Страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

132 Расположите в порядке убывания числа: 90 099, 90 990, 99 009, 99 900, 90 909.

Чтобы расположить числа в порядке убывания, их необходимо сравнить друг с другом и выстроить от самого большого к самому маленькому. Сравнение многозначных чисел производится поразрядно, слева направо (начиная со старшего разряда).

Нам даны числа: $90 099$, $90 990$, $99 009$, $99 900$, $90 909$.

1. Сначала сравним числа по старшим разрядам. В разряде десятков тысяч у всех чисел стоит цифра 9. Переходим к следующему разряду — разряду тысяч.
У чисел $99 009$ и $99 900$ в разряде тысяч стоит цифра 9, а у остальных ($90 099$, $90 990$, $90 909$) — цифра 0. Поскольку $9 > 0$, числа $99 009$ и $99 900$ больше всех остальных.

2. Теперь сравним между собой два самых больших числа: $99 900$ и $99 009$. В разряде сотен у числа $99 900$ стоит 9, а у числа $99 009$ — 0. Так как $9 > 0$, то $99 900 > 99 009$. Таким образом, самое большое число в ряду — $99 900$, а следующее за ним — $99 009$.

3. Теперь сравним оставшиеся три числа: $90 099$, $90 990$, $90 909$. У них совпадают разряды десятков тысяч и тысяч. Сравним их по разряду сотен.
У чисел $90 990$ и $90 909$ в разряде сотен стоит 9, а у числа $90 099$ — 0. Следовательно, $90 099$ — самое маленькое из этих трех чисел.
Осталось сравнить $90 990$ и $90 909$. В разряде десятков у числа $90 990$ стоит 9, а у $90 909$ — 0. Так как $9 > 0$, то $90 990 > 90 909$.

4. Объединив все результаты, получаем итоговый ряд чисел, расположенных в порядке убывания.

Ответ: $99 900, 99 009, 90 990, 90 909, 90 099$.

133. Найдите произведение чисел:

а) 49 и 109;

б) 430 и 7800;

в) 350 и 206.

а) Для того чтобы найти произведение чисел 49 и 109, необходимо выполнить операцию умножения. Воспользуемся распределительным свойством умножения, представив число 109 в виде суммы $100 + 9$.

$49 \times 109 = 49 \times (100 + 9) = 49 \times 100 + 49 \times 9 = 4900 + 441 = 5341$.

Другой способ — умножение в столбик. Сначала умножаем 109 на 9 (единицы числа 49), что дает 981. Затем умножаем 109 на 40 (десятки числа 49), что дает 4360. Складываем полученные произведения: $981 + 4360 = 5341$.

Ответ: 5341

б) Чтобы найти произведение чисел 430 и 7800, нужно их перемножить. Удобно сначала перемножить значащие части чисел (43 и 78), а затем к полученному результату приписать справа общее количество нулей (один ноль от числа 430 и два ноля от числа 7800, всего три ноля).

Вычислим произведение $43 \times 78$:

$43 \times 78 = 43 \times (70 + 8) = 43 \times 70 + 43 \times 8 = 3010 + 344 = 3354$.

Теперь припишем к числу 3354 три ноля справа: 3 354 000.

Таким образом, $430 \times 7800 = 3354000$.

Ответ: 3 354 000

в) Найдем произведение чисел 350 и 206. Для этого выполним умножение $350 \times 206$.

Можно применить распределительное свойство, представив 206 как сумму $200 + 6$:

$350 \times 206 = 350 \times (200 + 6) = 350 \times 200 + 350 \times 6$.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$350 \times 200 = 70000$.

$350 \times 6 = 2100$.

Сложим полученные значения: $70000 + 2100 = 72100$.

Ответ: 72 100

134. Запишите и вычислите разность между:

а) числом 1000 и суммой чисел 53 и 267;

б) числом 500 и частным чисел 5125 и 25.

а)

Чтобы найти разность между числом 1000 и суммой чисел 53 и 267, сначала необходимо найти сумму чисел 53 и 267, а затем вычесть полученный результат из 1000. Запишем это в виде числового выражения:

$1000 - (53 + 267)$

1. Вычислим сумму в скобках:

$53 + 267 = 320$

2. Вычислим разность:

$1000 - 320 = 680$

Ответ: 680

б)

Чтобы найти разность между числом 500 и частным чисел 5125 и 25, сначала необходимо найти частное от деления 5125 на 25, а затем вычесть полученный результат из 500. Запишем это в виде числового выражения:

$500 - (5125 : 25)$

1. Вычислим частное в скобках:

$5125 : 25 = 205$

2. Вычислим разность:

$500 - 205 = 295$

Ответ: 295

135 Рассмотрите рисунок 2.14. Чему равны длины отрезков $OA$, $OB$ и $CD$, если радиусы окружностей соответственно равны $2 \text{ см}$, $4 \text{ см}$ и $5 \text{ см}$?

Рис. 2.14

На рисунке изображены три окружности с общим центром в точке O. Такие окружности называются концентрическими. Согласно условию, радиусы окружностей, начиная с наименьшей, равны 2 см, 4 см и 5 см.

Обозначим радиусы:
$r_1$ - радиус наименьшей окружности (на которой лежит точка D), $r_1 = 2$ см.
$r_2$ - радиус средней окружности (на которой лежит точка A), $r_2 = 4$ см.
$r_3$ - радиус наибольшей окружности (на которой лежат точки B и C), $r_3 = 5$ см.

OA
Отрезок OA является радиусом средней окружности, так как он соединяет центр O с точкой A, лежащей на этой окружности.
$OA = r_2 = 4$ см.
Ответ: 4 см.

OB
Отрезок OB является радиусом наибольшей окружности, так как он соединяет центр O с точкой B, лежащей на этой окружности.
$OB = r_3 = 5$ см.
Ответ: 5 см.

CD
Отрезок CD состоит из двух отрезков, исходящих из центра: OC и OD. Точка C лежит на наибольшей окружности, а точка D - на наименьшей.
Длина отрезка OC равна радиусу наибольшей окружности: $OC = r_3 = 5$ см.
Длина отрезка OD равна радиусу наименьшей окружности: $OD = r_1 = 2$ см.
Так как точки C, O и D лежат на одной прямой, длина отрезка CD равна сумме длин отрезков OC и OD.
$CD = OC + OD = 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 7$ см.
Ответ: 7 см.

136 Перечертите рисунок 2.15 в тетрадь. Объясните свои действия.

Рис. 2.15

Для того чтобы перечертить фигуру, изображенную на рисунке 2.15, необходимо проанализировать ее составные части и последовательно построить их на листе бумаги в клетку с помощью циркуля и линейки. Примем сторону одной клетки за единицу длины.

Анализ показывает, что фигура ограничена сверху одной большой полуокружностью, а снизу — тремя малыми полуокружностями, касающимися друг друга.

Последовательность действий для построения:

1. Построение основания. Начертите горизонтальный отрезок длиной 10 клеток. Этот отрезок будет являться общим диаметром для всех полуокружностей.

2. Построение верхней дуги. Верхняя граница фигуры — это полуокружность с диаметром 10 клеток.

   • Найдите середину 10-клеточного отрезка. Эта точка будет центром окружности.
   • Радиус этой полуокружности равен половине диаметра: $R = 10 / 2 = 5$ клеток.
   • Установите острие циркуля в найденный центр, а грифель на один из концов отрезка, и проведите дугу над отрезком.

3. Построение нижней границы. Нижняя граница состоит из трёх полуокружностей, построенных под основным отрезком. Сумма их диаметров равна 10 клеткам ($4 + 2 + 4 = 10$).

   • Левая дуга: Это полуокружность с диаметром 4 клетки. Её центр находится на расстоянии 2 клетки от левого конца основания. Радиус равен $r_1 = 4 / 2 = 2$ клетки. Начертите эту дугу циркулем.
   • Центральная дуга: Это полуокружность с диаметром 2 клетки. Её центр совпадает с центром большой верхней дуги (середина всего 10-клеточного отрезка). Радиус равен $r_2 = 2 / 2 = 1$ клетка. Начертите эту дугу.
   • Правая дуга: Она симметрична левой, её диаметр 4 клетки, а радиус $r_3 = 4 / 2 = 2$ клетки. Её центр находится на расстоянии 2 клетки от правого конца основания. Начертите эту дугу.

Выполнив эти построения, вы получите точную копию фигуры. При желании можно заштриховать внутреннюю область.

Ответ: Для построения фигуры необходимо начертить на общем основании длиной 10 единиц верхнюю полуокружность радиусом 5 единиц и три нижние полуокружности с радиусами 2, 1 и 2 единицы соответственно, как описано в пошаговой инструкции выше.