Номер 258, страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.4. Степень числа. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 258, страница 68.

257 Сравните значения выражений. Можно ли сделать это, не выполняя вычислений?

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$;

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$;

в) $2^5$ и $5^2$;

г) $3^4$ и $4^3$.

258 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Если сторона квадрата равна 5 см (рис. 3.7), то его площадь равна произведению $5 \cdot 5 \text{ (см}^2)$ или, иначе, $5^2 \text{ см}^2$. Запишите с помощью степени выражение для вычисления площади квадрата и найдите его площадь, если сторона квадрата равна 1 см; 2 см; 10 см; 12 см.

Рис. 3.7

257.

В некоторых случаях сравнить значения выражений можно без полных вычислений, используя логические рассуждения о свойствах умножения и степени. В других случаях, особенно когда основания и показатели степеней различны, вычисления являются наиболее надежным способом.

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$
Выражение $5^3$ по определению степени равно $5 \cdot 5 \cdot 5$.
Сравнить $5 \cdot 5 \cdot 5$ и $5 \cdot 3$ можно, не выполняя полного вычисления. Представим $5^3$ как $5 \cdot (5^2)$ или $5 \cdot 25$. Так как мы сравниваем два произведения с одинаковым множителем 5, а второй множитель в первом случае ($25$) больше второго ($3$), то и первое произведение больше. То есть, $5 \cdot 25 > 5 \cdot 3$.
Для проверки выполним вычисления: $5^3 = 125$, а $5 \cdot 3 = 15$. Поскольку $125 > 15$, сравнение верно.
Ответ: $5^3 > 5 \cdot 3$.

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$
Выражение $12^2$ равно $12 \cdot 12$.
Сравнение можно произвести без вычислений. Мы сравниваем произведения $12 \cdot 12$ и $12 \cdot 2$. Поскольку один из множителей (12) является общим, а второй множитель в первом выражении ($12$) больше, чем во втором ($2$), то первое произведение будет больше второго.
Для проверки выполним вычисления: $12^2 = 144$, а $12 \cdot 2 = 24$. Поскольку $144 > 24$, сравнение верно.
Ответ: $12^2 > 12 \cdot 2$.

в) $2^5$ и $5^2$
В этом случае основания и показатели степени различны. Простого способа сравнить их без вычислений нет. Поэтому выполним вычисления:
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Так как $32 > 25$, то $2^5 > 5^2$.
Ответ: $2^5 > 5^2$.

г) $3^4$ и $4^3$
Аналогично предыдущему пункту, для надежного сравнения необходимо выполнить вычисления:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.
Так как $81 > 64$, то $3^4 > 4^3$.
Ответ: $3^4 > 4^3$.

258.
Выражение для вычисления площади квадрата ($S$) со стороной $a$ с помощью степени записывается как $S = a^2$.
Найдем площадь для каждой из заданных длин стороны:
- Если сторона равна 1 см, то площадь $S = 1^2 = 1$ см$^2$.
- Если сторона равна 2 см, то площадь $S = 2^2 = 4$ см$^2$.
- Если сторона равна 10 см, то площадь $S = 10^2 = 100$ см$^2$.
- Если сторона равна 12 см, то площадь $S = 12^2 = 144$ см$^2$.
Ответ: Выражение для площади: $S = a^2$. Площади равны 1 см$^2$, 4 см$^2$, 100 см$^2$ и 144 см$^2$ соответственно.