Номер 152, страница 46 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.5. Решение комбинаторных задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 152, страница 46.

152 Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

Для решения этой задачи нам нужно найти все двузначные числа, у которых цифра десятков больше цифры единиц. Обозначим двузначное число как $ab$, где $a$ – это первая цифра (десятки), а $b$ – вторая цифра (единицы).

Согласно определению двузначного числа, первая цифра $a$ не может быть нулем, поэтому она может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Вторая цифра $b$ может быть любой, то есть из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Основное условие задачи – первая цифра должна быть больше второй, то есть $a > b$. Переберем все возможные варианты для первой цифры $a$ и посчитаем, сколько подходящих значений может принять вторая цифра $b$ в каждом случае.

- Если первая цифра $a = 1$, то вторая цифра $b$ должна быть меньше 1. Этому условию удовлетворяет только $b = 0$. Получаем 1 число: 10.

- Если первая цифра $a = 2$, то $b$ может быть 0 или 1. Получаем 2 числа: 20, 21.

- Если первая цифра $a = 3$, то $b$ может быть 0, 1 или 2. Получаем 3 числа: 30, 31, 32.

- Если первая цифра $a = 4$, то $b$ может быть 0, 1, 2 или 3. Получаем 4 числа.

- Если первая цифра $a = 5$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3 или 4. Получаем 5 чисел.

- Если первая цифра $a = 6$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Получаем 6 чисел.

- Если первая цифра $a = 7$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Получаем 7 чисел.

- Если первая цифра $a = 8$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Получаем 8 чисел.

- Если первая цифра $a = 9$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. Получаем 9 чисел.

Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно сложить количество вариантов, полученных для каждой первой цифры:$N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$

Эта сумма является суммой первых девяти натуральных чисел, которую можно вычислить по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n=9$, $a_1=1$ и $a_n=9$:

$N = \frac{9 \cdot (1 + 9)}{2} = \frac{9 \cdot 10}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Таким образом, существует 45 двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй.

Ответ: 45