Номер 257, страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.4. Степень числа. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 257, страница 68.

257. Сравните значения выражений. Можно ли сделать это, не выполняя вычислений?

а) $5^3$ и $5 \cdot 3$;

б) $12^2$ и $12 \cdot 2$;

в) $2^5$ и $5^2$;

г) $3^4$ и $4^3$.

а) Сравним выражения $5^3$ и $5 \cdot 3$.

Выражение $5^3$ по определению степени можно записать как $5 \cdot 5^2$. Таким образом, нам нужно сравнить $5 \cdot 5^2$ и $5 \cdot 3$. Поскольку у обоих выражений есть общий множитель 5, для сравнения достаточно сравнить вторые множители: $5^2$ и $3$.

Так как $5^2 = 25$, а $25 > 3$, то и произведение $5 \cdot 5^2$ больше, чем $5 \cdot 3$. Следовательно, $5^3 > 5 \cdot 3$.

Это сравнение можно провести, не вычисляя полное значение $5^3=125$.

Ответ: $5^3 > 5 \cdot 3$.

б) Сравним выражения $12^2$ и $12 \cdot 2$.

Выражение $12^2$ равно $12 \cdot 12$. Сравниваем $12 \cdot 12$ и $12 \cdot 2$. Оба произведения имеют общий множитель 12. Поэтому для сравнения достаточно сравнить вторые множители: 12 и 2.

Так как $12 > 2$, то и произведение $12 \cdot 12$ больше, чем $12 \cdot 2$. Следовательно, $12^2 > 12 \cdot 2$.

Сравнение выполнено без вычисления конечных значений.

Ответ: $12^2 > 12 \cdot 2$.

в) Сравним выражения $2^5$ и $5^2$.

В этом случае у выражений разные основания и показатели степени, поэтому сравнение без вычислений затруднительно. Найдем значения выражений:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Поскольку $32 > 25$, то $2^5 > 5^2$.

Ответ: $2^5 > 5^2$.

г) Сравним выражения $3^4$ и $4^3$.

Здесь также разные основания и показатели. Проще всего выполнить вычисления:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Поскольку $81 > 64$, то $3^4 > 4^3$.

Ответ: $3^4 > 4^3$.

Можно ли сделать это, не выполняя вычислений?

Да, в некоторых случаях. В заданиях а) и б), где у сравниваемых выражений есть общая часть (общий множитель), можно было провести сравнение, не вычисляя конечные значения. В заданиях в) и г), где у степеней разные основания и показатели, самым простым и надежным способом является прямое вычисление их значений.