Страница 56 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

189 Вычислите:

а) $25 \cdot 6341;$

б) $99900 : 450;$

в) $4415 \cdot 132;$

г) $6936 : 102;$

д) $50800 : 25;$

е) $1540 \cdot 602.$

а) Чтобы найти произведение $25 \cdot 6341$, воспользуемся удобным свойством числа 25, представив его как $100 : 4$.

$25 \cdot 6341 = (100 : 4) \cdot 6341 = (100 \cdot 6341) : 4 = 634100 : 4$

Теперь выполним деление:

$634100 : 4 = 158525$

Ответ: 158525

б) Для вычисления $99900 : 450$ можно сначала упростить выражение, разделив и делимое, и делитель на 10.

$99900 : 450 = 9990 : 45$

Выполним деление столбиком:

Первый шаг: $99 : 45 = 2$ (остаток $99 - 45 \cdot 2 = 9$).

Второй шаг: сносим следующую цифру (9), получаем 99. $99 : 45 = 2$ (остаток $99 - 45 \cdot 2 = 9$).

Третий шаг: сносим последнюю цифру (0), получаем 90. $90 : 45 = 2$ (остаток 0).

Соединив цифры частного, получаем 222.

Ответ: 222

в) Чтобы вычислить $4415 \cdot 132$, применим распределительный закон умножения, представив 132 как сумму разрядных слагаемых $(100 + 30 + 2)$.

$4415 \cdot 132 = 4415 \cdot (100 + 30 + 2) = 4415 \cdot 100 + 4415 \cdot 30 + 4415 \cdot 2$

Вычислим каждое слагаемое:

$4415 \cdot 2 = 8830$

$4415 \cdot 30 = 132450$

$4415 \cdot 100 = 441500$

Теперь сложим полученные значения:

$8830 + 132450 + 441500 = 582780$

Ответ: 582780

г) Для вычисления частного $6936 : 102$ выполним деление столбиком.

Первый шаг: определим, сколько раз 102 содержится в 693. $102 \cdot 6 = 612$. Это ближайшее меньшее произведение. Частное - 6, остаток $693 - 612 = 81$.

Второй шаг: сносим следующую цифру (6), получаем 816. Определим, сколько раз 102 содержится в 816. $102 \cdot 8 = 816$. Частное - 8, остаток $816 - 816 = 0$.

Соединив цифры частного, получаем 68.

Ответ: 68

д) Чтобы найти частное $50800 : 25$, воспользуемся тем же свойством, что и в пункте а): деление на 25 эквивалентно умножению на 4 и делению на 100.

$50800 : 25 = 50800 : (100 : 4) = (50800 \cdot 4) : 100$

Вычислим произведение в скобках:

$50800 \cdot 4 = 203200$

Теперь выполним деление:

$203200 : 100 = 2032$

Ответ: 2032

е) Для вычисления произведения $1540 \cdot 602$ представим 602 как сумму $600 + 2$ и воспользуемся распределительным свойством.

$1540 \cdot 602 = 1540 \cdot (600 + 2) = 1540 \cdot 600 + 1540 \cdot 2$

Вычислим каждое слагаемое отдельно:

$1540 \cdot 2 = 3080$

$1540 \cdot 600 = 924000$

Сложим полученные результаты:

$924000 + 3080 = 927080$

Ответ: 927080

190 Определите, во сколько раз:

а) число 378 200 больше числа 1525;

б) число 1173 меньше числа 238 119;

в) число 441 559 больше числа 109;

г) число 306 меньше числа 674 730.

а) Чтобы определить, во сколько раз число 378 200 больше числа 1525, нужно разделить большее число на меньшее:
$378200 / 1525 = 248$
Ответ: в 248 раз.

б) Чтобы определить, во сколько раз число 1173 меньше числа 238 119, нужно разделить большее число на меньшее:
$238119 / 1173 = 203$
Ответ: в 203 раза.

в) Чтобы определить, во сколько раз число 441 559 больше числа 109, нужно разделить большее число на меньшее:
$441559 / 109 = 4051$
Ответ: в 4051 раз.

г) Чтобы определить, во сколько раз число 306 меньше числа 674 730, нужно разделить большее число на меньшее:
$674730 / 306 = 2205$
Ответ: в 2205 раз.

191 Запишите последовательность из шести чисел, если:

a) первое число равно 9, а каждое следующее в 5 раз больше предыдущего;

б) первое число равно 192, а каждое следующее в 2 раза меньше предыдущего;

в) первое число равно 2, второе равно 3, а каждое следующее равно произведению двух предыдущих.

а)

По условию, первый член последовательности $a_1 = 9$, а каждый следующий в 5 раз больше предыдущего. Это означает, что мы имеем дело с геометрической прогрессией со знаменателем $q = 5$. Найдем шесть членов этой последовательности, последовательно умножая предыдущий член на 5:
Первый член: $a_1 = 9$
Второй член: $a_2 = 9 \cdot 5 = 45$
Третий член: $a_3 = 45 \cdot 5 = 225$
Четвертый член: $a_4 = 225 \cdot 5 = 1125$
Пятый член: $a_5 = 1125 \cdot 5 = 5625$
Шестой член: $a_6 = 5625 \cdot 5 = 28125$
Искомая последовательность: 9, 45, 225, 1125, 5625, 28125.

Ответ: 9, 45, 225, 1125, 5625, 28125.

б)

По условию, первый член последовательности $b_1 = 192$, а каждый следующий в 2 раза меньше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Найдем шесть членов этой последовательности, последовательно деля предыдущий член на 2:
Первый член: $b_1 = 192$
Второй член: $b_2 = 192 : 2 = 96$
Третий член: $b_3 = 96 : 2 = 48$
Четвертый член: $b_4 = 48 : 2 = 24$
Пятый член: $b_5 = 24 : 2 = 12$
Шестой член: $b_6 = 12 : 2 = 6$
Искомая последовательность: 192, 96, 48, 24, 12, 6.

Ответ: 192, 96, 48, 24, 12, 6.

в)

По условию, первый член последовательности $c_1 = 2$, второй член $c_2 = 3$, а каждый следующий равен произведению двух предыдущих. Найдем шесть членов этой последовательности, используя рекуррентную формулу $c_n = c_{n-1} \cdot c_{n-2}$:
Первый член: $c_1 = 2$
Второй член: $c_2 = 3$
Третий член: $c_3 = c_1 \cdot c_2 = 2 \cdot 3 = 6$
Четвертый член: $c_4 = c_2 \cdot c_3 = 3 \cdot 6 = 18$
Пятый член: $c_5 = c_3 \cdot c_4 = 6 \cdot 18 = 108$
Шестой член: $c_6 = c_4 \cdot c_5 = 18 \cdot 108 = 1944$
Искомая последовательность: 2, 3, 6, 18, 108, 1944.

Ответ: 2, 3, 6, 18, 108, 1944.

192 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Назовите три следующих числа последовательности:

а) $1, 5, 25, \dots$;

б) $729, 243, 81, \dots$

а) Для последовательности 1, 5, 25, ... найдем закономерность. Каждый следующий член последовательности получается путем умножения предыдущего на число 5.
$1 \cdot 5 = 5$
$5 \cdot 5 = 25$
Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=5$. Чтобы найти следующие три члена, необходимо продолжить умножение на 5:
Четвертый член: $25 \cdot 5 = 125$.
Пятый член: $125 \cdot 5 = 625$.
Шестой член: $625 \cdot 5 = 3125$.
Ответ: 125, 625, 3125.

б) Для последовательности 729, 243, 81, ... найдем закономерность. Каждый следующий член последовательности получается путем деления предыдущего на число 3.
$729 \div 3 = 243$
$243 \div 3 = 81$
Эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Чтобы найти следующие три члена, необходимо продолжить деление на 3:
Четвертый член: $81 \div 3 = 27$.
Пятый член: $27 \div 3 = 9$.
Шестой член: $9 \div 3 = 3$.
Ответ: 27, 9, 3.

193 а) Сколько килограммов в 105 т? в 12 т 350 кг? в 4 ц 15 кг?

б) Сколько граммов в 20 кг? в 3 кг 120 г? в 2 ц 30 кг?

а)

Для перевода указанных величин в килограммы, воспользуемся следующими соотношениями единиц массы:

• 1 тонна (т) = 1000 килограмм (кг)
• 1 центнер (ц) = 100 килограмм (кг)

Сколько килограммов в 105 т?
Чтобы перевести тонны в килограммы, умножаем количество тонн на 1000.
$105 \text{ т} = 105 \times 1000 \text{ кг} = 105000 \text{ кг}$.
Ответ: 105 000 кг.

Сколько килограммов в 12 т 350 кг?
Сначала переводим тонны в килограммы, а затем прибавляем оставшиеся килограммы.
$12 \text{ т} = 12 \times 1000 \text{ кг} = 12000 \text{ кг}$.
$12000 \text{ кг} + 350 \text{ кг} = 12350 \text{ кг}$.
Ответ: 12 350 кг.

Сколько килограммов в 4 ц 15 кг?
Сначала переводим центнеры в килограммы, а затем прибавляем оставшиеся килограммы.
$4 \text{ ц} = 4 \times 100 \text{ кг} = 400 \text{ кг}$.
$400 \text{ кг} + 15 \text{ кг} = 415 \text{ кг}$.
Ответ: 415 кг.

б)

Для перевода указанных величин в граммы, воспользуемся следующими соотношениями единиц массы:

• 1 килограмм (кг) = 1000 грамм (г)
• 1 центнер (ц) = 100 килограмм (кг)

Сколько граммов в 20 кг?
Чтобы перевести килограммы в граммы, умножаем количество килограммов на 1000.
$20 \text{ кг} = 20 \times 1000 \text{ г} = 20000 \text{ г}$.
Ответ: 20 000 г.

Сколько граммов в 3 кг 120 г?
Сначала переводим килограммы в граммы, а затем прибавляем оставшиеся граммы.
$3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$.
$3000 \text{ г} + 120 \text{ г} = 3120 \text{ г}$.
Ответ: 3120 г.

Сколько граммов в 2 ц 30 кг?
Сначала переведем всю массу в килограммы, а затем полученное значение переведем в граммы.
$2 \text{ ц} 30 \text{ кг} = (2 \times 100) \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 200 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 230 \text{ кг}$.
Теперь переводим 230 кг в граммы:
$230 \text{ кг} = 230 \times 1000 \text{ г} = 230000 \text{ г}$.
Ответ: 230 000 г.

194 а) Сколько минут в 15 ч? в 10 ч 24 мин? в 3 сут?

б) Сколько секунд в 30 мин? в 3 ч? в 2 ч 12 мин?

а)

Чтобы найти, сколько минут в 15 часах, необходимо умножить количество часов на 60, так как в 1 часе 60 минут.
$15 \text{ ч} = 15 \times 60 \text{ мин} = 900 \text{ мин}$.
Ответ: 900 минут.

Чтобы найти, сколько минут в 10 часах 24 минутах, нужно перевести часы в минуты и прибавить к ним оставшиеся минуты.
$10 \text{ ч} = 10 \times 60 \text{ мин} = 600 \text{ мин}$.
$600 \text{ мин} + 24 \text{ мин} = 624 \text{ мин}$.
Ответ: 624 минуты.

Чтобы найти, сколько минут в 3 сутках, нужно сначала перевести сутки в часы, а затем часы в минуты. В 1 сутках 24 часа, а в 1 часе 60 минут.
$3 \text{ сут} = 3 \times 24 \text{ ч} = 72 \text{ ч}$.
$72 \text{ ч} = 72 \times 60 \text{ мин} = 4320 \text{ мин}$.
Ответ: 4320 минут.

б)

Чтобы найти, сколько секунд в 30 минутах, необходимо умножить количество минут на 60, так как в 1 минуте 60 секунд.
$30 \text{ мин} = 30 \times 60 \text{ с} = 1800 \text{ с}$.
Ответ: 1800 секунд.

Чтобы найти, сколько секунд в 3 часах, необходимо умножить количество часов на 3600, так как в 1 часе $60 \times 60 = 3600$ секунд.
$3 \text{ ч} = 3 \times 3600 \text{ с} = 10800 \text{ с}$.
Ответ: 10800 секунд.

Чтобы найти, сколько секунд в 2 часах 12 минутах, нужно перевести часы и минуты в секунды по отдельности, а затем сложить полученные значения.
$2 \text{ ч} = 2 \times 3600 \text{ с} = 7200 \text{ с}$.
$12 \text{ мин} = 12 \times 60 \text{ с} = 720 \text{ с}$.
$7200 \text{ с} + 720 \text{ с} = 7920 \text{ с}$.
Ответ: 7920 секунд.

195 а) Что больше: 5 км или 500 м? Во сколько раз?

б) Что меньше: 3 ч или 90 мин? Во сколько раз?

а)

Чтобы сравнить 5 км и 500 м, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем километры в метры, зная, что в одном километре 1000 метров.

$5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$

Теперь сравним полученные значения:

$5000 \text{ м} > 500 \text{ м}$, следовательно, 5 км больше, чем 500 м.

Чтобы определить, во сколько раз 5 км больше 500 м, нужно разделить большее значение на меньшее:

$5000 \div 500 = 10$

Ответ: 5 км больше, чем 500 м, в 10 раз.

б)

Чтобы сравнить 3 ч и 90 мин, приведем их к одной единице измерения. Переведем часы в минуты, зная, что в одном часе 60 минут.

$3 \text{ ч} = 3 \times 60 \text{ мин} = 180 \text{ мин}$

Теперь сравним полученные значения:

$90 \text{ мин} < 180 \text{ мин}$, следовательно, 90 мин меньше, чем 3 ч.

Чтобы определить, во сколько раз 90 мин меньше 3 ч, нужно разделить большее значение на меньшее:

$180 \div 90 = 2$

Ответ: 90 мин меньше, чем 3 ч, в 2 раза.

196 Заполните таблицу:

$a$ 8 18 24 66 72 0 75

$b$ 4 3 7 25 1

$a \cdot b$ 144 245

$a : b$ 6 9

Для заполнения таблицы необходимо выполнить вычисления для каждого столбца, используя предоставленные значения $a$ и $b$.

Столбец 1

Даны значения $a = 8$ и $b = 4$.

1. Находим произведение $a \cdot b$:
$a \cdot b = 8 \cdot 4 = 32$

2. Находим частное $a : b$:
$a : b = 8 : 4 = 2$

Ответ: $a \cdot b = 32$, $a : b = 2$.

Столбец 2

Даны значения $a = 18$ и $b = 3$.

1. Находим произведение $a \cdot b$:
$a \cdot b = 18 \cdot 3 = 54$

2. Находим частное $a : b$:
$a : b = 18 : 3 = 6$

Ответ: $a \cdot b = 54$, $a : b = 6$.

Столбец 3

Даны значения $a = 24$ и $a \cdot b = 144$.

1. Чтобы найти $b$, нужно произведение разделить на известный множитель $a$:
$b = (a \cdot b) : a = 144 : 24 = 6$

2. Теперь, зная $b=6$, находим частное $a : b$:
$a : b = 24 : 6 = 4$

Ответ: $b = 6$, $a : b = 4$.

Столбец 4

Даны значения $b = 7$ и $a \cdot b = 245$.

1. Чтобы найти $a$, нужно произведение разделить на известный множитель $b$:
$a = (a \cdot b) : b = 245 : 7 = 35$

2. Теперь, зная $a=35$, находим частное $a : b$:
$a : b = 35 : 7 = 5$

Ответ: $a = 35$, $a : b = 5$.

Столбец 5

Даны значения $a = 66$ и $a : b = 6$.

1. Чтобы найти делитель $b$, нужно делимое $a$ разделить на частное:
$b = a : (a : b) = 66 : 6 = 11$

2. Теперь, зная $b=11$, находим произведение $a \cdot b$:
$a \cdot b = 66 \cdot 11 = 726$

Ответ: $b = 11$, $a \cdot b = 726$.

Столбец 6

Даны значения $a = 72$ и $a : b = 9$.

1. Чтобы найти делитель $b$, нужно делимое $a$ разделить на частное:
$b = a : (a : b) = 72 : 9 = 8$

2. Теперь, зная $b=8$, находим произведение $a \cdot b$:
$a \cdot b = 72 \cdot 8 = 576$

Ответ: $b = 8$, $a \cdot b = 576$.

Столбец 7

Даны значения $a = 0$ и $b = 25$.

1. Находим произведение $a \cdot b$. Произведение любого числа на ноль равно нулю:
$a \cdot b = 0 \cdot 25 = 0$

2. Находим частное $a : b$. Частное от деления нуля на любое число (кроме нуля) равно нулю:
$a : b = 0 : 25 = 0$

Ответ: $a \cdot b = 0$, $a : b = 0$.

Столбец 8

Даны значения $a = 75$ и $b = 1$.

1. Находим произведение $a \cdot b$ (при умножении на 1 число не меняется):
$a \cdot b = 75 \cdot 1 = 75$

2. Находим частное $a : b$ (при делении на 1 число не меняется):
$a : b = 75 : 1 = 75$

Ответ: $a \cdot b = 75$, $a : b = 75$.

Итоговая заполненная таблица:

197 Известно, что $1524 \cdot 356 = 542544$. Используя это равенство, найдите значения выражений $542544 : 356$ и $542544 : 1524$. Объясните, как вы рассуждали.

Данное равенство $1524 \cdot 356 = 542544$ представляет собой произведение двух множителей. Числа $1524$ и $356$ являются множителями, а $542544$ — их произведением.

Деление является действием, обратным умножению. Это означает, что если произведение разделить на один из множителей, то в результате получится другой множитель. На основе этого правила мы можем найти значения заданных выражений, не выполняя деление в столбик.

542 544 : 356

В этом выражении мы делим произведение ($542544$) на один из множителей ($356$). Согласно правилу, результатом должен быть второй множитель из исходного равенства.

Следовательно: $542544 : 356 = 1524$.

Ответ: 1524.

542 544 : 1524

Аналогично, в этом выражении мы делим то же самое произведение ($542544$) на второй множитель ($1524$). В результате мы должны получить первый множитель.

Следовательно: $542544 : 1524 = 356$.

Ответ: 356.

198 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Проверьте с помощью умножения, верно ли равенство.

1) $23550 : 75 = 314.$

2) $52208 : 104 = 502.$

3) $512052 : 852 = 601.$

4) $213060 : 212 = 1005.$

1) Чтобы проверить равенство $23550 : 75 = 314$, необходимо выполнить проверку умножением. Для этого умножим частное, равное $314$, на делитель $75$.

$314 \times 75 = 23550$

Результат умножения $23550$ совпадает с делимым. Следовательно, равенство верное.

Ответ: Верно.

2) Чтобы проверить равенство $52208 : 104 = 502$, необходимо выполнить проверку умножением. Для этого умножим частное, равное $502$, на делитель $104$.

$502 \times 104 = 52208$

Результат умножения $52208$ совпадает с делимым. Следовательно, равенство верное.

Ответ: Верно.

3) Чтобы проверить равенство $512052 : 852 = 601$, необходимо выполнить проверку умножением. Для этого умножим частное, равное $601$, на делитель $852$.

$601 \times 852 = 512052$

Результат умножения $512052$ совпадает с делимым. Следовательно, равенство верное.

Ответ: Верно.

4) Чтобы проверить равенство $213060 : 212 = 1005$, необходимо выполнить проверку умножением. Для этого умножим частное, равное $1005$, на делитель $212$.

$1005 \times 212 = 213060$

Результат умножения $213060$ совпадает с делимым. Следовательно, равенство верное.

Ответ: Верно.

199 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Расскажите, как найти неизвестные мно- житель, делимое, делитель, и найдите неизвестный компонент действия:

а) $18 \cdot x = 450$;

б) $b \cdot 23 = 2346$;

в) $44 \cdot d = 24200$;

г) $1190 : c = 34$;

д) $b : 17 = 201$;

е) $1881 : k = 19$;

ж) $25 \cdot x = 20200$;

з) $21840 : d = 52$;

и) $30 \cdot b = 23310$.

Для нахождения неизвестных компонентов арифметических действий существуют следующие правила:
- Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
- Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
- Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

а) $18 \cdot x = 450$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение $450$ на известный множитель $18$.
$x = 450 : 18$
$x = 25$
Ответ: $25$.

б) $b \cdot 23 = 2346$
Чтобы найти неизвестный множитель $b$, разделим произведение $2346$ на известный множитель $23$.
$b = 2346 : 23$
$b = 102$
Ответ: $102$.

в) $44 \cdot d = 24 200$
Чтобы найти неизвестный множитель $d$, разделим произведение $24 200$ на известный множитель $44$.
$d = 24 200 : 44$
$d = 550$
Ответ: $550$.

г) $1190 : c = 34$
Чтобы найти неизвестный делитель $c$, разделим делимое $1190$ на частное $34$.
$c = 1190 : 34$
$c = 35$
Ответ: $35$.

д) $b : 17 = 201$
Чтобы найти неизвестное делимое $b$, умножим частное $201$ на делитель $17$.
$b = 201 \cdot 17$
$b = 3417$
Ответ: $3417$.

е) $1881 : k = 19$
Чтобы найти неизвестный делитель $k$, разделим делимое $1881$ на частное $19$.
$k = 1881 : 19$
$k = 99$
Ответ: $99$.

ж) $25 \cdot x = 20 200$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение $20 200$ на известный множитель $25$.
$x = 20 200 : 25$
$x = 808$
Ответ: $808$.

з) $21 840 : d = 52$
Чтобы найти неизвестный делитель $d$, разделим делимое $21 840$ на частное $52$.
$d = 21 840 : 52$
$d = 420$
Ответ: $420$.

и) $30 \cdot b = 23 310$
Чтобы найти неизвестный множитель $b$, разделим произведение $23 310$ на известный множитель $30$.
$b = 23 310 : 30$
$b = 777$
Ответ: $777$.