Страница 54 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

185 Округлите до десятков, до сотен, до тысяч, до десятков тысяч:

a) число 62 075; б) число 35 909.

Результат записывайте каждый раз с помощью знака приближённого равенства ($ \approx $).

Правило округления натуральных чисел:
1. Находим разряд, до которого нужно округлить число.
2. Смотрим на цифру, стоящую справа от этого разряда.
3. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то цифру в округляемом разряде оставляем без изменений, а все цифры справа от неё заменяем нулями.
4. Если эта цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде увеличиваем на единицу, а все цифры справа от неё заменяем нулями.

Округлим число 62 075:

До десятков:
Цифра в разряде десятков – 7. Справа от неё стоит цифра 5. Согласно правилу округления ($5 \ge 5$), увеличиваем разряд десятков на 1 ($7+1=8$), а цифру в разряде единиц заменяем на 0.
$62 \ 075 \approx 62 \ 080$

До сотен:
Цифра в разряде сотен – 0. Справа от неё стоит цифра 7. Так как $7 \ge 5$, увеличиваем разряд сотен на 1 ($0+1=1$), а все последующие цифры заменяем нулями.
$62 \ 075 \approx 62 \ 100$

До тысяч:
Цифра в разряде тысяч – 2. Справа от неё стоит цифра 0. Так как $0 < 5$, оставляем разряд тысяч без изменений, а все последующие цифры заменяем нулями.
$62 \ 075 \approx 62 \ 000$

До десятков тысяч:
Цифра в разряде десятков тысяч – 6. Справа от неё стоит цифра 2. Так как $2 < 5$, оставляем разряд десятков тысяч без изменений, а все последующие цифры заменяем нулями.
$62 \ 075 \approx 60 \ 000$

Ответ: $62 \ 075 \approx 62 \ 080$ (до десятков); $62 \ 075 \approx 62 \ 100$ (до сотен); $62 \ 075 \approx 62 \ 000$ (до тысяч); $62 \ 075 \approx 60 \ 000$ (до десятков тысяч).

Округлим число 35 909:

До десятков:
Цифра в разряде десятков – 0. Справа от неё стоит цифра 9. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем разряд десятков на 1 ($0+1=1$), а цифру в разряде единиц заменяем на 0.
$35 \ 909 \approx 35 \ 910$

До сотен:
Цифра в разряде сотен – 9. Справа от неё стоит цифра 0. Так как $0 < 5$, оставляем разряд сотен без изменений, а все последующие цифры заменяем нулями.
$35 \ 909 \approx 35 \ 900$

До тысяч:
Цифра в разряде тысяч – 5. Справа от неё стоит цифра 9. Так как $9 \ge 5$, увеличиваем разряд тысяч на 1 ($5+1=6$), а все последующие цифры заменяем нулями.
$35 \ 909 \approx 36 \ 000$

До десятков тысяч:
Цифра в разряде десятков тысяч – 3. Справа от неё стоит цифра 5. Так как $5 \ge 5$, увеличиваем разряд десятков тысяч на 1 ($3+1=4$), а все последующие цифры заменяем нулями.
$35 \ 909 \approx 40 \ 000$

Ответ: $35 \ 909 \approx 35 \ 910$ (до десятков); $35 \ 909 \approx 35 \ 900$ (до сотен); $35 \ 909 \approx 36 \ 000$ (до тысяч); $35 \ 909 \approx 40 \ 000$ (до десятков тысяч).

б) Запишите в порядке убывания числа: 25 932, 608 890, 34 156, 34 656, 60 988, 25 950. Объясните свои действия.

185 Округлите до десятков, до сотен, до тысяч, до десятков тысяч:

а) число 62 075;

б) число 35 909.

Результат записывайте каждый раз с помощью знака $ \approx $.

186 Ищем способ копирования Скопируйте в тетрадь рисунок, составленный из окружностей (рис. 3.2).

б)

Чтобы записать числа в порядке убывания, необходимо сравнить их между собой, двигаясь от большего к меньшему. Сравнение натуральных чисел производят поразрядно, начиная со старших разрядов.

1. Сначала сравним числа по количеству цифр в них. Среди предложенных чисел есть одно шестизначное — 608 890. Все остальные числа — пятизначные. Так как шестизначное число всегда больше любого пятизначного, то 608 890 является самым большим числом в данном ряду.

2. Теперь сравним оставшиеся пятизначные числа: 25 932, 34 156, 34 656, 60 988, 25 950. Для этого посмотрим на их старший разряд (десятки тысяч).
- У числа 60 988 в разряде десятков тысяч стоит цифра 6.
- У чисел 34 156 и 34 656 — цифра 3.
- У чисел 25 932 и 25 950 — цифра 2.
Поскольку $6 > 3 > 2$, то следующим по величине после 608 890 будет число 60 988.

3. Далее сравним числа, у которых в старшем разряде стоит цифра 3: 34 156 и 34 656. Разряды десятков тысяч и тысяч у них совпадают. Сравним разряд сотен: у числа 34 156 в этом разряде стоит 1, а у 34 656 — 6. Так как $6 > 1$, то $34 656 > 34 156$.

4. Наконец, сравним числа, у которых в старшем разряде стоит цифра 2: 25 932 и 25 950. Разряды десятков тысяч, тысяч и сотен у них одинаковы. Сравним разряд десятков: у числа 25 932 это 3, а у 25 950 — 5. Так как $5 > 3$, то $25 950 > 25 932$.

5. Теперь мы можем записать все числа в порядке убывания: 608 890, 60 988, 34 656, 34 156, 25 950, 25 932.

Ответ: 608 890, 60 988, 34 656, 34 156, 25 950, 25 932.

185.

Правило округления: чтобы округлить число до некоторого разряда, нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда. Если это цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то разряд, до которого округляем, оставляем без изменений, а все последующие разряды заменяем нулями. Если справа стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то разряд, до которого округляем, увеличиваем на 1, а все последующие разряды заменяем нулями.

а) Округлим число 62 075:

• до десятков: справа от разряда десятков (7) стоит цифра 5. Значит, увеличиваем 7 на 1. $62 075 \approx 62 080$.

• до сотен: справа от разряда сотен (0) стоит цифра 7. Значит, увеличиваем 0 на 1. $62 075 \approx 62 100$.

• до тысяч: справа от разряда тысяч (2) стоит цифра 0. Значит, 2 оставляем без изменений. $62 075 \approx 62 000$.

• до десятков тысяч: справа от разряда десятков тысяч (6) стоит цифра 2. Значит, 6 оставляем без изменений. $62 075 \approx 60 000$.

Ответ: $62 075 \approx 62 080$; $62 075 \approx 62 100$; $62 075 \approx 62 000$; $62 075 \approx 60 000$.

б) Округлим число 35 909:

• до десятков: справа от разряда десятков (0) стоит цифра 9. Значит, увеличиваем 0 на 1. $35 909 \approx 35 910$.

• до сотен: справа от разряда сотен (9) стоит цифра 0. Значит, 9 оставляем без изменений. $35 909 \approx 35 900$.

• до тысяч: справа от разряда тысяч (5) стоит цифра 9. Значит, увеличиваем 5 на 1. $35 909 \approx 36 000$.

• до десятков тысяч: справа от разряда десятков тысяч (3) стоит цифра 5. Значит, увеличиваем 3 на 1. $35 909 \approx 40 000$.

Ответ: $35 909 \approx 35 910$; $35 909 \approx 35 900$; $35 909 \approx 36 000$; $35 909 \approx 40 000$.

186.

Чтобы скопировать рисунок 3.2, состоящий из концентрических окружностей (окружностей с общим центром), в тетрадь, необходимо выполнить следующие шаги:

1. На листе в клетку выберите точку, которая будет центром всех окружностей. Удобнее всего выбрать пересечение линий сетки.

2. Определите радиусы всех трех окружностей, считая сторону одной клетки за единицу измерения. Из рисунка видно, что:

   • радиус внутренней окружности равен 1 клетке;

   • радиус средней окружности равен 2 клеткам;

   • радиус внешней окружности равен 3 клеткам.

3. С помощью циркуля и линейки последовательно начертите три окружности из выбранного центра с определенными радиусами.

   а) Установите иглу циркуля в центральную точку.

   б) Установите раствор циркуля равным 1 клетке и начертите первую окружность.

   в) Увеличьте раствор циркуля до 2 клеток и, не смещая иглу, начертите вторую окружность.

   г) Увеличьте раствор циркуля до 3 клеток и начертите третью окружность.

Ответ: Для копирования рисунка нужно выбрать центр на листе в клетку и с помощью циркуля начертить три окружности из этого центра с радиусами 1, 2 и 3 клетки.

Приведите пример умножения чисел и назовите множители и произведение.

Свойства чисел 1 и 0 при умножении записаны с помощью букв. Сформулируйте их словами и проиллюстрируйте примерами.

Приведите примеры деления чисел и назовите делимое, делитель и частное.

Известно, что произведение натуральных чисел $a$ и $b$ равно $c$. Запишите это утверждение в виде равенства. Запишите ещё два равенства, связывающие эти числа.

Дополнительные равенства: $a = c / b$ и $b = c / a$

Объясните на своём примере, почему нельзя делить на нуль.

Свойства нуля и единицы при делении записаны с помощью букв. Сформулируйте их словами и проиллюстрируйте примерами.

Приведите пример умножения чисел и назовите множители и произведение.
Рассмотрим пример: $5 \cdot 4 = 20$.
В этом примере числа 5 и 4 являются множителями, а число 20 — произведением.
Ответ: $5 \cdot 4 = 20$, где 5 и 4 — множители, 20 — произведение.

Свойства чисел 1 и 0 при умножении записаны с помощью букв. Сформулируйте их словами и проиллюстрируйте примерами.
1. Свойство числа 1: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$.
Сформулированное словами: При умножении любого числа на единицу получается то же самое число.
Пример: $17 \cdot 1 = 17$.

2. Свойство числа 0: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.
Сформулированное словами: При умножении любого числа на ноль получается ноль.
Пример: $25 \cdot 0 = 0$.
Ответ: При умножении числа на 1 получается это же число ($a \cdot 1 = a$), например, $17 \cdot 1 = 17$. При умножении числа на 0 получается 0 ($a \cdot 0 = 0$), например, $25 \cdot 0 = 0$.

Приведите примеры деления чисел и назовите делимое, делитель и частное.
Рассмотрим пример: $18 : 3 = 6$.
В этом примере число 18 — это делимое (число, которое делят), 3 — это делитель (число, на которое делят), а 6 — это частное (результат деления).
Ответ: $18 : 3 = 6$, где 18 — делимое, 3 — делитель, 6 — частное.

Известно, что произведение натуральных чисел a и b равно c. Запишите это утверждение в виде равенства. Запишите ещё два равенства, связывающие эти числа.
Утверждение "произведение натуральных чисел a и b равно c" в виде равенства записывается так: $a \cdot b = c$.
Деление является обратной операцией умножению. Чтобы найти один из множителей, нужно произведение разделить на другой множитель. Отсюда можно записать еще два равенства:
1. $c : a = b$
2. $c : b = a$
Ответ: $a \cdot b = c$, $c : a = b$, $c : b = a$.

Объясните на своём примере, почему нельзя делить на ноль.
Предположим, мы хотим разделить число 8 на 0. Допустим, в результате деления мы получим некоторое число $x$. То есть, $8 : 0 = x$.
Проверить деление можно умножением: частное умножить на делитель, и должно получиться делимое. В нашем случае: $x \cdot 0 = 8$.
Однако мы знаем свойство нуля при умножении: любое число, умноженное на ноль, даёт в результате ноль ($x \cdot 0 = 0$).
Получается противоречие: с одной стороны $x \cdot 0 = 8$, а с другой $x \cdot 0 = 0$. Такого быть не может. Следовательно, не существует такого числа $x$, которое было бы результатом деления 8 на 0. Поэтому деление на ноль не имеет смысла (не определено).
Ответ: Если бы мы могли разделить число (например, 8) на 0, то результат (пусть $x$) при умножении на 0 должен был бы дать 8 ($x \cdot 0 = 8$). Но любое число при умножении на 0 дает 0, а не 8. Это противоречие доказывает, что делить на ноль нельзя.

Свойства нуля и единицы при делении записаны с помощью букв. Сформулируйте их словами и проиллюстрируйте примерами.
1. Деление на единицу: $a : 1 = a$.
Сформулированное словами: При делении любого числа на единицу получается то же самое число.
Пример: $15 : 1 = 15$.

2. Деление числа на само себя: $a : a = 1$ (при условии, что $a \ne 0$).
Сформулированное словами: При делении любого числа (кроме нуля) на само себя получается единица.
Пример: $23 : 23 = 1$.

3. Деление нуля на число: $0 : a = 0$ (при условии, что $a \ne 0$).
Сформулированное словами: При делении нуля на любое число (кроме нуля) получается ноль.
Пример: $0 : 7 = 0$.

4. Деление на ноль: $a : 0$.
Сформулированное словами: Делить на ноль нельзя.
Пример: Выражение $12 : 0$ не имеет смысла.
Ответ: При делении числа на 1 получается это же число ($a : 1 = a$), например $15 : 1 = 15$. При делении числа на само себя получается 1 ($a : a = 1$), например $23 : 23 = 1$. При делении 0 на число получается 0 ($0 : a = 0$), например $0 : 7 = 0$. Делить на ноль нельзя.