Страница 59 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

216 Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 80 км/ч за 3 ч. Сколько суток потребуется, чтобы пройти это расстояние пешком со скоростью 5 км/ч?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем расстояние между городами.

Расстояние ($S$) равно произведению скорости ($v$) на время ($t$). Автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч в течение 3 часов.

$S = v_{авто} \cdot t_{авто}$

$S = 80 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 240 \text{ км}$

Таким образом, расстояние между городами составляет 240 км.

2. Найдем время, которое потребуется, чтобы пройти это расстояние пешком.

Время ($t$) равно отношению расстояния ($S$) к скорости ($v$). Скорость пешехода составляет 5 км/ч.

$t_{пешком} = S / v_{пешком}$

$t_{пешком} = 240 \text{ км} / 5 \text{ км/ч} = 48 \text{ часов}$

3. Переведем полученное время из часов в сутки.

В одних сутках 24 часа. Чтобы узнать, сколько суток потребуется, разделим общее количество часов на 24.

Количество суток = $48 \text{ часов} / 24 \text{ часа/сутки} = 2 \text{ суток}$

Ответ: 2 суток.

217 Поезд проехал 80 км за 1 ч 20 мин. Сколько километров проедет поезд за 35 мин при той же скорости?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти скорость поезда, а затем, зная скорость, вычислить расстояние, которое он проедет за 35 минут.

1. Переведем время в единую единицу измерения (минуты).

В условии дано время 1 час 20 минут. Поскольку 1 час равен 60 минутам, общее время в минутах составит:

$1 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 60 \text{ мин } + 20 \text{ мин } = 80 \text{ мин}$

2. Найдем скорость поезда.

Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время. Поезд проехал 80 км за 80 минут.

$v = \frac{80 \text{ км}}{80 \text{ мин}} = 1 \text{ км/мин}$

Таким образом, скорость поезда составляет 1 километр в минуту.

3. Вычислим расстояние, которое поезд проедет за 35 минут.

Теперь, зная скорость, мы можем найти расстояние ($S'$) по формуле $S' = v \cdot t'$, где $t' = 35$ минут.

$S' = 1 \text{ км/мин} \cdot 35 \text{ мин} = 35 \text{ км}$

Ответ: Поезд проедет 35 км за 35 минут.

218 Прочитайте задачу и решите её, используя предложенный план.

Велосипедист выехал с туристической базы на станцию, расстояние до которой $6 \text{ км}$. Какое расстояние останется ему проехать через $24 \text{ мин}$, если он будет ехать со скоростью $12 \text{ км/ч}$?

1) Рассмотрите рисунок 3.3, на котором схематически изображено условие задачи.

Какой отрезок изображает всё расстояние? расстояние, которое проехал велосипедист за $24 \text{ мин}$? расстояние, которое осталось проехать?

2) Узнайте, сколько метров проезжает турист за одну минуту.

3) Определите, сколько метров проехал велосипедист за $24 \text{ мин}$.

4) Определите расстояние (в метрах), которое ему осталось проехать, и выразите его в километрах и метрах.

$6 \text{ км}$

$? \text{ км}$

$? \text{ км}$

A

C

B

Турбаза

Станция

$24 \text{ мин}$

Рис. 3.3

1) Рассмотрите рисунок 3.3, на котором схематически изображено условие задачи. Какой отрезок изображает всё расстояние? расстояние, которое проехал велосипедист за 24 мин? расстояние, которое осталось проехать?

На рисунке 3.3 схематически изображены следующие элементы задачи:
- Отрезок AB изображает всё расстояние от турбазы до станции, равное 6 км.
- Отрезок AC изображает расстояние, которое проехал велосипедист за 24 минуты.
- Отрезок CB изображает расстояние, которое велосипедисту осталось проехать.

2) Узнайте, сколько метров проезжает велосипедист за одну минуту.

Скорость велосипедиста равна 12 км/ч. Чтобы найти, какое расстояние он проезжает за минуту, переведём его скорость в метры в минуту.
В 1 километре 1000 метров, значит $12 \text{ км} = 12 \times 1000 = 12000 \text{ м}$.
В 1 часе 60 минут.
Следовательно, велосипедист проезжает 12000 метров за 60 минут. Чтобы найти расстояние за одну минуту, разделим общее расстояние на время в минутах:
$12000 \text{ м} \div 60 \text{ мин} = 200$ м/мин.
Ответ: Велосипедист проезжает 200 метров за одну минуту.

3) Определите, сколько метров проехал велосипедист за 24 мин.

Чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время. Скорость велосипедиста составляет 200 м/мин, а время в пути — 24 минуты.
$S = v \times t = 200 \text{ м/мин} \times 24 \text{ мин} = 4800 \text{ м}$.
Ответ: За 24 минуты велосипедист проехал 4800 метров.

4) Определите расстояние (в метрах), которое ему осталось проехать, и выразите его в километрах и метрах.

Общее расстояние от турбазы до станции — 6 км. Переведём это расстояние в метры:
$6 \text{ км} = 6 \times 1000 = 6000 \text{ м}$.
Велосипедист проехал 4800 м. Чтобы найти оставшееся расстояние, вычтем из общего расстояния пройденное:
$6000 \text{ м} - 4800 \text{ м} = 1200 \text{ м}$.
Теперь выразим 1200 метров в километрах и метрах. Так как $1000 \text{ м} = 1 \text{ км}$:
$1200 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 200 \text{ м} = 1 \text{ км } 200 \text{ м}$.
Ответ: Велосипедисту осталось проехать 1200 метров, что составляет 1 км 200 м.

219 Изобразите схематически с помощью рисунка условие задачи, спланируйте ход решения и решите её:

а) Пётр идёт от дома до станции метро, расстояние до которой равно 1 км 700 м. Через 16 мин после выхода ему остаётся пройти 340 м. Сколько минут занимает у Петра весь путь от дома до метро?

б) Андрей идёт от дома до станции метро. Через 8 мин после выхода ему остаётся пройти 560 м, через 12 мин – 240 м. Сколько минут занимает у Андрея вся дорога и чему равно расстояние от дома до станции?

а) Пётр идёт от дома до станции метро, расстояние до которой равно 1 км 700 м. Через 16 мин после выхода ему остаётся пройти 340 м. Сколько минут занимает у Петра весь путь от дома до метро?

Схематический рисунок:

План решения:

1. Перевести общее расстояние в метры для удобства расчетов.
2. Найти расстояние, которое Пётр прошёл за 16 минут, вычтя из общего расстояния оставшееся.
3. Вычислить скорость движения Петра (расстояние, пройденное за 16 минут, разделить на время).
4. Найти общее время пути, разделив общее расстояние на скорость Петра.

Решение:

1. Общее расстояние от дома до метро составляет $S_{общ} = 1 \text{ км } 700 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 700 \text{ м} = 1700 \text{ м}$.

2. За 16 минут Пётр прошёл расстояние $S_{прошёл}$, а осталось ему пройти $S_{ост} = 340 \text{ м}$. Найдём, какое расстояние он уже преодолел:
$S_{прошёл} = S_{общ} - S_{ост} = 1700 \text{ м} - 340 \text{ м} = 1360 \text{ м}$.

3. Теперь мы можем найти скорость Петра $v$, зная, что он прошёл 1360 м за 16 минут:
$v = \frac{S_{прошёл}}{t} = \frac{1360 \text{ м}}{16 \text{ мин}} = 85 \text{ м/мин}$.

4. Зная общую дистанцию и скорость, найдём общее время в пути $T_{общ}$:
$T_{общ} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{1700 \text{ м}}{85 \text{ м/мин}} = 20 \text{ мин}$.

Ответ: 20 минут.

б) Андрей идёт от дома до станции метро. Через 8 мин после выхода ему остаётся пройти 560 м, через 12 мин — 240 м. Сколько минут занимает у Андрея вся дорога и чему равно расстояние от дома до станции?

Схематический рисунок:

План решения:

1. Найти расстояние, которое Андрей прошёл за промежуток времени с 8-й по 12-ю минуту.
2. Найти продолжительность этого промежутка времени.
3. Вычислить скорость движения Андрея, разделив пройденное за этот промежуток расстояние на время.
4. Найти общее расстояние до метро, используя данные за один из моментов времени (например, за 8 минут): вычислить, сколько он уже прошёл, и прибавить оставшееся расстояние.
5. Найти общее время в пути, разделив общее расстояние на найденную скорость.

Решение:

1. Найдём, какой путь Андрей прошёл за время с 8-й по 12-ю минуту. Это разница между расстояниями, которые оставалось пройти в эти моменты времени:
$S_{8 \to 12} = 560 \text{ м} - 240 \text{ м} = 320 \text{ м}$.

2. Этот путь он прошёл за время:
$t_{8 \to 12} = 12 \text{ мин} - 8 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$.

3. Теперь мы можем найти скорость Андрея $v$, которая предполагается постоянной:
$v = \frac{S_{8 \to 12}}{t_{8 \to 12}} = \frac{320 \text{ м}}{4 \text{ мин}} = 80 \text{ м/мин}$.

4. Зная скорость, найдём общее расстояние до станции. Для этого сначала вычислим, какой путь Андрей прошёл за первые 8 минут:
$S_{прошёл_8} = v \times t_8 = 80 \text{ м/мин} \times 8 \text{ мин} = 640 \text{ м}$.
Общее расстояние $S_{общ}$ равно сумме пройденного за 8 минут пути и оставшегося пути:
$S_{общ} = S_{прошёл_8} + S_{ост_8} = 640 \text{ м} + 560 \text{ м} = 1200 \text{ м}$.

5. Теперь, зная общее расстояние и скорость, найдём общее время в пути $T_{общ}$:
$T_{общ} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{1200 \text{ м}}{80 \text{ м/мин}} = 15 \text{ мин}$.

Ответ: вся дорога занимает 15 минут, а расстояние от дома до станции равно 1200 м.