Номер 242, страница 64 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.3. Порядок действий в вычислениях. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 242, страница 64.

242 Кусок проволоки длиной 110 см надо разрезать на куски длиной 15 см и 10 см так, чтобы не осталось обрезков. Как вы считаете, можно ли выполнить поставленную задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см? 5 кусков длиной 15 см? Каким может быть число 15-сантиметровых кусков? Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.

$15 \cdot 6 + 10y = 110$

$15 \cdot 5 + 10y = 110$

$15 \cdot 0 + 10 \cdot 11 = 110$

$15 \cdot 2 + 10 \cdot 8 = 110$

$15 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 110$

$15 \cdot 6 + 10 \cdot 2 = 110$

Как вы считаете, можно ли выполнить поставленную задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см?
Найдем общую длину 6 кусков по 15 см:
$15 \cdot 6 = 90$ см.
Найдем оставшуюся длину проволоки:
$110 - 90 = 20$ см.
Эту оставшуюся часть нужно разрезать на куски по 10 см. Проверим, возможно ли это сделать без обрезков:
$20 : 10 = 2$.
Так как в результате получилось целое число (2), то можно отрезать 2 куска по 10 см.
Таким образом, задача выполнима.
Ответ: да, можно.

5 кусков длиной 15 см?
Найдем общую длину 5 кусков по 15 см:
$15 \cdot 5 = 75$ см.
Найдем оставшуюся длину проволоки:
$110 - 75 = 35$ см.
Проверим, можно ли оставшуюся часть длиной 35 см разрезать на куски по 10 см без обрезков:
$35 : 10 = 3.5$.
Так как в результате получилось нецелое число, разрезать 35 см на куски по 10 см без остатка невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

Каким может быть число 15-сантиметровых кусков? Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.
Пусть $x$ — это количество кусков по 15 см, а $y$ — количество кусков по 10 см. Тогда общая длина всех кусков должна быть равна 110 см. Составим уравнение:
$15x + 10y = 110$
где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.
Выражение $10y$ всегда оканчивается на 0. Сумма $15x + 10y$ также должна оканчиваться на 0 (так как равна 110). Это возможно только в том случае, если произведение $15x$ тоже оканчивается на 0. Произведение $15x$ оканчивается на 0, если $x$ — четное число ($15 \cdot 2 = 30$, $15 \cdot 4 = 60$ и т.д.). Будем перебирать возможные четные значения для $x$, начиная с 0. Максимальное возможное значение $x$ можно найти, разделив общую длину на 15: $110 : 15 \approx 7.33$. Значит, $x$ может быть 0, 2, 4, 6.

1. Если отрезано 0 кусков по 15 см ($x=0$):
$15 \cdot 0 + 10y = 110$
$10y = 110$
$y = 11$
Решение: 0 кусков по 15 см и 11 кусков по 10 см. Числовое выражение: $10 \cdot 11 = 110$.

2. Если отрезано 2 куска по 15 см ($x=2$):
$15 \cdot 2 + 10y = 110$
$30 + 10y = 110$
$10y = 80$
$y = 8$
Решение: 2 куска по 15 см и 8 кусков по 10 см. Числовое выражение: $15 \cdot 2 + 10 \cdot 8 = 110$.

3. Если отрезано 4 куска по 15 см ($x=4$):
$15 \cdot 4 + 10y = 110$
$60 + 10y = 110$
$10y = 50$
$y = 5$
Решение: 4 куска по 15 см и 5 кусков по 10 см. Числовое выражение: $15 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 110$.

4. Если отрезано 6 кусков по 15 см ($x=6$):
$15 \cdot 6 + 10y = 110$
$90 + 10y = 110$
$10y = 20$
$y = 2$
Решение: 6 кусков по 15 см и 2 куска по 10 см. Числовое выражение: $15 \cdot 6 + 10 \cdot 2 = 110$.

Если взять следующее четное число $x=8$, то $15 \cdot 8 = 120$, что уже больше 110. Следовательно, других решений нет.
Ответ: число 15-сантиметровых кусков может быть 0, 2, 4 или 6. Решения в виде числовых выражений: $10 \cdot 11 = 110$; $15 \cdot 2 + 10 \cdot 8 = 110$; $15 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 110$; $15 \cdot 6 + 10 \cdot 2 = 110$.