Страница 58 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

209 a) Мальчик проходит 80 м за одну минуту. Какое расстояние он может пройти за один час?

б) Автомобиль проезжает 1500 м в каждую минуту. Сколько километров он проезжает за один час?

а) Чтобы найти расстояние, которое мальчик пройдет за один час, нужно его скорость (расстояние за минуту) умножить на количество минут в часе.
В одном часе 60 минут.
Скорость мальчика — 80 м в минуту.
Рассчитаем расстояние за час:
$80 \, \text{м/мин} \times 60 \, \text{мин} = 4800 \, \text{м}$.
Также можно выразить это расстояние в километрах, зная, что $1 \, \text{км} = 1000 \, \text{м}$:
$4800 \, \text{м} = 4,8 \, \text{км}$.
Ответ: 4800 м (или 4,8 км).

б) Чтобы найти, сколько километров автомобиль проезжает за один час, сначала найдем расстояние в метрах, которое он проезжает за час, а затем переведем его в километры.
В одном часе 60 минут.
Скорость автомобиля — 1500 м в минуту.
Рассчитаем расстояние в метрах за час:
$1500 \, \text{м/мин} \times 60 \, \text{мин} = 90000 \, \text{м}$.
Теперь переведем полученное расстояние в километры. Так как в одном километре 1000 метров, разделим количество метров на 1000:
$90000 \, \text{м} \div 1000 = 90 \, \text{км}$.
Ответ: 90 км.

210 а) Поезд проехал 240 км за 3 ч. Сколько километров проедет поезд за 5 ч, если будет ехать с такой же скоростью?

б) Автомобиль проехал 140 км со скоростью $70 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы проехать 150 км за такое же время?

в) Велосипедист ехал 4 ч со скоростью $15 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. За какое время прошёл бы он это расстояние пешком, если бы шёл со скоростью $4 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$?

а) Для начала найдем скорость поезда. Скорость ($v$) — это расстояние ($S$), деленное на время ($t$).

$v = S / t = 240 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 80 \text{ км/ч}$.

Теперь, зная, что скорость поезда постоянна, вычислим расстояние, которое он проедет за 5 часов, умножив скорость на новое время.

$S = v \cdot t = 80 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 400 \text{ км}$.

Ответ: 400 км.

б) Сначала определим, сколько времени автомобиль был в пути. Для этого разделим пройденное расстояние (140 км) на его скорость (70 км/ч).

$t = S / v = 140 \text{ км} / 70 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$.

Далее найдем, с какой скоростью ему нужно ехать, чтобы проехать новое расстояние (150 км) за то же самое время (2 часа). Для этого новое расстояние разделим на время.

$v = S / t = 150 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 75 \text{ км/ч}$.

Ответ: 75 км/ч.

в) Сперва найдем расстояние, которое проехал велосипедист. Для этого умножим его скорость (15 км/ч) на время в пути (4 ч).

$S = v \cdot t = 15 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 60 \text{ км}$.

Теперь вычислим, сколько времени потребуется, чтобы пройти это расстояние (60 км) пешком со скоростью 4 км/ч. Для этого разделим расстояние на скорость ходьбы.

$t = S / v = 60 \text{ км} / 4 \text{ км/ч} = 15 \text{ ч}$.

Ответ: 15 ч.

211 а) Электричка идёт из города Крюково со скоростью 65 км/ч. Пассажир сел в электричку на станции, находящейся в 45 км от Крюково. На каком расстоянии от города он будет через 2 ч?

б) Автомобиль выехал из одного города в другой, расстояние до которого 240 км. Сколько ему останется проехать через 2 ч, если он едет со скоростью 85 км/ч?

в) Толя вышел из дома в школу, расстояние до которой 1200 м. Через 12 мин ему осталось идти до школы 300 м. Сколько метров в минуту проходил Толя?

а) Сначала найдем расстояние, которое электричка проедет за 2 часа. Для этого умножим ее скорость на время:
$65 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 130 \text{ км}$
Пассажир сел в поезд на станции, которая уже находилась в 45 км от города Крюково. Чтобы узнать, на каком расстоянии от города он будет через 2 часа, сложим начальное расстояние и расстояние, которое проехала электричка за это время:
$45 \text{ км} + 130 \text{ км} = 175 \text{ км}$
Ответ: 175 км.

б) Сначала определим, какое расстояние проехал автомобиль за 2 часа. Для этого умножим его скорость на время:
$85 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 170 \text{ км}$
Общее расстояние между городами равно 240 км. Чтобы найти, сколько километров осталось проехать, нужно из общего расстояния вычесть уже пройденное:
$240 \text{ км} - 170 \text{ км} = 70 \text{ км}$
Ответ: 70 км.

в) Сначала найдем расстояние, которое Толя прошел за 12 минут. Для этого из общего расстояния до школы вычтем расстояние, которое ему осталось пройти:
$1200 \text{ м} - 300 \text{ м} = 900 \text{ м}$
Теперь, чтобы найти скорость Толи, разделим пройденное им расстояние на время, которое он затратил:
$900 \text{ м} / 12 \text{ мин} = 75 \text{ м/мин}$
Ответ: 75 метров в минуту.

212 Выполните деление. (Попробуйте сделать это без записи уголком.) Проверьте себя умножением.

а) $352352 : 352;$

б) $787878 : 78;$

в) $727272 : 12;$

г) $164880 : 16;$

д) $4590135 : 45;$

е) $5012575 : 25;$

ж) $45030015 : 15;$

з) $900900180 : 18;$

и) $175105280 : 35.$

а) $352\;352 : 352$
Представим делимое $352\;352$ в виде суммы слагаемых: $352\;352 = 352\;000 + 352$.
Выполним деление: $(352\;000 + 352) : 352 = 352\;000 : 352 + 352 : 352 = 1000 + 1 = 1001$.
Проверка умножением: $1001 \cdot 352 = (1000 + 1) \cdot 352 = 1000 \cdot 352 + 1 \cdot 352 = 352\;000 + 352 = 352\;352$.
Ответ: $1001$

б) $787\;878 : 78$
Представим делимое $787\;878$ в виде суммы слагаемых, кратных $78$: $787\;878 = 780\;000 + 7\;800 + 78$.
Выполним деление: $(780\;000 + 7\;800 + 78) : 78 = 780\;000 : 78 + 7\;800 : 78 + 78 : 78 = 10\;000 + 100 + 1 = 10\;101$.
Проверка умножением: $10\;101 \cdot 78 = (10\;000 + 100 + 1) \cdot 78 = 10\;000 \cdot 78 + 100 \cdot 78 + 1 \cdot 78 = 780\;000 + 7\;800 + 78 = 787\;878$.
Ответ: $10\;101$

в) $727\;272 : 12$
Представим делимое $727\;272$ в виде суммы слагаемых, кратных $12$: $727\;272 = 720\;000 + 7\;200 + 72$.
Выполним деление: $(720\;000 + 7\;200 + 72) : 12 = 720\;000 : 12 + 7\;200 : 12 + 72 : 12 = 60\;000 + 600 + 6 = 60\;606$.
Проверка умножением: $60\;606 \cdot 12 = (60\;000 + 600 + 6) \cdot 12 = 60\;000 \cdot 12 + 600 \cdot 12 + 6 \cdot 12 = 720\;000 + 7\;200 + 72 = 727\;272$.
Ответ: $60\;606$

г) $164\;880 : 16$
Представим делимое $164\;880$ в виде суммы слагаемых, кратных $16$: $164\;880 = 160\;000 + 4\;800 + 80$.
Выполним деление: $(160\;000 + 4\;800 + 80) : 16 = 160\;000 : 16 + 4\;800 : 16 + 80 : 16 = 10\;000 + 300 + 5 = 10\;305$.
Проверка умножением: $10\;305 \cdot 16 = (10\;000 + 300 + 5) \cdot 16 = 10\;000 \cdot 16 + 300 \cdot 16 + 5 \cdot 16 = 160\;000 + 4\;800 + 80 = 164\;880$.
Ответ: $10\;305$

д) $4\;590\;135 : 45$
Представим делимое $4\;590\;135$ в виде суммы слагаемых, кратных $45$: $4\;590\;135 = 4\;500\;000 + 90\;000 + 135$.
Выполним деление: $(4\;500\;000 + 90\;000 + 135) : 45 = 4\;500\;000 : 45 + 90\;000 : 45 + 135 : 45 = 100\;000 + 2\;000 + 3 = 102\;003$.
Проверка умножением: $102\;003 \cdot 45 = 102\;003 \cdot (40 + 5) = 102\;003 \cdot 40 + 102\;003 \cdot 5 = 4\;080\;120 + 510\;015 = 4\;590\;135$.
Ответ: $102\;003$

е) $5\;012\;575 : 25$
Представим делимое $5\;012\;575$ в виде суммы слагаемых, кратных $25$: $5\;012\;575 = 5\;000\;000 + 12\;500 + 75$.
Выполним деление: $(5\;000\;000 + 12\;500 + 75) : 25 = 5\;000\;000 : 25 + 12\;500 : 25 + 75 : 25 = 200\;000 + 500 + 3 = 200\;503$.
Проверка умножением: $200\;503 \cdot 25 = (200\;000 + 500 + 3) \cdot 25 = 200\;000 \cdot 25 + 500 \cdot 25 + 3 \cdot 25 = 5\;000\;000 + 12\;500 + 75 = 5\;012\;575$.
Ответ: $200\;503$

ж) $45\;030\;015 : 15$
Представим делимое $45\;030\;015$ в виде суммы слагаемых, кратных $15$: $45\;030\;015 = 45\;000\;000 + 30\;000 + 15$.
Выполним деление: $(45\;000\;000 + 30\;000 + 15) : 15 = 45\;000\;000 : 15 + 30\;000 : 15 + 15 : 15 = 3\;000\;000 + 2\;000 + 1 = 3\;002\;001$.
Проверка умножением: $3\;002\;001 \cdot 15 = (3\;000\;000 + 2\;000 + 1) \cdot 15 = 3\;000\;000 \cdot 15 + 2\;000 \cdot 15 + 1 \cdot 15 = 45\;000\;000 + 30\;000 + 15 = 45\;030\;015$.
Ответ: $3\;002\;001$

з) $900\;900\;180 : 18$
Представим делимое $900\;900\;180$ в виде суммы слагаемых, кратных $18$: $900\;900\;180 = 900\;000\;000 + 900\;000 + 180$.
Выполним деление: $(900\;000\;000 + 900\;000 + 180) : 18 = 900\;000\;000 : 18 + 900\;000 : 18 + 180 : 18 = 50\;000\;000 + 50\;000 + 10 = 50\;050\;010$.
Проверка умножением: $50\;050\;010 \cdot 18 = (50\;000\;000 + 50\;000 + 10) \cdot 18 = 50\;000\;000 \cdot 18 + 50\;000 \cdot 18 + 10 \cdot 18 = 900\;000\;000 + 900\;000 + 180 = 900\;900\;180$.
Ответ: $50\;050\;010$

и) $175\;105\;280 : 35$
Представим делимое $175\;105\;280$ в виде суммы слагаемых, кратных $35$: $175\;105\;280 = 175\;000\;000 + 105\;000 + 280$.
Выполним деление: $(175\;000\;000 + 105\;000 + 280) : 35 = 175\;000\;000 : 35 + 105\;000 : 35 + 280 : 35 = 5\;000\;000 + 3\;000 + 8 = 5\;003\;008$.
Проверка умножением: $5\;003\;008 \cdot 35 = (5\;000\;000 + 3\;000 + 8) \cdot 35 = 5\;000\;000 \cdot 35 + 3\;000 \cdot 35 + 8 \cdot 35 = 175\;000\;000 + 105\;000 + 280 = 175\;105\;280$.
Ответ: $5\;003\;008$

213 Составьте пример на деление так, чтобы:

а) делитель и частное были двузначными числами;

б) делитель был трёхзначным числом, а частное — двузначным;

в) делитель и частное были трёхзначными числами.

а) Чтобы составить пример, в котором делитель и частное являются двузначными числами, нужно выбрать два любых двузначных числа (от 10 до 99) и перемножить их. Результат умножения будет делимым, а выбранные числа — делителем и частным.

Например, выберем в качестве делителя число 15, а в качестве частного — число 30. Оба числа являются двузначными.

Теперь найдем делимое, умножив делитель на частное:

$15 \times 30 = 450$

Таким образом, мы получаем пример на деление, который удовлетворяет условию:

$450 : 15 = 30$

Здесь делитель (15) и частное (30) — двузначные числа.

Ответ: $450 : 15 = 30$.

б) Чтобы составить пример, в котором делитель является трёхзначным числом, а частное — двузначным, нужно выбрать любое трёхзначное число (от 100 до 999) в качестве делителя и любое двузначное число (от 10 до 99) в качестве частного. Их произведение будет делимым.

Например, пусть делитель равен 120 (трёхзначное число), а частное — 25 (двузначное число).

Найдем делимое:

$120 \times 25 = 3000$

Получаем следующий пример на деление:

$3000 : 120 = 25$

Здесь делитель (120) — трёхзначное число, а частное (25) — двузначное.

Ответ: $3000 : 120 = 25$.

в) Чтобы составить пример, в котором и делитель, и частное являются трёхзначными числами, нужно выбрать два любых трёхзначных числа (от 100 до 999) и найти их произведение, которое станет делимым.

Например, возьмём в качестве делителя число 200, а в качестве частного — число 450. Оба числа — трёхзначные.

Найдем делимое:

$200 \times 450 = 90000$

Пример на деление, удовлетворяющий условию:

$90000 : 200 = 450$

Здесь и делитель (200), и частное (450) — трёхзначные числа.

Ответ: $90000 : 200 = 450$.

214 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Найдите:

a) три предыдущих числа в последовательности ..., 32, 64, 128;

б) три предыдущих и три следующих числа в последовательности ..., 112, 224, 448, ....

а) три предыдущих числа в последовательности ..., 32, 64, 128;

Чтобы найти закономерность в последовательности, рассмотрим отношение между соседними числами:
$64 / 32 = 2$
$128 / 64 = 2$
Мы видим, что каждое следующее число в последовательности в 2 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$.
Чтобы найти предыдущие числа, нужно выполнить обратное действие, то есть деление на 2.
Первое предыдущее число (перед 32): $32 / 2 = 16$.
Второе предыдущее число (перед 16): $16 / 2 = 8$.
Третье предыдущее число (перед 8): $8 / 2 = 4$.
Таким образом, три предыдущих числа это 4, 8 и 16.

Ответ: 4, 8, 16.

б) три предыдущих и три следующих числа в последовательности ..., 112, 224, 448, ...

Аналогично предыдущему пункту, найдем закономерность:
$224 / 112 = 2$
$448 / 224 = 2$
Каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего.
Найдем три предыдущих числа (делением на 2):
Первое предыдущее число: $112 / 2 = 56$.
Второе предыдущее число: $56 / 2 = 28$.
Третье предыдущее число: $28 / 2 = 14$.
Итак, предыдущие числа: 14, 28, 56.
Найдем три следующих числа (умножением на 2):
Первое следующее число: $448 * 2 = 896$.
Второе следующее число: $896 * 2 = 1792$.
Третье следующее число: $1792 * 2 = 3584$.
Итак, следующие числа: 896, 1792, 3584.

Ответ: три предыдущих числа: 14, 28, 56; три следующих числа: 896, 1792, 3584.

215 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что вам поручено купить для участников школьного праздника шоколадки массой 50 г. В центре оптовой торговли продаются упаковки таких шоколадок, при этом цена одной плитки зависит от массы упаковки:

16 р. за плитку при покупке меньше 500 г шоколада;

14 р. за плитку при покупке от 500 г шоколада, но меньше 1300 г;

12 р. за плитку при покупке от 1300 г шоколада и больше.

Заполните таблицу, в которой будет указана стоимость различных упаковок, продающихся в центре оптовой торговли.

Масса упаковки, г 100 300 500 700 900 1100 1300 1500

Количество шоколадок 2 6 10 14 18 22 26 30

Стоимость упаковки, р. 32 96 140 196 252 308 312 360

Рассчитайте наиболее выгодную стоимость покупки, если в празднике будет участвовать 60 человек.

Для решения задачи воспользуемся предоставленными условиями:

• Масса одной шоколадки: 50 г.
• Цена 16 р. за плитку при покупке общей массой менее 500 г.
• Цена 14 р. за плитку при покупке общей массой от 500 г до 1300 г (не включая 1300 г).
• Цена 12 р. за плитку при покупке общей массой 1300 г и больше.

Заполните таблицу, в которой будет указана стоимость различных упаковок, продающихся в центре оптовой торговли.

Чтобы заполнить таблицу, для каждой массы упаковки нужно выполнить два действия:

1. Найти количество шоколадок, разделив массу упаковки на массу одной шоколадки (50 г).
2. Определить цену за одну шоколадку в зависимости от массы упаковки и умножить на количество шоколадок.

• Масса 100 г:
  Количество: $100 \div 50 = 2$ шт.
  Цена (т.к. 100 г < 500 г): 16 р./шт.
  Стоимость: $2 \times 16 = 32$ р.
• Масса 300 г:
  Количество: $300 \div 50 = 6$ шт.
  Цена (т.к. 300 г < 500 г): 16 р./шт.
  Стоимость: $6 \times 16 = 96$ р.
• Масса 500 г:
  Количество: $500 \div 50 = 10$ шт.
  Цена (т.к. 500 г $\ge$ 500 г и < 1300 г): 14 р./шт.
  Стоимость: $10 \times 14 = 140$ р.
• Масса 700 г:
  Количество: $700 \div 50 = 14$ шт.
  Цена (т.к. 700 г $\ge$ 500 г и < 1300 г): 14 р./шт.
  Стоимость: $14 \times 14 = 196$ р.
• Масса 900 г:
  Количество: $900 \div 50 = 18$ шт.
  Цена (т.к. 900 г $\ge$ 500 г и < 1300 г): 14 р./шт.
  Стоимость: $18 \times 14 = 252$ р.
• Масса 1100 г:
  Количество: $1100 \div 50 = 22$ шт.
  Цена (т.к. 1100 г $\ge$ 500 г и < 1300 г): 14 р./шт.
  Стоимость: $22 \times 14 = 308$ р.
• Масса 1300 г:
  Количество: $1300 \div 50 = 26$ шт.
  Цена (т.к. 1300 г $\ge$ 1300 г): 12 р./шт.
  Стоимость: $26 \times 12 = 312$ р.
• Масса 1500 г:
  Количество: $1500 \div 50 = 30$ шт.
  Цена (т.к. 1500 г $\ge$ 1300 г): 12 р./шт.
  Стоимость: $30 \times 12 = 360$ р.

Ответ:

Рассчитайте наиболее выгодную стоимость покупки, если в празднике будет участвовать 60 человек.

1. Сначала определим, сколько всего шоколадок нужно купить. По условию, в празднике участвует 60 человек, значит, нужно купить 60 шоколадок.

2. Далее рассчитаем общую массу всей покупки, чтобы определить цену за одну плитку.

$60 \text{ шоколадок} \times 50 \text{ г/шоколадка} = 3000 \text{ г}$

3. Общая масса покупки (3000 г) больше 1300 г. Согласно условиям, при покупке массой 1300 г и больше, цена за одну плитку составляет 12 рублей.

4. Теперь рассчитаем итоговую стоимость всей покупки.

$60 \text{ шоколадок} \times 12 \text{ р./шоколадка} = 720 \text{ р.}$

Это и есть наиболее выгодная стоимость, так как мы покупаем необходимое количество шоколадок по самой низкой возможной оптовой цене.

Ответ: 720 р.