Страница 46 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

144 Сколько новых чисел можно получить из числа 546, переставляя его цифры?

Исходное число 546 состоит из трех различных цифр: 5, 4 и 6. Чтобы найти, сколько различных чисел можно составить из этих цифр, необходимо найти число перестановок из трех элементов.

Количество всех возможных перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал").

В нашем случае количество цифр $n=3$. Значит, общее количество чисел, которые можно составить, равно:

$P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$

Всего можно составить 6 различных чисел. Перечислим их для наглядности:

• 546
• 564
• 456
• 465
• 654
• 645

В вопросе требуется найти количество новых чисел. Это означает, что из общего количества нужно вычесть исходное число 546.

Количество новых чисел = (Общее количество чисел) - 1
$6 - 1 = 5$

Таким образом, можно получить 5 новых чисел.
Ответ: 5

МОДЕЛИРУЕМ (145–147) Решите задачи с помощью дерева возможных вариантов.

145 Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить своё путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на самолёте, теплоходе, поезде или автобусе?

Путешествие школьников из Волгограда в Москву через Нижний Новгород состоит из двух независимых этапов. Чтобы найти общее количество способов, нужно определить количество вариантов для каждого этапа и затем их скомбинировать.

Этап 1: Путь из Волгограда в Нижний Новгород.
Для этого этапа существует 2 способа:

• Теплоход
• Поезд

Этап 2: Путь из Нижнего Новгорода в Москву.
Для этого этапа существует 4 способа:

• Самолёт
• Теплоход
• Поезд
• Автобус

Построим дерево возможных вариантов, чтобы наглядно представить все возможные маршруты. От начальной точки (Волгоград) идут две "ветви" (теплоход и поезд). От конца каждой из этих двух ветвей отходят еще по четыре "ветви", соответствующие транспорту из Нижнего Новгорода в Москву.

Перечислим все возможные полные маршруты:

• Если на первом этапе поехать на теплоходе, то для второго этапа есть 4 варианта:
  1. Теплоход (В-НН) → Самолёт (НН-М)
  2. Теплоход (В-НН) → Теплоход (НН-М)
  3. Теплоход (В-НН) → Поезд (НН-М)
  4. Теплоход (В-НН) → Автобус (НН-М)
• Если на первом этапе поехать на поезде, то для второго этапа также есть 4 варианта:
  1. Поезд (В-НН) → Самолёт (НН-М)
  2. Поезд (В-НН) → Теплоход (НН-М)
  3. Поезд (В-НН) → Поезд (НН-М)
  4. Поезд (В-НН) → Автобус (НН-М)

Подсчитав общее количество конечных маршрутов, мы видим, что их $4 + 4 = 8$.

Этот результат можно также получить, используя правило умножения в комбинаторике: если объект A можно выбрать $m$ способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать $n$ способами, то выбор пары (A, B) можно осуществить $m \times n$ способами.

В данном случае, количество способов для первого этапа $m=2$, а для второго этапа $n=4$. Общее число способов путешествия равно:
$2 \times 4 = 8$

Ответ: 8

146 В костюмерной имеются жёлтые и белые кофты, а также синие, красные и чёрные юбки. Сколько из них можно составить костюмов, отличающихся расцветкой?

Чтобы найти общее количество возможных костюмов, нужно применить правило умножения из комбинаторики. Для этого необходимо определить количество вариантов для каждой части костюма (кофты и юбки) и перемножить их.

1. Посчитаем количество вариантов для кофт. В условии сказано, что есть жёлтые и белые кофты. Следовательно, у нас есть 2 варианта выбора кофты.

2. Посчитаем количество вариантов для юбок. В условии перечислены синие, красные и чёрные юбки. Таким образом, у нас есть 3 варианта выбора юбки.

3. Теперь найдём общее количество комбинаций. Для каждой из двух кофт можно выбрать любую из трёх юбок. Общее число костюмов равно произведению числа вариантов кофт на число вариантов юбок:

$2 \times 3 = 6$

Таким образом, можно составить 6 различных по расцветке костюмов.

Ответ: 6

147 Имеются ручки четырёх цветов: красные, синие, зелёные, чёрные — и два вида записных книжек. Сколько различных наборов из ручки и записной книжки можно составить из этих предметов?

Для решения этой задачи необходимо применить комбинаторное правило умножения. Нам нужно определить общее количество возможных наборов, каждый из которых включает одну ручку и одну записную книжку. Выбор ручки и выбор книжки являются независимыми событиями.

В наличии имеются:
- Ручки четырёх цветов (красные, синие, зелёные, чёрные), что даёт 4 варианта для выбора ручки.
- Записные книжки двух видов, что даёт 2 варианта для выбора записной книжки.

Чтобы найти общее количество различных наборов, нужно умножить количество вариантов выбора ручки на количество вариантов выбора записной книжки. Это связано с тем, что для каждого из четырёх цветов ручки мы можем выбрать любой из двух видов записных книжек.

Выполним расчёт:
$4 \times 2 = 8$

Таким образом, можно составить 8 различных наборов из ручки и записной книжки.

Ответ: 8

148 Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя только цифры 4 и 5?

Для решения этой задачи необходимо определить количество возможных вариантов для каждой из трёх позиций в трёхзначном числе. Мы можем использовать только цифры 4 и 5.

1. Позиция сотен: на это место можно поставить либо цифру 4, либо цифру 5. Таким образом, у нас есть 2 варианта.

2. Позиция десятков: так как в условии не сказано, что цифры не могут повторяться, на это место мы также можем поставить либо 4, либо 5. Это еще 2 варианта.

3. Позиция единиц: аналогично, на это место можно поставить либо 4, либо 5. Это еще 2 варианта.

Чтобы найти общее количество возможных комбинаций, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это называется правилом произведения в комбинаторике.

Общее количество чисел = (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц).

$2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$

Можно перечислить все возможные числа для проверки: 444, 445, 454, 455, 544, 545, 554, 555.

Ответ: 8

149 Сколько чисел в римской нумерации можно записать, используя только цифры I и V?

Для решения этой задачи необходимо перечислить все возможные числа, которые можно составить из римских цифр I (обозначает 1) и V (обозначает 5), соблюдая правила римской системы счисления.

Основные правила для цифр I и V:
1. Цифра I может повторяться до трёх раз подряд (I, II, III). Четыре раза подряд одна и та же цифра не ставится.
2. Цифра V не может повторяться.
3. Если меньшая цифра (I) стоит слева от большей (V), то её значение вычитается из большей (принцип вычитания).
4. Если меньшая цифра (I) стоит справа от большей (V), то её значение прибавляется к большей (принцип сложения).

Теперь systematically перечислим все возможные уникальные числа, которые можно записать, следуя этим правилам:

- Числа, состоящие только из цифры I:
I (соответствует арабскому числу 1)
II (соответствует арабскому числу 2)
III (соответствует арабскому числу 3)

- Числа, в записи которых используется цифра V (она может быть только одна):
IV (принцип вычитания: $5 - 1 = 4$)
V (сама цифра, соответствует числу 5)
VI (принцип сложения: $5 + 1 = 6$)
VII (принцип сложения: $5 + 2 = 7$)
VIII (принцип сложения: $5 + 3 = 8$)

Другие комбинации, такие как IIII, VIIII, IIV или VV, являются недопустимыми в стандартной римской нумерации. Таким образом, мы можем записать 8 различных чисел.

Полный список чисел: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII.

Ответ: 8

150. Дано число 3241. Запишите все числа, большие данного, которые можно получить с помощью перестановки цифр этого числа.

Дано число 3241. Его цифры: 1, 2, 3, 4. Нам нужно найти все числа, составленные из этих цифр, которые будут больше 3241. Для этого будем рассматривать возможные варианты, начиная со старшего разряда (тысяч).

Чтобы полученное число было больше 3241, его первая цифра должна быть либо больше 3, либо равна 3.

1. Первая цифра 4.

Любое число, начинающееся с 4, будет больше 3241. Оставшиеся три цифры (1, 2, 3) можно расставить на оставшихся трех местах. Количество перестановок из 3-х элементов равно $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$. Найдем все эти числа:

• 4123
• 4132
• 4213
• 4231
• 4312
• 4321

2. Первая цифра 3.

Число имеет вид 3xxx. Чтобы оно было больше 3241, вторая цифра (в разряде сотен) должна быть больше 2. Из оставшихся цифр {1, 2, 4} этому условию удовлетворяет только цифра 4.

Значит, число должно начинаться с 34. Оставшиеся цифры {1, 2} можно расставить двумя способами:

• 3412
• 3421

Оба этих числа больше 3241.

Если вторая цифра равна 2 (число вида 32xx), то для того, чтобы число было больше 3241, третья цифра должна быть больше 4. Среди оставшихся цифр {1, 4} такой цифры нет. Если третья цифра равна 4, то число будет 3241, что не больше исходного числа.

3. Первая цифра 1 или 2.

Любое число, начинающееся с 1 или 2, будет меньше 3241, поэтому эти варианты не рассматриваем.

Соберем все найденные числа в один список.

Ответ: 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

151 Запишите все числа, которые можно получить из числа 485203, если зачеркнуть в нём две цифры. Какое из них самое большое? Могли бы вы ответить на этот вопрос без перебора всех вариантов?

Запишите все числа, которые можно получить из числа 485203, если зачеркнуть в нём две цифры.

Исходное число 485203 состоит из 6 цифр. Если зачеркнуть две цифры, получатся четырехзначные числа. Порядок оставшихся цифр сохраняется. Чтобы найти все числа, нужно последовательно убрать все возможные пары цифр:

• Зачеркиваем 4 и 8: 5203
• Зачеркиваем 4 и 5: 8203
• Зачеркиваем 4 и 2: 8503
• Зачеркиваем 4 и 0: 8523
• Зачеркиваем 4 и 3: 8520
• Зачеркиваем 8 и 5: 4203
• Зачеркиваем 8 и 2: 4503
• Зачеркиваем 8 и 0: 4523
• Зачеркиваем 8 и 3: 4520
• Зачеркиваем 5 и 2: 4803
• Зачеркиваем 5 и 0: 4823
• Зачеркиваем 5 и 3: 4820
• Зачеркиваем 2 и 0: 4853
• Зачеркиваем 2 и 3: 4850
• Зачеркиваем 0 и 3: 4852

Ответ: 5203, 8203, 8503, 8523, 8520, 4203, 4503, 4523, 4520, 4803, 4823, 4820, 4853, 4850, 4852.

Какое из них самое большое?

Для нахождения самого большого числа сравним все полученные варианты. Наибольшими будут те, у которых первая цифра самая большая. В нашем списке есть числа, начинающиеся с 4, 5 и 8. Самые большие из них начинаются с 8. Сравним эти числа: 8203, 8503, 8523, 8520.
Среди них самое большое — 8523.

Ответ: 8523.

Могли бы вы ответить на этот вопрос без перебора всех вариантов?

Да, это возможно. Чтобы получить наибольшее число, нужно, чтобы его старшие разряды (цифры, стоящие слева) были максимально большими. Мы должны оставить 4 цифры из 6, сохранив их порядок.

1. Выбор первой цифры. Мы ищем первую цифру для нашего четырехзначного числа. Мы можем вычеркнуть две цифры. Это значит, что первая цифра итогового числа может быть выбрана из первых трех цифр исходного числа (4, 8, 5), так как после нее должно остаться еще как минимум три цифры. Из (4, 8, 5) выбираем наибольшую — это 8. Чтобы 8 стала первой цифрой, мы должны вычеркнуть стоящую перед ней цифру 4. Мы использовали одно вычеркивание.

2. Выбор второй цифры. После выбора цифры 8 у нас осталась последовательность цифр 5203. Из нее нам нужно выбрать еще 3 цифры. У нас осталось право вычеркнуть еще одну цифру. Чтобы вторая цифра итогового числа была максимальной, мы выбираем наибольшую из возможных цифр в оставшейся последовательности — это 5.

3. Выбор третьей цифры. После выбора 8 и 5 у нас осталась последовательность 203. Нам нужно выбрать еще 2 цифры. Мы все еще можем вычеркнуть одну. Для третьей позиции выбираем наибольшую возможную цифру — это 2.

4. Выбор четвертой цифры. Осталась последовательность 03. Нам нужна еще одна цифра. Мы должны вычеркнуть одну из этих двух. Чтобы число было максимальным, выбираем наибольшую — 3. При этом мы вычеркиваем 0.

Таким образом, мы оставили цифры 8, 5, 2, 3 и вычеркнули 4 и 0. Получилось число 8523.

Ответ: Да, можно найти наибольшее число 8523 без полного перебора, последовательно выбирая самые большие возможные цифры для каждого разряда.

152 Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

Для решения этой задачи нам нужно найти все двузначные числа, у которых цифра десятков больше цифры единиц. Обозначим двузначное число как $ab$, где $a$ – это первая цифра (десятки), а $b$ – вторая цифра (единицы).

Согласно определению двузначного числа, первая цифра $a$ не может быть нулем, поэтому она может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Вторая цифра $b$ может быть любой, то есть из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Основное условие задачи – первая цифра должна быть больше второй, то есть $a > b$. Переберем все возможные варианты для первой цифры $a$ и посчитаем, сколько подходящих значений может принять вторая цифра $b$ в каждом случае.

- Если первая цифра $a = 1$, то вторая цифра $b$ должна быть меньше 1. Этому условию удовлетворяет только $b = 0$. Получаем 1 число: 10.

- Если первая цифра $a = 2$, то $b$ может быть 0 или 1. Получаем 2 числа: 20, 21.

- Если первая цифра $a = 3$, то $b$ может быть 0, 1 или 2. Получаем 3 числа: 30, 31, 32.

- Если первая цифра $a = 4$, то $b$ может быть 0, 1, 2 или 3. Получаем 4 числа.

- Если первая цифра $a = 5$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3 или 4. Получаем 5 чисел.

- Если первая цифра $a = 6$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Получаем 6 чисел.

- Если первая цифра $a = 7$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Получаем 7 чисел.

- Если первая цифра $a = 8$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Получаем 8 чисел.

- Если первая цифра $a = 9$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. Получаем 9 чисел.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно сложить количество вариантов, полученных для каждой первой цифры:$N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$

Эта сумма является суммой первых девяти натуральных чисел, которую можно вычислить по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n=9$, $a_1=1$ и $a_n=9$:

$N = \frac{9 \cdot (1 + 9)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Таким образом, существует 45 двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй.

Ответ: 45