Страница 64 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

237 Переставьте всеми возможными способами знаки действий в выражении $25 + 7 \cdot 3 - 2$ и найдите значение каждого выражения.

В исходном выражении $25 + 7 \cdot 3 - 2$ используются знаки действий: сложение (+), умножение (·) и вычитание (-). Числа 25, 7, 3 и 2 остаются на своих местах. Необходимо найти все возможные перестановки этих трех знаков и вычислить значения получившихся выражений, соблюдая порядок действий (сначала выполняется умножение, а затем сложение и вычитание слева направо).

Всего существует $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ возможных перестановок знаков.

1. Знаки: +, ·, -
Выражение: $25 + 7 \cdot 3 - 2$.
1) Выполняем умножение: $7 \cdot 3 = 21$.
2) Выполняем сложение и вычитание по порядку: $25 + 21 - 2 = 46 - 2 = 44$.
Ответ: 44

2. Знаки: +, -, ·
Выражение: $25 + 7 - 3 \cdot 2$.
1) Выполняем умножение: $3 \cdot 2 = 6$.
2) Выполняем сложение и вычитание по порядку: $25 + 7 - 6 = 32 - 6 = 26$.
Ответ: 26

3. Знаки: ·, +, -
Выражение: $25 \cdot 7 + 3 - 2$.
1) Выполняем умножение: $25 \cdot 7 = 175$.
2) Выполняем сложение и вычитание по порядку: $175 + 3 - 2 = 178 - 2 = 176$.
Ответ: 176

4. Знаки: ·, -, +
Выражение: $25 \cdot 7 - 3 + 2$.
1) Выполняем умножение: $25 \cdot 7 = 175$.
2) Выполняем вычитание и сложение по порядку: $175 - 3 + 2 = 172 + 2 = 174$.
Ответ: 174

5. Знаки: -, +, ·
Выражение: $25 - 7 + 3 \cdot 2$.
1) Выполняем умножение: $3 \cdot 2 = 6$.
2) Выполняем вычитание и сложение по порядку: $25 - 7 + 6 = 18 + 6 = 24$.
Ответ: 24

6. Знаки: -, ·, +
Выражение: $25 - 7 \cdot 3 + 2$.
1) Выполняем умножение: $7 \cdot 3 = 21$.
2) Выполняем вычитание и сложение по порядку: $25 - 21 + 2 = 4 + 2 = 6$.
Ответ: 6

238 Расставьте в выражении $2 \cdot 2 - 2 : 2$ скобки всеми возможными способами и найдите значение каждого выражения.

Для выражения $2 \cdot 2 - 2 : 2$ существует несколько вариантов расстановки скобок, которые приводят к разным результатам. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Выражение без скобок

Согласно порядку выполнения арифметических операций, сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.

$2 \cdot 2 - 2 : 2 = 4 - 1 = 3$

Ответ: 3

2. Скобки вокруг операции вычитания

В этом случае первым действием выполняется вычитание в скобках.

$2 \cdot (2 - 2) : 2 = 2 \cdot 0 : 2 = 0 : 2 = 0$

Ответ: 0

3. Скобки вокруг первых трёх чисел

Сначала выполняются действия в скобках согласно стандартному порядку (сначала умножение, потом вычитание).

$(2 \cdot 2 - 2) : 2 = (4 - 2) : 2 = 2 : 2 = 1$

Ответ: 1

4. Скобки вокруг последних трёх чисел

Сначала выполняются действия в скобках согласно стандартному порядку (сначала деление, потом вычитание).

$2 \cdot (2 - 2 : 2) = 2 \cdot (2 - 1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2

И найдите значение каждого выражения.

239 В выражении $3 \cdot 3 + 3 : 3 - 3$ расставьте скобки так, чтобы в результате получилось число:

а) 3;

б) 9;

в) 1.

а) 3;

Чтобы в результате получилось число 3, необходимо расставить скобки следующим образом:

$3 \cdot (3 + 3) : 3 - 3$

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Сначала действие в скобках: $3 + 3 = 6$.

2. Затем умножение и деление слева направо: $3 \cdot 6 = 18$, после чего $18 : 3 = 6$.

3. В конце вычитание: $6 - 3 = 3$.

Полная запись вычислений: $3 \cdot (3 + 3) : 3 - 3 = 3 \cdot 6 : 3 - 3 = 18 : 3 - 3 = 6 - 3 = 3$.

Ответ: $3 \cdot (3 + 3) : 3 - 3$.

б) 9;

Чтобы в результате получилось число 9, скобки нужно расставить так:

$3 \cdot (3 + 3 : 3) - 3$

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Сначала действия в скобках. Внутри скобок первым выполняется деление: $3 : 3 = 1$.

2. Затем сложение в скобках: $3 + 1 = 4$.

3. Далее выполняется умножение: $3 \cdot 4 = 12$.

4. В конце выполняется вычитание: $12 - 3 = 9$.

Полная запись вычислений: $3 \cdot (3 + 3 : 3) - 3 = 3 \cdot (3 + 1) - 3 = 3 \cdot 4 - 3 = 12 - 3 = 9$.

Ответ: $3 \cdot (3 + 3 : 3) - 3$.

в) 1.

Чтобы в результате получилось число 1, расставим скобки следующим образом:

$(3 \cdot 3 + 3) : 3 - 3$

Выполним вычисления по порядку действий:

1. Сначала действия в скобках. Внутри скобок первым выполняется умножение: $3 \cdot 3 = 9$.

2. Затем сложение в скобках: $9 + 3 = 12$.

3. Далее выполняется деление: $12 : 3 = 4$.

4. В конце выполняется вычитание: $4 - 3 = 1$.

Полная запись вычислений: $(3 \cdot 3 + 3) : 3 - 3 = (9 + 3) : 3 - 3 = 12 : 3 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Ответ: $(3 \cdot 3 + 3) : 3 - 3$.

240 Выполните действия:

a) $97 + 13662 : 27 + 36944 - 43 \cdot 809;$

б) $988 + 1530 : (12 \cdot 6 - 38) \cdot 15;$

в) $4080 - (352719 - 57837) : 98 + 307 \cdot 107;$

г) $40 \cdot (207 \cdot 54 - 793) - 270000 : 18;$

д) $215 \cdot (368 - 274) + 68 \cdot (127 + 128);$

е) $(8222 - 4781) : 37 - (1519 - 637) : 42.$

а) $97 + 13 662 : 27 + 36 944 - 43 \cdot 809$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала деление и умножение, затем сложение и вычитание слева направо):
1) $13 662 : 27 = 506$
2) $43 \cdot 809 = 34 787$
3) $97 + 506 = 603$
4) $603 + 36 944 = 37 547$
5) $37 547 - 34 787 = 2 760$
Итоговое выражение: $97 + 506 + 36 944 - 34 787 = 2 760$.
Ответ: 2 760

б) $988 + 1530 : (12 \cdot 6 - 38) \cdot 15$

Сначала выполняем действия в скобках, затем деление и умножение, и в конце сложение:
1) $12 \cdot 6 = 72$
2) $72 - 38 = 34$
3) $1530 : 34 = 45$
4) $45 \cdot 15 = 675$
5) $988 + 675 = 1 663$
Итоговое выражение: $988 + 1530 : 34 \cdot 15 = 988 + 45 \cdot 15 = 988 + 675 = 1 663$.
Ответ: 1 663

в) $4080 - (352 719 - 57 837) : 98 + 307 \cdot 107$

Сначала выполняем действие в скобках, затем деление и умножение, и в конце вычитание и сложение слева направо:
1) $352 719 - 57 837 = 294 882$
2) $294 882 : 98 = 3 009$
3) $307 \cdot 107 = 32 849$
4) $4080 - 3 009 = 1 071$
5) $1 071 + 32 849 = 33 920$
Итоговое выражение: $4080 - 294 882 : 98 + 32 849 = 4080 - 3 009 + 32 849 = 33 920$.
Ответ: 33 920

г) $40 \cdot (207 \cdot 54 - 793) - 270 000 : 18$

Сначала выполняем действия в скобках (умножение, затем вычитание), затем умножение и деление за скобками, и в конце вычитание:
1) $207 \cdot 54 = 11 178$
2) $11 178 - 793 = 10 385$
3) $40 \cdot 10 385 = 415 400$
4) $270 000 : 18 = 15 000$
5) $415 400 - 15 000 = 400 400$
Итоговое выражение: $40 \cdot 10 385 - 15 000 = 415 400 - 15 000 = 400 400$.
Ответ: 400 400

д) $215 \cdot (368 - 274) + 68 \cdot (127 + 128)$

Сначала выполняем действия в скобках, затем умножение, и в конце сложение:
1) $368 - 274 = 94$
2) $127 + 128 = 255$
3) $215 \cdot 94 = 20 210$
4) $68 \cdot 255 = 17 340$
5) $20 210 + 17 340 = 37 550$
Итоговое выражение: $215 \cdot 94 + 68 \cdot 255 = 20 210 + 17 340 = 37 550$.
Ответ: 37 550

е) $(8222 - 4781) : 37 - (1519 - 637) : 42$

Сначала выполняем действия в скобках, затем деление, и в конце вычитание:
1) $8222 - 4781 = 3 441$
2) $1519 - 637 = 882$
3) $3 441 : 37 = 93$
4) $882 : 42 = 21$
5) $93 - 21 = 72$
Итоговое выражение: $3 441 : 37 - 882 : 42 = 93 - 21 = 72$.
Ответ: 72

241 Найдите значение выражения:

a) $(410 + 96) \cdot (1010 - 31248 : 62) - 170 \cdot 1500;$

б) $(174208 - 208 \cdot (563 + 44)) : 333 + 2079 : 77;$

в) $(18 \cdot 331 - (46348 + 67892) : 21) : 14 + 143 \cdot 26;$

г) $(201 \cdot (400100 - 397964) + 5280) : 24 - 8154.$

а) $(410 + 96) \cdot (1010 - 31248 : 62) - 170 \cdot 1500$
Решим по действиям, соблюдая порядок операций (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание):
1. Сложение в первых скобках: $410 + 96 = 506$.
2. Деление во вторых скобках: $31248 : 62 = 504$.
3. Вычитание во вторых скобках: $1010 - 504 = 506$.
4. Первое умножение: $506 \cdot 506 = 256036$.
5. Второе умножение: $170 \cdot 1500 = 255000$.
6. Конечное вычитание: $256036 - 255000 = 1036$.
Ответ: 1036.

б) $(174208 - 208 \cdot (563 + 44)) : 333 + 2079 : 77$
Решим по действиям:
1. Сложение во внутренних скобках: $563 + 44 = 607$.
2. Умножение внутри больших скобок: $208 \cdot 607 = 126256$.
3. Вычитание внутри больших скобок: $174208 - 126256 = 47952$.
4. Первое деление: $47952 : 333 = 144$.
5. Второе деление: $2079 : 77 = 27$.
6. Конечное сложение: $144 + 27 = 171$.
Ответ: 171.

в) $(18 \cdot 331 - (46348 + 67892) : 21) : 14 + 143 \cdot 26$
Решим по действиям:
1. Сложение во внутренних скобках: $46348 + 67892 = 114240$.
2. Деление результата сложения: $114240 : 21 = 5440$.
3. Умножение в больших скобках: $18 \cdot 331 = 5958$.
4. Вычитание в больших скобках: $5958 - 5440 = 518$.
5. Деление результата скобок: $518 : 14 = 37$.
6. Второе умножение: $143 \cdot 26 = 3718$.
7. Конечное сложение: $37 + 3718 = 3755$.
Ответ: 3755.

г) $(201 \cdot (400100 - 397964) + 5280) : 24 - 8154$
Решим по действиям:
1. Вычитание во внутренних скобках: $400100 - 397964 = 2136$.
2. Умножение в больших скобках: $201 \cdot 2136 = 429336$.
3. Сложение в больших скобках: $429336 + 5280 = 434616$.
4. Деление результата скобок: $434616 : 24 = 18109$.
5. Конечное вычитание: $18109 - 8154 = 9955$.
Ответ: 9955.

242 Кусок проволоки длиной 110 см надо разрезать на куски длиной 15 см и 10 см так, чтобы не осталось обрезков. Как вы считаете, можно ли выполнить поставленную задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см? 5 кусков длиной 15 см? Каким может быть число 15-сантиметровых кусков? Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.

$15 \cdot 6 + 10y = 110$

$15 \cdot 5 + 10y = 110$

$15 \cdot 0 + 10 \cdot 11 = 110$

$15 \cdot 2 + 10 \cdot 8 = 110$

$15 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 110$

$15 \cdot 6 + 10 \cdot 2 = 110$

Как вы считаете, можно ли выполнить поставленную задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см?
Найдем общую длину 6 кусков по 15 см:
$15 \cdot 6 = 90$ см.
Найдем оставшуюся длину проволоки:
$110 - 90 = 20$ см.
Эту оставшуюся часть нужно разрезать на куски по 10 см. Проверим, возможно ли это сделать без обрезков:
$20 : 10 = 2$.
Так как в результате получилось целое число (2), то можно отрезать 2 куска по 10 см.
Таким образом, задача выполнима.
Ответ: да, можно.

5 кусков длиной 15 см?
Найдем общую длину 5 кусков по 15 см:
$15 \cdot 5 = 75$ см.
Найдем оставшуюся длину проволоки:
$110 - 75 = 35$ см.
Проверим, можно ли оставшуюся часть длиной 35 см разрезать на куски по 10 см без обрезков:
$35 : 10 = 3.5$.
Так как в результате получилось нецелое число, разрезать 35 см на куски по 10 см без остатка невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

Каким может быть число 15-сантиметровых кусков? Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.
Пусть $x$ — это количество кусков по 15 см, а $y$ — количество кусков по 10 см. Тогда общая длина всех кусков должна быть равна 110 см. Составим уравнение:
$15x + 10y = 110$
где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.
Выражение $10y$ всегда оканчивается на 0. Сумма $15x + 10y$ также должна оканчиваться на 0 (так как равна 110). Это возможно только в том случае, если произведение $15x$ тоже оканчивается на 0. Произведение $15x$ оканчивается на 0, если $x$ — четное число ($15 \cdot 2 = 30$, $15 \cdot 4 = 60$ и т.д.). Будем перебирать возможные четные значения для $x$, начиная с 0. Максимальное возможное значение $x$ можно найти, разделив общую длину на 15: $110 : 15 \approx 7.33$. Значит, $x$ может быть 0, 2, 4, 6.

1. Если отрезано 0 кусков по 15 см ($x=0$):
$15 \cdot 0 + 10y = 110$
$10y = 110$
$y = 11$
Решение: 0 кусков по 15 см и 11 кусков по 10 см. Числовое выражение: $10 \cdot 11 = 110$.

2. Если отрезано 2 куска по 15 см ($x=2$):
$15 \cdot 2 + 10y = 110$
$30 + 10y = 110$
$10y = 80$
$y = 8$
Решение: 2 куска по 15 см и 8 кусков по 10 см. Числовое выражение: $15 \cdot 2 + 10 \cdot 8 = 110$.

3. Если отрезано 4 куска по 15 см ($x=4$):
$15 \cdot 4 + 10y = 110$
$60 + 10y = 110$
$10y = 50$
$y = 5$
Решение: 4 куска по 15 см и 5 кусков по 10 см. Числовое выражение: $15 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 110$.

4. Если отрезано 6 кусков по 15 см ($x=6$):
$15 \cdot 6 + 10y = 110$
$90 + 10y = 110$
$10y = 20$
$y = 2$
Решение: 6 кусков по 15 см и 2 куска по 10 см. Числовое выражение: $15 \cdot 6 + 10 \cdot 2 = 110$.

Если взять следующее четное число $x=8$, то $15 \cdot 8 = 120$, что уже больше 110. Следовательно, других решений нет.
Ответ: число 15-сантиметровых кусков может быть 0, 2, 4 или 6. Решения в виде числовых выражений: $10 \cdot 11 = 110$; $15 \cdot 2 + 10 \cdot 8 = 110$; $15 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 110$; $15 \cdot 6 + 10 \cdot 2 = 110$.

Решите задачу (243–245).

243 а) Бригада должна была выпустить 2400 станков за 30 дней. Но она изготавливала на 20 станков в день больше, чем планировала. На сколько дней раньше был выполнен этот заказ?

б) За 4 ч автомобиль должен был проехать 240 км. Но он увеличил скорость на 20 км/ч. На сколько меньше времени он потратил на дорогу?

а)

1. Сначала найдем плановую производительность бригады, то есть сколько станков в день она должна была выпускать по плану. Для этого общее количество станков разделим на количество дней:

$2400 \div 30 = 80$ станков в день.

2. Затем найдем фактическую производительность бригады. По условию, она была на 20 станков в день больше плановой:

$80 + 20 = 100$ станков в день.

3. Теперь определим, за сколько дней бригада фактически выполнила заказ, работая с новой производительностью:

$2400 \div 100 = 24$ дня.

4. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем разницу между плановым и фактическим сроком выполнения заказа:

$30 - 24 = 6$ дней.

Ответ: заказ был выполнен на 6 дней раньше.

б)

1. Сначала определим плановую скорость автомобиля. Для этого разделим расстояние на запланированное время в пути:

$240 \text{ км} \div 4 \text{ ч} = 60 \text{ км/ч}$.

2. Затем найдем фактическую скорость автомобиля. По условию, он увеличил скорость на 20 км/ч:

$60 \text{ км/ч} + 20 \text{ км/ч} = 80 \text{ км/ч}$.

3. Теперь вычислим, сколько времени автомобиль потратил на дорогу, двигаясь с новой, увеличенной скоростью:

$240 \text{ км} \div 80 \text{ км/ч} = 3$ часа.

4. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем разницу между запланированным и фактическим временем в пути:

$4 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 1$ час.

Ответ: он потратил на дорогу на 1 час меньше.

244 а) Две сотрудницы редакции, работая вместе, набрали на компьютере 264 страницы рукописи книги за 12 ч. Одна из них набирала 12 страниц в час. Сколько страниц в час набирала другая сотрудница?

б) Отец и сын, работая вместе, покрасили забор длиной 168 м за 12 ч. Если бы отец красил забор один, он выполнил бы эту работу за 21 ч. За сколько часов покрасил бы этот забор сын?

а)

1. Сначала найдем, с какой общей скоростью работали обе сотрудницы. Для этого разделим общее количество набранных страниц на время, которое они затратили:

$264 \\text{ страницы} \\div 12 \\text{ ч} = 22 \\text{ страницы/час}$

Это их совместная скорость набора.

2. Теперь, зная общую скорость и скорость одной из сотрудниц, мы можем найти скорость второй. Для этого из общей скорости вычтем скорость первой сотрудницы:

$22 \\text{ страницы/час} - 12 \\text{ страниц/час} = 10 \\text{ страниц/час}$

Ответ: 10 страниц в час набирала другая сотрудница.

б)

1. Найдем общую производительность отца и сына, то есть, сколько метров забора они красят вместе за один час:

$168 \\text{ м} \\div 12 \\text{ ч} = 14 \\text{ м/ч}$

Это их совместная производительность.

2. Теперь найдем производительность отца, когда он работает один:

$168 \\text{ м} \\div 21 \\text{ ч} = 8 \\text{ м/ч}$

3. Чтобы найти производительность сына, вычтем из общей производительности производительность отца:

$14 \\text{ м/ч} - 8 \\text{ м/ч} = 6 \\text{ м/ч}$

4. Зная, что сын красит 6 метров забора в час, найдем, сколько времени ему потребуется, чтобы покрасить весь забор длиной 168 метров:

$168 \\text{ м} \\div 6 \\text{ м/ч} = 28 \\text{ ч}$

Ответ: Сын покрасил бы этот забор за 28 часов.