Страница 65 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

245 а) Две бригады, работая вместе, сшили 120 костюмов. Одна бригада шила 13 костюмов в день, а другая — 11. Сколько костюмов сшила каждая бригада?

б) Библиотеке надо переплести 900 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

а)

1. Сначала найдем, сколько костюмов обе бригады шили вместе за один день. Для этого сложим их дневную выработку:

$13 + 11 = 24$ (костюма) – шили обе бригады вместе за один день.

2. Теперь, зная общую производительность и общее количество сшитых костюмов, найдем, сколько дней они работали вместе:

$120 / 24 = 5$ (дней) – общее время работы.

3. Зная, что бригады работали 5 дней, рассчитаем, сколько костюмов сшила каждая из них:

Первая бригада: $13 * 5 = 65$ (костюмов).

Вторая бригада: $11 * 5 = 55$ (костюмов).

Проверка: $65 + 55 = 120$ костюмов.

Ответ: первая бригада сшила 65 костюмов, а вторая – 55 костюмов.

б)

1. Найдем производительность первой мастерской, то есть сколько книг она может переплести за один день:

$900 / 10 = 90$ (книг в день) – производительность первой мастерской.

2. Найдем производительность второй мастерской:

$900 / 15 = 60$ (книг в день) – производительность второй мастерской.

3. Теперь найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:

$90 + 60 = 150$ (книг в день) – общая производительность.

4. Чтобы найти, за сколько дней они выполнят всю работу вместе, разделим общее количество книг на их совместную производительность:

$900 / 150 = 6$ (дней).

Ответ: мастерские выполнят эту работу за 6 дней, если будут работать вместе.

РАССУЖДАЕМ (246–248)

246 Прочитайте задачу:

«Масса пакета, в котором 4 яблока и 10 слив, равна 600 г, а масса пакета, в котором 2 яблока и 10 слив, равна 400 г. Чему равна масса одного яблока и масса одной сливы?»

Будем рассуждать так. Масса первого пакета больше, чем второго. Слив в нём столько же, сколько во втором, а яблок на 2 больше. Значит, разница в массе происходит от того, что в пакете два лишних яблока. Можно узнать, какова масса двух яблок. Продолжите это рассуждение и доведите решение до конца.

Продолжим рассуждение, начатое в условии задачи. Мы знаем, что разница в массе между первым и вторым пакетом вызвана только разницей в количестве яблок, так как количество слив в них одинаково.

1. Найдем разницу в массе пакетов. Она и будет равна массе двух «лишних» яблок:

$600 - 400 = 200$ (г) — масса двух яблок.

2. Теперь можем найти массу одного яблока, разделив массу двух яблок на 2:

$200 : 2 = 100$ (г) — масса одного яблока.

3. Зная массу одного яблока, найдем массу слив. Для этого воспользуемся данными о втором пакете (2 яблока и 10 слив, общая масса 400 г). Сначала вычислим массу двух яблок в этом пакете:

$100 \times 2 = 200$ (г) — масса двух яблок.

4. Вычтем массу яблок из общей массы второго пакета, чтобы найти массу десяти слив:

$400 - 200 = 200$ (г) — масса десяти слив.

5. Наконец, найдем массу одной сливы, разделив общую массу слив на их количество:

$200 : 10 = 20$ (г) — масса одной сливы.

Ответ: масса одного яблока равна 100 г, а масса одной сливы — 20 г.

247 Первый покупатель купил 2 большие коробки яиц и 4 маленькие. Он заплатил за покупку на 48 р. меньше, чем второй покупатель, который купил 4 большие коробки яиц и 4 маленькие. Известно, что большая коробка на 8 р. дороже маленькой. Определите, какая сумма была получена кассой магазина за эти две покупки.

Подсказка. Рассуждайте так же, как в упражнении 246.

Сравним покупки первого и второго покупателя. Оба купили по 4 маленькие коробки яиц. Разница в их покупках заключается только в количестве больших коробок: второй покупатель купил на $4 - 2 = 2$ большие коробки больше, чем первый.

По условию задачи, эта разница в стоимости составила 48 рублей. Следовательно, 2 большие коробки стоят 48 рублей. Можем найти цену одной большой коробки:
$48 \div 2 = 24$ рубля.

Также известно, что большая коробка на 8 рублей дороже маленькой. Теперь найдем цену маленькой коробки:
$24 - 8 = 16$ рублей.

Чтобы определить общую сумму, полученную кассой, подсчитаем общее количество купленных коробок и их стоимость.
Всего куплено больших коробок: $2 + 4 = 6$ штук.
Всего куплено маленьких коробок: $4 + 4 = 8$ штук.

Рассчитаем общую стоимость всех коробок:
$(6 \times 24) + (8 \times 16) = 144 + 128 = 272$ рубля.

Ответ: 272 рубля.

248 Петя, Коля и Слава поочерёдно парами становились на весы. Петя и Коля вместе весят 55 кг, Коля и Слава – 58 кг, а Петя и Слава – 59 кг. Сколько весит каждый мальчик?

Подсказка.

Если сложить все показания весов, то мы получим удвоенный вес всех мальчиков: $(\text{Петя} + \text{Коля}) + (\text{Коля} + \text{Слава}) + (\text{Петя} + \text{Слава})$.

Для решения задачи обозначим вес каждого мальчика переменной: $П$ — вес Пети, $К$ — вес Коли, $С$ — вес Славы.

Исходя из условия, можно составить систему уравнений:
1. $П + К = 55$ (вес Пети и Коли)
2. $К + С = 58$ (вес Коли и Славы)
3. $П + С = 59$ (вес Пети и Славы)

Следуя подсказке, сложим все три уравнения, чтобы найти удвоенный общий вес мальчиков:
$(П + К) + (К + С) + (П + С) = 55 + 58 + 59$
$2П + 2К + 2С = 172$
$2(П + К + С) = 172$

Теперь найдем суммарный вес троих мальчиков, разделив результат на 2:
$П + К + С = 172 / 2 = 86$ кг.

Зная общий вес ($86$ кг) и вес каждой пары, мы можем легко вычислить вес каждого мальчика.

• Чтобы найти вес Славы, нужно из общего веса вычесть вес Пети и Коли:
  $С = (П + К + С) - (П + К) = 86 - 55 = 31$ кг.
• Чтобы найти вес Пети, нужно из общего веса вычесть вес Коли и Славы:
  $П = (П + К + С) - (К + С) = 86 - 58 = 28$ кг.
• Чтобы найти вес Коли, нужно из общего веса вычесть вес Пети и Славы:
  $К = (П + К + С) - (П + С) = 86 - 59 = 27$ кг.

Проверим:
Петя и Коля: $28 + 27 = 55$ кг. Верно.
Коля и Слава: $27 + 31 = 58$ кг. Верно.
Петя и Слава: $28 + 31 = 59$ кг. Верно.

Ответ: Петя весит 28 кг, Коля весит 27 кг, а Слава весит 31 кг.

249 a) Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа: 364, 9049, 24 307.

б) Дано число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых: $3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1$. Представьте в виде суммы разрядных слагаемых число, которое получится, если к данному числу приписать справа нуль; два нуля.

а)

Чтобы записать число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно каждую значащую цифру числа умножить на её разрядный вес (1, 10, 100, 1000 и т.д.) и сложить полученные произведения. Разряды с цифрой 0 пропускаются.

• Для числа 364: $364 = 3 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 4$
• Для числа 9049: $9049 = 9 \cdot 1000 + 4 \cdot 10 + 9$
• Для числа 24 307: $24307 = 2 \cdot 10000 + 4 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7$

Ответ: $364 = 3 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 4$; $9049 = 9 \cdot 1000 + 4 \cdot 10 + 9$; $24307 = 2 \cdot 10000 + 4 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7$.

б)

Исходное число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых, равно: $3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1 = 300 + 20 + 1 = 321$.

1. Если к числу 321 приписать справа ноль, получится число 3210. Приписывание нуля справа равносильно умножению числа на 10. Поэтому, чтобы получить новую сумму разрядных слагаемых, нужно каждое слагаемое в исходной сумме умножить на 10:

$(3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1) \cdot 10 = 3 \cdot 100 \cdot 10 + 2 \cdot 10 \cdot 10 + 1 \cdot 10 = 3 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10$.

2. Если к числу 321 приписать справа два ноля, получится число 32100. Это равносильно умножению исходного числа на 100. Умножим каждое слагаемое в исходной сумме на 100:

$(3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 1) \cdot 100 = 3 \cdot 100 \cdot 100 + 2 \cdot 10 \cdot 100 + 1 \cdot 100 = 3 \cdot 10000 + 2 \cdot 1000 + 1 \cdot 100$.

Ответ: если приписать ноль, получится $3 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 1 \cdot 10$; если приписать два ноля, получится $3 \cdot 10000 + 2 \cdot 1000 + 1 \cdot 100$.

250 Даны цифры 2, 3, 4.

а) Запишите все нечётные двузначные числа, которые можно составить, используя только эти цифры. Сколько всего таких чисел?

б) Запишите все нечётные трёхзначные числа, которые можно составить, используя только эти цифры. Сколько всего таких чисел?

а) Чтобы число было нечётным, его последняя цифра должна быть нечётной. Из данных цифр (2, 3, 4) нечётной является только цифра 3.
Таким образом, для составления нечётного двузначного числа, цифра в разряде единиц должна быть 3.
На месте десятков может стоять любая из трёх данных цифр: 2, 3 или 4.
Получаем следующие числа: 23, 33, 43.
Общее количество таких чисел можно найти, перемножив количество вариантов для каждого разряда. Для разряда десятков есть 3 варианта, для разряда единиц — 1 вариант.
$3 \times 1 = 3$
Ответ: 23, 33, 43. Всего 3 числа.

б) Аналогично, для составления нечётного трёхзначного числа, цифра в разряде единиц должна быть 3.
На месте сотен может стоять любая из трёх данных цифр (2, 3 или 4).
На месте десятков также может стоять любая из трёх данных цифр (2, 3 или 4).
На месте единиц может стоять только одна цифра — 3.
Перечислим все возможные числа:
223, 233, 243
323, 333, 343
423, 433, 443
Общее количество таких чисел равно произведению количества вариантов для каждого разряда: 3 варианта для сотен, 3 варианта для десятков и 1 вариант для единиц.
$3 \times 3 \times 1 = 9$
Ответ: 223, 233, 243, 323, 333, 343, 423, 433, 443. Всего 9 чисел.

251 1) Перечертите в тетрадь ломаную, изображённую на рисунке 3.6, измерьте её звенья и найдите длину ломаной.

Рис. 3.6

2) Теперь вам надо построить ломаную, длина которой равна 20 см и которая состоит из четырёх звеньев различной длины. Спланируйте свою работу, разбив её на два шага, и выполните задание.

1)

Задача состоит в том, чтобы измерить звенья ломаной, изображённой на рисунке, и найти её общую длину. Ломаная состоит из трёх звеньев: AB, BC и CD. Для измерения длин воспользуемся координатной сеткой, на которой изображена ломаная. Примем сторону одной клетки сетки за 1 условную единицу длины (например, 1 см).

1. Найдём длину первого звена AB. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок AB, а катеты параллельны осям сетки. Длина одного катета равна 2 клеткам (горизонтальное смещение), а другого — 2 клеткам (вертикальное смещение). По теореме Пифагора длина звена AB равна:
$L_{AB} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ см.

2. Найдём длину второго звена BC. Горизонтальное смещение между точками B и C составляет 6 клеток, а вертикальное — 3 клетки. Длина звена BC равна:
$L_{BC} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$ см.

3. Найдём длину третьего звена CD. Горизонтальное смещение между точками C и D составляет 5 клеток, а вертикальное — 1 клетку. Длина звена CD равна:
$L_{CD} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$ см.

Поскольку задание просит "измерить" звенья, это предполагает получение приближённых значений, которые можно было бы получить с помощью линейки. Вычислим приближённые значения длин звеньев с точностью до десятых:

• $L_{AB} = \sqrt{8} \approx 2.8$ см.
• $L_{BC} = \sqrt{45} \approx 6.7$ см.
• $L_{CD} = \sqrt{26} \approx 5.1$ см.

4. Теперь найдём общую длину ломаной, сложив длины её звеньев:
$L = L_{AB} + L_{BC} + L_{CD} \approx 2.8 + 6.7 + 5.1 = 14.6$ см.

Ответ: Длины звеньев ломаной примерно равны 2.8 см, 6.7 см и 5.1 см. Общая длина ломаной составляет примерно 14.6 см.

2)

Задача состоит в том, чтобы спланировать и построить ломаную линию длиной 20 см, состоящую из четырёх звеньев различной длины. Работу можно разбить на два шага: планирование и построение.

Шаг 1: Планирование.

На этом шаге нужно подобрать длины для четырёх звеньев. Обозначим их длины как $l_1, l_2, l_3, l_4$. Согласно условию, они должны удовлетворять двум требованиям:

1. Все длины должны быть различны: $l_1 \neq l_2 \neq l_3 \neq l_4$.
2. Сумма длин должна быть равна 20 см: $l_1 + l_2 + l_3 + l_4 = 20$ см.

Для удобства построения выберем целые числа. Существует множество комбинаций. Например, выберем такую комбинацию:

• $l_1 = 3$ см
• $l_2 = 4$ см
• $l_3 = 6$ см
• $l_4 = 7$ см

Проверим условия: все числа различны. Их сумма: $3 + 4 + 6 + 7 = 20$ см. Условия выполнены.

Шаг 2: Построение.

На этом шаге нужно начертить ломаную с выбранными на первом шаге длинами звеньев. Построение выполняется последовательно с помощью линейки:

1. Отметьте на листе бумаги начальную точку A.
2. От точки A отложите отрезок AB длиной $l_1 = 3$ см в любом направлении.
3. От точки B отложите отрезок BC длиной $l_2 = 4$ см так, чтобы он не лежал на той же прямой, что и AB.
4. От точки C отложите отрезок CD длиной $l_3 = 6$ см под некоторым углом к BC.
5. От точки D отложите отрезок DE длиной $l_4 = 7$ см под некоторым углом к CD.

В результате будет построена ломаная ABCDE, состоящая из четырёх звеньев разной длины (3 см, 4 см, 6 см, 7 см), общая длина которой составляет 20 см.

Ответ: План работы состоит из двух шагов: 1) подобрать четыре различных числа, сумма которых равна 20 (например, 3, 4, 6 и 7); 2) последовательно начертить с помощью линейки четыре отрезка (звена) с выбранными длинами, соединяя их конец одного с началом следующего. Выполнение этого плана даёт искомую ломаную.