Страница 53 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

176 Представьте число 2375:

а) в виде суммы двух четырёхзначных чисел;

б) в виде суммы трёх трёхзначных чисел.

а) в виде суммы двух четырёхзначных чисел;
Чтобы представить число 2375 в виде суммы двух четырёхзначных чисел, нужно найти два числа, каждое из которых находится в диапазоне от 1000 до 9999, и их сумма равна 2375.
Возьмём в качестве первого слагаемого наименьшее возможное четырёхзначное число — 1000.
Тогда второе слагаемое можно найти, вычтя первое из заданной суммы:
$2375 - 1000 = 1375$
Число 1375 также является четырёхзначным, поэтому это пара чисел нам подходит.
Проверим сложением: $1000 + 1375 = 2375$. Условие выполнено.
Ответ: $1000 + 1375 = 2375$.

б) в виде суммы трёх трёхзначных чисел.
Чтобы представить число 2375 в виде суммы трёх трёхзначных чисел, нужно найти три числа, каждое из которых находится в диапазоне от 100 до 999, и их сумма равна 2375.
Подберём два произвольных трёхзначных числа, например, 900 и 800. Найдём их сумму:
$900 + 800 = 1700$
Теперь найдём третье число, вычтя полученную сумму из 2375:
$2375 - 1700 = 675$
Число 675 является трёхзначным. Таким образом, мы нашли три подходящих числа: 900, 800 и 675.
Проверим сложением: $900 + 800 + 675 = 1700 + 675 = 2375$. Условие выполнено.
Ответ: $900 + 800 + 675 = 2375$.

177 Найдите:

а) сумму наибольшего четырёхзначного числа и наибольшего пятизначного числа;

б) сумму наименьшего четырёхзначного числа и наибольшего шестизначного числа;

в) разность наименьшего шестизначного числа и наибольшего трёхзначного числа.

а) Для того чтобы найти сумму наибольшего четырёхзначного числа и наибольшего пятизначного числа, сначала определим эти числа.

Наибольшее четырёхзначное число — это $9999$.

Наибольшее пятизначное число — это $99999$.

Теперь найдём их сумму:

$9999 + 99999 = 109998$

Ответ: $109998$

б) Для того чтобы найти сумму наименьшего четырёхзначного числа и наибольшего шестизначного числа, определим эти числа.

Наименьшее четырёхзначное число — это $1000$.

Наибольшее шестизначное число — это $999999$.

Теперь найдём их сумму:

$1000 + 999999 = 1000999$

Ответ: $1000999$

в) Для того чтобы найти разность наименьшего шестизначного числа и наибольшего трёхзначного числа, определим эти числа.

Наименьшее шестизначное число — это $100000$.

Наибольшее трёхзначное число — это $999$.

Теперь найдём их разность:

$100000 - 999 = 99001$

Ответ: $99001$

178 Найдите разность между наибольшим и наименьшим пятизначными числами, каждое из которых записано с помощью трёх цифр: 1, 2 и 3.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить наибольшее и наименьшее пятизначные числа, которые можно составить с использованием цифр 1, 2 и 3, при условии, что каждая из этих трех цифр должна быть использована хотя бы один раз.

Чтобы составить наибольшее пятизначное число, нужно в старших разрядах (слева направо) ставить наибольшие возможные цифры. Самая большая из доступных цифр — 3. Так как число пятизначное, а использовать нужно все три цифры (1, 2, 3), то для максимизации числа мы должны использовать как можно больше цифр 3. Оставим по одному месту для обязательных цифр 1 и 2. Остальные три места заполним тройками. Таким образом, у нас есть набор цифр: 3, 3, 3, 2, 1. Чтобы число было наибольшим, расположим эти цифры в порядке убывания: 33321.

Чтобы составить наименьшее пятизначное число, нужно в старших разрядах ставить наименьшие возможные цифры. Самая маленькая из доступных цифр — 1. По аналогии с предыдущим шагом, для минимизации числа мы должны использовать как можно больше цифр 1. Оставим по одному месту для обязательных цифр 2 и 3. Остальные три места заполним единицами. Таким образом, у нас есть набор цифр: 1, 1, 1, 2, 3. Чтобы число было наименьшим, расположим эти цифры в порядке возрастания: 11123.

Теперь найдем разность между полученными числами:

$33321 - 11123 = 22198$

Ответ: 22198

179 НАБЛЮДАЕМ И ДЕЛАЕМ ВЫВОДЫ

1) Запишите какие-нибудь два натуральных числа, сумма которых равна 15. Сколько всего существует таких пар чисел?

2) Запишите какие-нибудь два натуральных числа, разность которых равна 15. Сколько всего таких пар чисел можно найти?

1) Чтобы найти два натуральных числа, сумма которых равна 15, мы можем обозначить их как $a$ и $b$. Условие можно записать в виде уравнения: $a + b = 15$. Натуральные числа — это числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...).
Возьмем в качестве примера два числа: 7 и 8. Их сумма $7 + 8 = 15$. Оба числа являются натуральными. Другой пример: 1 и 14, их сумма $1 + 14 = 15$.

Теперь найдем, сколько всего существует таких пар. Мы можем систематически перечислить все возможные варианты. Будем считать, что порядок чисел в паре не важен (т.е. пара 7 и 8 — это то же самое, что 8 и 7).

• 1 + 14 = 15
• 2 + 13 = 15
• 3 + 12 = 15
• 4 + 11 = 15
• 5 + 10 = 15
• 6 + 9 = 15
• 7 + 8 = 15

Если мы продолжим, то получим $8 + 7 = 15$, что является той же парой чисел, что и последняя. Таким образом, мы перечислили все уникальные пары. Всего их 7.
Ответ: например, 7 и 8. Всего существует 7 таких пар.

2) Нам нужно найти два натуральных числа, разность которых равна 15. Обозначим эти числа как $a$ и $b$. Условие можно записать как $a - b = 15$.
В качестве примера возьмем любое натуральное число для $b$, например, $b=1$. Тогда $a = 15 + b = 15 + 1 = 16$. Пара чисел 16 и 1 подходит, так как $16 - 1 = 15$. Другой пример: если взять $b=10$, то $a = 15 + 10 = 25$. Пара 25 и 10 также подходит, так как $25 - 10 = 15$.

Теперь определим, сколько всего таких пар можно найти. Из уравнения $a = 15 + b$ видно, что для любого натурального числа $b$, которое мы выберем, мы всегда получим соответствующее натуральное число $a$, которое будет на 15 больше. Поскольку множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, 4, ...\}$ бесконечно, мы можем выбрать бесконечно много значений для $b$. Каждому выбору $b$ будет соответствовать уникальная пара чисел.

• Если $b=1$, то $a=16$.
• Если $b=2$, то $a=17$.
• Если $b=100$, то $a=115$.
• ...и так далее.

Этот процесс можно продолжать бесконечно. Следовательно, существует бесконечно много таких пар.
Ответ: например, 16 и 1. Таких пар можно найти бесконечно много.

180 Восстановите три предыдущих и три последующих числа в последовательности:

а) ..., 30, 35, 40, ...;

б) ..., 70, 61, 52, ....

а)

Проанализируем данную последовательность чисел: ..., 30, 35, 40, ... . Найдем закономерность, вычислив разность между соседними известными членами:
$35 - 30 = 5$
$40 - 35 = 5$
Закономерность заключается в том, что каждое следующее число в последовательности на 5 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 5$.

Чтобы найти три последующих числа, необходимо к последнему известному числу (40) трижды последовательно прибавить 5:
Первое последующее число: $40 + 5 = 45$
Второе последующее число: $45 + 5 = 50$
Третье последующее число: $50 + 5 = 55$

Чтобы найти три предыдущих числа, необходимо от первого известного числа (30) трижды последовательно отнять 5:
Первое предыдущее число: $30 - 5 = 25$
Второе предыдущее число: $25 - 5 = 20$
Третье предыдущее число: $20 - 5 = 15$

Восстановленная последовательность: 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55.
Ответ: предыдущие числа — 15, 20, 25; последующие числа — 45, 50, 55.

б)

Проанализируем данную последовательность чисел: ..., 70, 61, 52, ... . Найдем закономерность, вычислив разность между соседними известными членами:
$61 - 70 = -9$
$52 - 61 = -9$
Закономерность заключается в том, что каждое следующее число в последовательности на 9 меньше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -9$.

Чтобы найти три последующих числа, необходимо от последнего известного числа (52) трижды последовательно отнять 9:
Первое последующее число: $52 - 9 = 43$
Второе последующее число: $43 - 9 = 34$
Третье последующее число: $34 - 9 = 25$

Чтобы найти три предыдущих числа, необходимо к первому известному числу (70) трижды последовательно прибавить 9:
Первое предыдущее число: $70 + 9 = 79$
Второе предыдущее число: $79 + 9 = 88$
Третье предыдущее число: $88 + 9 = 97$

Восстановленная последовательность: 97, 88, 79, 70, 61, 52, 43, 34, 25.
Ответ: предыдущие числа — 97, 88, 79; последующие числа — 43, 34, 25.

181 Придумайте правило, по которому можно продолжить последовательность, и запишите пять следующих чисел:

a) 1, 3, 4, 7, 11 ...

б) 1, 3, 6, 10, 15 ...

а) 1, 3, 4, 7, 11, ...

Для нахождения правила, по которому составлена данная последовательность, проанализируем связь между её членами. Можно заметить, что каждый член, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих членов.

Проверим это правило:

• Третий член: $1 + 3 = 4$
• Четвертый член: $3 + 4 = 7$
• Пятый член: $4 + 7 = 11$

Правило подтверждается. Таким образом, чтобы найти следующие члены последовательности, нужно продолжить складывать два предыдущих числа.

Найдем следующие пять чисел:

• Шестой член: $7 + 11 = 18$
• Седьмой член: $11 + 18 = 29$
• Восьмой член: $18 + 29 = 47$
• Девятый член: $29 + 47 = 76$
• Десятый член: $47 + 76 = 123$

Ответ: 18, 29, 47, 76, 123.

б) 1, 3, 6, 10, 15, ...

Рассмотрим разность между соседними членами этой последовательности:

• $3 - 1 = 2$
• $6 - 3 = 3$
• $10 - 6 = 4$
• $15 - 10 = 5$

Мы видим, что разность между членами последовательности каждый раз увеличивается на 1. Это означает, что для получения следующего члена последовательности нужно к предыдущему члену прибавить число, на единицу большее, чем то, что прибавлялось на предыдущем шаге.

Правило: к первому числу прибавили 2, ко второму — 3, к третьему — 4, к четвертому — 5. Следовательно, к пятому числу нужно прибавить 6, к шестому — 7 и так далее.

Найдем следующие пять чисел:

• Шестой член: $15 + 6 = 21$
• Седьмой член: $21 + 7 = 28$
• Восьмой член: $28 + 8 = 36$
• Девятый член: $36 + 9 = 45$
• Десятый член: $45 + 10 = 55$

Ответ: 21, 28, 36, 45, 55.

182 Решите задачу и прокомментируйте свои действия:

а) Автомобилист за три дня проехал 980 км. За первые два дня он проехал 725 км, а во второй день на 123 км больше, чем в третий. Какое расстояние проехал автомобилист за каждый из этих дней?

б) У учителя на столе в коробке 80 цветных карандашей — красного, синего, жёлтого и зелёного цветов. Красных и синих — 27 штук, жёлтых — на 4 меньше, чем красных и синих вместе, а зелёных — на 15 штук больше, чем красных. Сколько карандашей каждого цвета в коробке?

а)

Для решения задачи выполним действия по шагам, комментируя каждый из них.

1. Сначала найдём расстояние, которое автомобилист проехал за третий день. Для этого из общего расстояния, пройденного за три дня, вычтем расстояние, пройденное за первые два дня.
$980 - 725 = 255$ (км) – проехал за третий день.

2. Теперь, зная расстояние за третий день, можем найти, сколько автомобилист проехал во второй день. По условию, это на 123 км больше, чем в третий.
$255 + 123 = 378$ (км) – проехал за второй день.

3. Наконец, найдём расстояние за первый день. Мы знаем, что за первые два дня было пройдено 725 км, а за второй день – 378 км.
$725 - 378 = 347$ (км) – проехал за первый день.

Проверим полученные результаты, сложив расстояния за три дня: $347 + 378 + 255 = 980$ (км). Общее расстояние сходится.

Ответ: в первый день автомобилист проехал 347 км, во второй – 378 км, в третий – 255 км.

б)

Для решения этой задачи также будем действовать последовательно.

1. Найдём количество жёлтых карандашей. В условии сказано, что их на 4 меньше, чем красных и синих вместе. Количество красных и синих карандашей – 27.
$27 - 4 = 23$ (шт.) – жёлтых карандашей.

2. Теперь мы можем найти общее количество красных, синих и жёлтых карандашей в коробке.
$27 (\text{красные и синие}) + 23 (\text{жёлтые}) = 50$ (шт.) – карандашей трёх цветов.

3. Зная, что всего в коробке 80 карандашей, найдём количество зелёных карандашей, вычтя из общего числа сумму карандашей остальных цветов.
$80 - 50 = 30$ (шт.) – зелёных карандашей.

4. В условии сказано, что зелёных карандашей на 15 штук больше, чем красных. Это значит, что красных на 15 меньше, чем зелёных. Найдём количество красных карандашей.
$30 - 15 = 15$ (шт.) – красных карандашей.

5. Наконец, найдём количество синих карандашей. Мы знаем, что красных и синих вместе 27, а красных из них – 15.
$27 - 15 = 12$ (шт.) – синих карандашей.

Проверим, сходится ли общее количество: $15 (\text{красных}) + 12 (\text{синих}) + 23 (\text{жёлтых}) + 30 (\text{зелёных}) = 80$ (шт.). Все верно.

Ответ: в коробке 15 красных, 12 синих, 23 жёлтых и 30 зелёных карандашей.

183 РАССУЖДАЕМ

а) Яблоко и апельсин вместе весят 415 г, апельсин и груша вместе весят 430 г. Сколько весят яблоко, апельсин, груша в отдельности, если все вместе они весят 565 г?

б) В гирлянде 44 флажка красного, синего, зелёного и жёлтого цветов. Красных, синих и зелёных флажков вместе 37 штук; синих, зелёных и жёлтых – 29 штук; красных, зелёных и жёлтых – 32 штуки. Сколько флажков каждого цвета в отдельности?

а)

Для решения задачи обозначим вес яблока как $Я$, вес апельсина как $А$ и вес груши как $Г$.

Исходя из условий, составим систему уравнений:

$Я + А = 415$ (вес яблока и апельсина)

$А + Г = 430$ (вес апельсина и груши)

$Я + А + Г = 565$ (вес всех трёх фруктов)

1. Чтобы найти вес груши, вычтем из общего веса трёх фруктов вес яблока и апельсина:

$Г = (Я + А + Г) - (Я + А) = 565 - 415 = 150$ г.

2. Чтобы найти вес яблока, вычтем из общего веса трёх фруктов вес апельсина и груши:

$Я = (Я + А + Г) - (А + Г) = 565 - 430 = 135$ г.

3. Теперь, зная вес яблока, можем найти вес апельсина из первого уравнения:

$А = 415 - Я = 415 - 135 = 280$ г.

Проверим полученные значения: $135 + 280 + 150 = 565$ г. Расчёты верны.

Ответ: яблоко весит 135 г, апельсин — 280 г, груша — 150 г.

б)

Обозначим количество флажков каждого цвета переменными: $К$ – красные, $С$ – синие, $З$ – зелёные, $Ж$ – жёлтые.

По условию задачи имеем следующие равенства:

1) $К + С + З + Ж = 44$ (всего флажков)

2) $К + С + З = 37$ (красные, синие и зелёные)

3) $С + З + Ж = 29$ (синие, зелёные и жёлтые)

4) $К + З + Ж = 32$ (красные, зелёные и жёлтые)

1. Найдём количество жёлтых флажков. Для этого из общего количества флажков (уравнение 1) вычтем количество красных, синих и зелёных (уравнение 2):

$Ж = (К + С + З + Ж) - (К + С + З) = 44 - 37 = 7$ штук.

2. Найдём количество красных флажков, вычитая из общего количества (уравнение 1) количество синих, зелёных и жёлтых (уравнение 3):

$К = (К + С + З + Ж) - (С + З + Ж) = 44 - 29 = 15$ штук.

3. Найдём количество синих флажков, вычитая из общего количества (уравнение 1) количество красных, зелёных и жёлтых (уравнение 4):

$С = (К + С + З + Ж) - (К + З + Ж) = 44 - 32 = 12$ штук.

4. Наконец, найдём количество зелёных флажков, вычитая из общего числа флажков количество флажков остальных цветов:

$З = 44 - К - С - Ж = 44 - 15 - 12 - 7 = 10$ штук.

Проверим: $15 + 12 + 10 + 7 = 44$. Всё верно.

Ответ: в гирлянде 15 красных, 12 синих, 10 зелёных и 7 жёлтых флажков.

184 а) Запишите все натуральные числа, которые можно подставить вместо буквы а так, чтобы двойное неравенство было верным: $9996 < a < 10005$.

б) Запишите в порядке убывания числа: 25 932, 608 890, 34 156, 34 656, 60 988, 25 950. Объясните свои действия.

а)

Дано двойное неравенство $9996 < a < 10 005$. Нам нужно найти все натуральные числа а, которые удовлетворяют этому условию.

Неравенство является строгим, это означает, что число а должно быть строго больше 9996 и строго меньше 10 005.

Первое натуральное число, которое больше 9996, это $9996 + 1 = 9997$.

Последнее натуральное число, которое меньше 10 005, это $10 005 - 1 = 10 004$.

Следовательно, нам нужно перечислить все натуральные числа от 9997 до 10 004 включительно.

Это числа: 9997, 9998, 9999, 10 000, 10 001, 10 002, 10 003, 10 004.

Ответ: 9997, 9998, 9999, 10 000, 10 001, 10 002, 10 003, 10 004.

б)

Чтобы записать числа в порядке убывания, нужно расположить их от самого большого к самому маленькому. Для этого сравним данные числа: 25 932, 608 890, 34 156, 34 656, 60 988, 25 950.

Шаг 1: Сравнение по количеству цифр.

Большим является то число, в котором больше цифр.

Число 608 890 состоит из шести цифр, а все остальные — из пяти. Следовательно, 608 890 — самое большое число.

Шаг 2: Сравнение пятизначных чисел.

Если количество цифр в числах одинаковое, их сравнивают поразрядно, слева направо, начиная со старшего разряда.

Сравниваем оставшиеся числа: 25 932, 34 156, 34 656, 60 988, 25 950.

1. Сравниваем цифры в разряде десятков тысяч (первая цифра слева): 2, 3, 3, 6, 2. Самая большая цифра — 6, значит, следующее по величине число — 60 988.

2. Далее идут числа, начинающиеся с цифры 3: 34 156 и 34 656. Их первые две цифры (34) совпадают. Сравниваем третьи цифры (в разряде сотен): у числа 34 156 это 1, а у 34 656 это 6. Так как $6 > 1$, то $34 656 > 34 156$.

3. Остались числа, начинающиеся с цифры 2: 25 932 и 25 950. Их первые три цифры (259) совпадают. Сравниваем четвертые цифры (в разряде десятков): у числа 25 932 это 3, а у 25 950 это 5. Так как $5 > 3$, то $25 950 > 25 932$.

Шаг 3: Запись чисел в порядке убывания.

Собираем все числа в порядке от большего к меньшему на основе проведенного сравнения:

608 890, 60 988, 34 656, 34 156, 25 950, 25 932.

Ответ: 608 890, 60 988, 34 656, 34 156, 25 950, 25 932.