму можно записать в виде произведения числа 10 на количество слагаемых, то есть на 10.
$ \underbrace{10 + 10 + ... + 10}_{10 \text{ слагаемых}} = 10 \cdot 10 $

Второе выражение $10 \cdot 10 \cdot ... \cdot 10$ (10 множителей) — это произведение десяти одинаковых множителей, равных 10. Это произведение можно записать в виде степени с основанием 10 и показателем 10.
$ \underbrace{10 \cdot 10 \cdot ... \cdot 10}_{10 \text{ множителей}} = 10^{10} $

Ответ: $10 \cdot 10$ и $10^{10}$.

в)

Первое выражение $5 \cdot 5 \cdot ... \cdot 5$ (100 множителей) — это произведение ста одинаковых множителей, равных 5. Его можно записать в виде степени, где основание равно 5, а показатель степени равен 100.
$ \underbrace{5 \cdot 5 \cdot ... \cdot 5}_{100 \text{ множителей}} = 5^{100} $

Второе выражение $5 + 5 + ... + 5$ (100 слагаемых) — это сумма ста одинаковых слагаемых, равных 5. Эту сумму можно записать в виде произведения числа 5 на количество слагаемых, то есть на 100.
$ \underbrace{5 + 5 + ... + 5}_{100 \text{ слагаемых}} = 5 \cdot 100 $

Ответ: $5^{100}$ и $5 \cdot 100$.

255 Вычислите устно, прокомментируйте свои действия:

а) $2^2$, $5^2$, $1^2$, $7^2$;

б) $2^3$, $3^3$, $4^3$, $1^3$;

в) $6^2$, $10^3$, $9^2$, $5^3$;

г) $1^4$, $1^5$, $2^4$, $3^4$.

а)

Возведение числа во вторую степень (в квадрат) означает умножение этого числа на само себя. Вычислим значения поочередно:
$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
$1^2 = 1 \cdot 1 = 1$. (Единица в любой степени равна единице).
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
Ответ: 4, 25, 1, 49.

б)

Возведение числа в третью степень (в куб) означает умножение этого числа на само себя три раза.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
$1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. (Единица в любой степени равна единице).
Ответ: 8, 27, 64, 1.

в)

В этом пункте нужно вычислить числа во второй и третьей степени.
$6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.
$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000$.
$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.
Ответ: 36, 1000, 81, 125.

г)

Вычислим числа в четвертой и пятой степени. Это означает умножение числа на само себя 4 и 5 раз соответственно.
$1^4 = 1$. (Единица в любой степени равна единице).
$1^5 = 1$. (Единица в любой степени равна единице).
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 4 = 16$.
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
Ответ: 1, 1, 16, 81.