Номер 153, страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.5. Решение комбинаторных задач. Глава 2. Натуральные числа - номер 153, страница 47.

153 МОДЕЛИРУЕМ

На поле пять игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке 2.18 с помощью стрелок изображён один из возможных вариантов комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы между игроками в данной комбинации.

Рис. 2.18

Согласно условию задачи, в комбинации участвуют пять игроков. Игрок № 1 начинает комбинацию, а игрок № 5 забивает гол. Каждый из пяти хоккеистов ударяет по шайбе ровно один раз. Это означает, что нам нужно найти все возможные последовательности передач шайбы, которые начинаются с игрока № 1, заканчиваются игроком № 5, и в которых игроки № 2, № 3 и № 4 участвуют по одному разу.

Задача сводится к нахождению всех возможных упорядоченных последовательностей (перестановок) для трех игроков, находящихся в середине комбинации: № 2, № 3 и № 4.

Общее число перестановок для $n$ элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал). В данном случае у нас 3 игрока ($n=3$), поэтому общее количество возможных комбинаций равно:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Таким образом, существует всего 6 уникальных вариантов развития комбинации.

Один из этих шести вариантов уже показан на рисунке 2.18 в условии задачи. Это последовательность:

$1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5$

Нам необходимо найти все остальные $6 - 1 = 5$ возможных вариантов. Для этого мы должны найти все другие перестановки игроков № 2, № 3 и № 4.

Ниже перечислены все остальные возможные варианты передачи шайбы:

1. $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 5$

2. $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5$

3. $1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5$

4. $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 5$

5. $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5$

Ответ:

Кроме варианта, изображенного на рисунке, существуют еще 5 возможных вариантов передачи шайбы между игроками:

$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 5$

$1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5$

$1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 5$

$1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 5$

$1 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 5$