Страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

256. Вычислите:

а) $17^2$;

б) $6^3$;

в) $22^2$;

г) $10^4$;

д) $10^5$;

е) $110^2$;

ж) $15^3$;

з) $42^2$.

а) Возведение в квадрат означает умножение числа на само себя. Вычислим $17^2$:

$17^2 = 17 \cdot 17 = 289$

Ответ: 289

б) Возведение в куб (третью степень) означает умножение числа на само себя три раза. Вычислим $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Ответ: 216

в) Вычислим квадрат числа 22:

$22^2 = 22 \cdot 22 = 484$

Ответ: 484

г) Возведение числа 10 в степень $n$ равно числу, состоящему из единицы и $n$ нулей. Вычислим $10^4$:

$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

Ответ: 10000

д) Аналогично предыдущему пункту, вычислим $10^5$:

$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100000$

Ответ: 100000

е) Вычислим квадрат числа 110:

$110^2 = 110 \cdot 110 = 12100$

Ответ: 12100

ж) Вычислим куб числа 15:

$15^3 = 15 \cdot 15 \cdot 15 = 225 \cdot 15 = 3375$

Ответ: 3375

з) Вычислим квадрат числа 42:

$42^2 = 42 \cdot 42 = 1764$

Ответ: 1764

257. Сравните значения выражений. Можно ли сделать это, не выполняя вычислений?

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$;

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$;

в) $2^5$ и $5^2$;

г) $3^4$ и $4^3$.

а) Сравним выражения $5^3$ и $5 \cdot 3$.

Выражение $5^3$ по определению степени можно записать как $5 \cdot 5^2$. Таким образом, нам нужно сравнить $5 \cdot 5^2$ и $5 \cdot 3$. Поскольку у обоих выражений есть общий множитель 5, для сравнения достаточно сравнить вторые множители: $5^2$ и $3$.

Так как $5^2 = 25$, а $25 > 3$, то и произведение $5 \cdot 5^2$ больше, чем $5 \cdot 3$. Следовательно, $5^3 > 5 \cdot 3$.

Это сравнение можно провести, не вычисляя полное значение $5^3=125$.

Ответ: $5^3 > 5 \cdot 3$.

б) Сравним выражения $12^2$ и $12 \cdot 2$.

Выражение $12^2$ равно $12 \cdot 12$. Сравниваем $12 \cdot 12$ и $12 \cdot 2$. Оба произведения имеют общий множитель 12. Поэтому для сравнения достаточно сравнить вторые множители: 12 и 2.

Так как $12 > 2$, то и произведение $12 \cdot 12$ больше, чем $12 \cdot 2$. Следовательно, $12^2 > 12 \cdot 2$.

Сравнение выполнено без вычисления конечных значений.

Ответ: $12^2 > 12 \cdot 2$.

в) Сравним выражения $2^5$ и $5^2$.

В этом случае у выражений разные основания и показатели степени, поэтому сравнение без вычислений затруднительно. Найдем значения выражений:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Поскольку $32 > 25$, то $2^5 > 5^2$.

Ответ: $2^5 > 5^2$.

г) Сравним выражения $3^4$ и $4^3$.

Здесь также разные основания и показатели. Проще всего выполнить вычисления:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Поскольку $81 > 64$, то $3^4 > 4^3$.

Ответ: $3^4 > 4^3$.

Можно ли сделать это, не выполняя вычислений?

Да, в некоторых случаях. В заданиях а) и б), где у сравниваемых выражений есть общая часть (общий множитель), можно было провести сравнение, не вычисляя конечные значения. В заданиях в) и г), где у степеней разные основания и показатели, самым простым и надежным способом является прямое вычисление их значений.

257 Сравните значения выражений. Можно ли сделать это, не выполняя вычислений?

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$;

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$;

в) $2^5$ и $5^2$;

г) $3^4$ и $4^3$.

258 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Если сторона квадрата равна 5 см (рис. 3.7), то его площадь равна произведению $5 \cdot 5 \text{ (см}^2)$ или, иначе, $5^2 \text{ см}^2$. Запишите с помощью степени выражение для вычисления площади квадрата и найдите его площадь, если сторона квадрата равна 1 см; 2 см; 10 см; 12 см.

Рис. 3.7

257.

В некоторых случаях сравнить значения выражений можно без полных вычислений, используя логические рассуждения о свойствах умножения и степени. В других случаях, особенно когда основания и показатели степеней различны, вычисления являются наиболее надежным способом.

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$
Выражение $5^3$ по определению степени равно $5 \cdot 5 \cdot 5$.
Сравнить $5 \cdot 5 \cdot 5$ и $5 \cdot 3$ можно, не выполняя полного вычисления. Представим $5^3$ как $5 \cdot (5^2)$ или $5 \cdot 25$. Так как мы сравниваем два произведения с одинаковым множителем 5, а второй множитель в первом случае ($25$) больше второго ($3$), то и первое произведение больше. То есть, $5 \cdot 25 > 5 \cdot 3$.
Для проверки выполним вычисления: $5^3 = 125$, а $5 \cdot 3 = 15$. Поскольку $125 > 15$, сравнение верно.
Ответ: $5^3 > 5 \cdot 3$.

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$
Выражение $12^2$ равно $12 \cdot 12$.
Сравнение можно произвести без вычислений. Мы сравниваем произведения $12 \cdot 12$ и $12 \cdot 2$. Поскольку один из множителей (12) является общим, а второй множитель в первом выражении ($12$) больше, чем во втором ($2$), то первое произведение будет больше второго.
Для проверки выполним вычисления: $12^2 = 144$, а $12 \cdot 2 = 24$. Поскольку $144 > 24$, сравнение верно.
Ответ: $12^2 > 12 \cdot 2$.

в) $2^5$ и $5^2$
В этом случае основания и показатели степени различны. Простого способа сравнить их без вычислений нет. Поэтому выполним вычисления:
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Так как $32 > 25$, то $2^5 > 5^2$.
Ответ: $2^5 > 5^2$.

г) $3^4$ и $4^3$
Аналогично предыдущему пункту, для надежного сравнения необходимо выполнить вычисления:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Так как $81 > 64$, то $3^4 > 4^3$.
Ответ: $3^4 > 4^3$.

258.
Выражение для вычисления площади квадрата ($S$) со стороной $a$ с помощью степени записывается как $S = a^2$.
Найдем площадь для каждой из заданных длин стороны:
- Если сторона равна 1 см, то площадь $S = 1^2 = 1$ см$^2$.
- Если сторона равна 2 см, то площадь $S = 2^2 = 4$ см$^2$.
- Если сторона равна 10 см, то площадь $S = 10^2 = 100$ см$^2$.
- Если сторона равна 12 см, то площадь $S = 12^2 = 144$ см$^2$.
Ответ: Выражение для площади: $S = a^2$. Площади равны 1 см$^2$, 4 см$^2$, 100 см$^2$ и 144 см$^2$ соответственно.

259 Начертите в тетради таблицу и заполните её.

$x$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$x^2$

$x^3$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения x из верхней строки (от 1 до 10) вычислить его квадрат ($x^2$) и его куб ($x^3$).

x²

Вычисляем квадрат каждого числа x от 1 до 10. Квадрат числа — это результат умножения числа на само себя.

• При $x=1$, $x^2 = 1^2 = 1 \times 1 = 1$
• При $x=2$, $x^2 = 2^2 = 2 \times 2 = 4$
• При $x=3$, $x^2 = 3^2 = 3 \times 3 = 9$
• При $x=4$, $x^2 = 4^2 = 4 \times 4 = 16$
• При $x=5$, $x^2 = 5^2 = 5 \times 5 = 25$
• При $x=6$, $x^2 = 6^2 = 6 \times 6 = 36$
• При $x=7$, $x^2 = 7^2 = 7 \times 7 = 49$
• При $x=8$, $x^2 = 8^2 = 8 \times 8 = 64$
• При $x=9$, $x^2 = 9^2 = 9 \times 9 = 81$
• При $x=10$, $x^2 = 10^2 = 10 \times 10 = 100$

Ответ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

x³

Вычисляем куб каждого числа x от 1 до 10. Куб числа — это результат умножения числа на само себя дважды.

• При $x=1$, $x^3 = 1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
• При $x=2$, $x^3 = 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
• При $x=3$, $x^3 = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
• При $x=4$, $x^3 = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
• При $x=5$, $x^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
• При $x=6$, $x^3 = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$
• При $x=7$, $x^3 = 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343$
• При $x=8$, $x^3 = 8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512$
• При $x=9$, $x^3 = 9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729$
• При $x=10$, $x^3 = 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$

Ответ: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

Итоговая заполненная таблица:

260 Начертите в тетради таблицу и заполните её.

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из верхней строки найти его квадрат, то есть $x^2$. Квадрат числа — это результат умножения этого числа на само себя.

Выполним вычисления для каждого значения $x$:

При $x = 11$, $x^2 = 11^2 = 11 \cdot 11 = 121$.

При $x = 12$, $x^2 = 12^2 = 12 \cdot 12 = 144$.

При $x = 13$, $x^2 = 13^2 = 13 \cdot 13 = 169$.

При $x = 14$, $x^2 = 14^2 = 14 \cdot 14 = 196$.

При $x = 15$, $x^2 = 15^2 = 15 \cdot 15 = 225$.

При $x = 16$, $x^2 = 16^2 = 16 \cdot 16 = 256$.

При $x = 17$, $x^2 = 17^2 = 17 \cdot 17 = 289$.

При $x = 18$, $x^2 = 18^2 = 18 \cdot 18 = 324$.

При $x = 19$, $x^2 = 19^2 = 19 \cdot 19 = 361$.

При $x = 20$, $x^2 = 20^2 = 20 \cdot 20 = 400$.

Теперь внесем полученные результаты в таблицу.

Ответ:

261. a) Найдите число, квадрат которого равен 16; 64; 36; 400.

б) Найдите число, куб которого равен 27; 64; 8; 125.

а)

Квадрат числа — это результат умножения числа на само себя. Чтобы найти число, квадрат которого равен заданному значению, нужно найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = \text{заданное число}$. Эта операция называется извлечением квадратного корня.

Для 16: ищем число $x$, такое что $x^2 = 16$. Этим числом является 4, поскольку $4^2 = 4 \times 4 = 16$.

Для 64: ищем число $x$, такое что $x^2 = 64$. Этим числом является 8, поскольку $8^2 = 8 \times 8 = 64$.

Для 36: ищем число $x$, такое что $x^2 = 36$. Этим числом является 6, поскольку $6^2 = 6 \times 6 = 36$.

Для 400: ищем число $x$, такое что $x^2 = 400$. Этим числом является 20, поскольку $20^2 = 20 \times 20 = 400$.

Ответ: 4; 8; 6; 20.

б)

Куб числа — это результат умножения числа на само себя трижды. Чтобы найти число, куб которого равен заданному значению, нужно найти такое число $y$, для которого выполняется равенство $y^3 = \text{заданное число}$. Эта операция называется извлечением кубического корня.

Для 27: ищем число $y$, такое что $y^3 = 27$. Этим числом является 3, поскольку $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.

Для 64: ищем число $y$, такое что $y^3 = 64$. Этим числом является 4, поскольку $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

Для 8: ищем число $y$, такое что $y^3 = 8$. Этим числом является 2, поскольку $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

Для 125: ищем число $y$, такое что $y^3 = 125$. Этим числом является 5, поскольку $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$.

Ответ: 3; 4; 2; 5.

262 Представьте в виде степени числа 10:

10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000.

Как называют число, равное $10^2$? $10^3$? $10^6$? $10^9$?

Представьте в виде степени числа 10:

Чтобы представить число, состоящее из единицы и следующими за ней нулями, в виде степени числа 10, необходимо сосчитать количество нулей. Это количество и будет показателем степени, в которую нужно возвести основание 10.

• 10: один ноль, значит, $10 = 10^1$.

• 100: два ноля, значит, $100 = 10^2$.

• 1000: три ноля, значит, $1000 = 10^3$.

• 10 000: четыре ноля, значит, $10 \, 000 = 10^4$.

• 100 000: пять нолей, значит, $100 \, 000 = 10^5$.

• 1 000 000: шесть нолей, значит, $1 \, 000 \, 000 = 10^6$.

Ответ: $10 = 10^1$; $100 = 10^2$; $1000 = 10^3$; $10 \, 000 = 10^4$; $100 \, 000 = 10^5$; $1 \, 000 \, 000 = 10^6$.

Как называют число, равное $10^2$? $10^3$? $10^6$? $10^9$?

Данные степени числа 10 являются общепринятыми и имеют следующие названия:

• Число, равное $10^2 = 100$, называют сто.

• Число, равное $10^3 = 1000$, называют тысяча.

• Число, равное $10^6 = 1 \, 000 \, 000$, называют миллион.

• Число, равное $10^9 = 1 \, 000 \, 000 \, 000$, называют миллиард.

Ответ: $10^2$ – сто; $10^3$ – тысяча; $10^6$ – миллион; $10^9$ – миллиард.

263 ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ

Вычислите:

а) $2 \cdot 10^3$;

б) $(2 \cdot 10)^3$;

в) $3 \cdot 2^2$;

г) $(3 \cdot 2)^2$;

д) $2 \cdot 5^3$;

е) $(2 \cdot 5)^3$;

ж) $12 : 2^2$;

з) $(12 : 2)^2$.

а) $2 \cdot 10^3$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала необходимо выполнить возведение в степень, а затем умножение.

1. Вычисляем степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

2. Выполняем умножение: $2 \cdot 1000 = 2000$.

Ответ: 2000

б) $(2 \cdot 10)^3$

В данном выражении сначала выполняется действие в скобках, а затем полученный результат возводится в степень.

1. Вычисляем произведение в скобках: $2 \cdot 10 = 20$.

2. Возводим результат в степень: $20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$.

Ответ: 8000

в) $3 \cdot 2^2$

Первым действием выполняется возведение в степень, а вторым — умножение.

1. Вычисляем степень: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.

2. Выполняем умножение: $3 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12

г) $(3 \cdot 2)^2$

Сначала необходимо вычислить выражение в скобках, а затем возвести его во вторую степень.

1. Вычисляем произведение в скобках: $3 \cdot 2 = 6$.

2. Возводим результат в степень: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.

Ответ: 36

д) $2 \cdot 5^3$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение.

1. Вычисляем степень: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

2. Выполняем умножение: $2 \cdot 125 = 250$.

Ответ: 250

е) $(2 \cdot 5)^3$

Первым шагом выполняется операция в скобках, после чего результат возводится в степень.

1. Вычисляем произведение в скобках: $2 \cdot 5 = 10$.

2. Возводим результат в степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Ответ: 1000

ж) $12 : 2^2$

Сначала выполняется возведение в степень, а затем деление.

1. Вычисляем степень: $2^2 = 4$.

2. Выполняем деление: $12 : 4 = 3$.

Ответ: 3

з) $(12 : 2)^2$

Сначала необходимо выполнить действие в скобках (деление), а затем возвести результат в степень.

1. Вычисляем частное в скобках: $12 : 2 = 6$.

2. Возводим результат в степень: $6^2 = 36$.

Ответ: 36

264 Какому произведению равно число 300 000 000? Выберите правильный ответ.

1) $3 \cdot 10^6$.

2) $3 \cdot 10^7$.

3) $3 \cdot 10^8$.

4) $3 \cdot 10^9$.

Чтобы представить число 300 000 000 в виде произведения, необходимо записать его в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в форме $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

В числе 300 000 000 мы можем выделить значащую часть $a=3$.

Далее посчитаем, на сколько нужно умножить 3, чтобы получить 300 000 000. Это число равно 100 000 000.

Теперь представим 100 000 000 в виде степени числа 10. Количество нулей в этом числе равно 8, следовательно, $100 000 000 = 10^8$.

Таким образом, мы получаем произведение:

$300 000 000 = 3 \cdot 100 000 000 = 3 \cdot 10^8$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $3 \cdot 10^8$

265 Найдите значение выражения:

а) $3 \cdot 12 \cdot 5^2;$

б) $(2 \cdot 8 \cdot 7)^2;$

в) $704 : 8^2;$

г) $(96 : 24)^3;$

д) $2^2 \cdot 7^2;$

е) $3^2 \cdot 5^3.$

а) $3 \cdot 12 \cdot 5^2$
В соответствии с порядком действий, сначала выполним возведение в степень, а затем умножение.
1) $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
2) $3 \cdot 12 = 36$
3) $36 \cdot 25 = 900$
Ответ: 900

б) $(2 \cdot 8 \cdot 7)^2$
Сначала выполним действия в скобках, а затем возведем полученный результат в степень.
1) $2 \cdot 8 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112$
2) $112^2 = 112 \cdot 112 = 12544$
Ответ: 12544

в) $704 : 8^2$
Первым действием является возведение в степень, вторым — деление.
1) $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
2) $704 : 64 = 11$
Ответ: 11

г) $(96 : 24)^3$
Сначала выполним деление в скобках, а затем возведем результат в степень.
1) $96 : 24 = 4$
2) $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
Ответ: 64

д) $2^2 \cdot 7^2$
Можно использовать свойство степени произведения, согласно которому $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(2 \cdot 7)^2 = 14^2 = 196$
Также можно вычислить каждую степень отдельно и затем перемножить результаты.
1) $2^2 = 4$
2) $7^2 = 49$
3) $4 \cdot 49 = 196$
Ответ: 196

е) $3^2 \cdot 5^3$
Вычислим значение каждой степени по отдельности, а затем перемножим полученные результаты.
1) $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
2) $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
3) $9 \cdot 125 = 1125$
Ответ: 1125