Страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

291 АНАЛИЗИРУЕМ

а) Мальчик заметил, что на путь по течению реки было затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения. Чем это можно объяснить, если учесть, что мотор лодки работал одинаково хорошо во время всей поездки?

б) На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь — 2 ч. В каком направлении течёт река?

а) Это явление объясняется влиянием течения реки на скорость лодки. Обозначим собственную скорость лодки (скорость, создаваемую мотором в стоячей воде) как $v_{лодки}$, а скорость течения реки как $v_{течения}$.

Когда лодка движется по течению, её скорость относительно берега складывается из собственной скорости и скорости течения: $v_{по~течению} = v_{лодки} + v_{течения}$.

Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из её собственной скорости, так как течение замедляет лодку: $v_{против~течения} = v_{лодки} - v_{течения}$.

Поскольку мотор работал одинаково, $v_{лодки}$ в обоих случаях была постоянной. Очевидно, что $v_{по~течению} > v_{против~течения}$.

Время, необходимое для преодоления расстояния $S$, вычисляется по формуле $t = S/v$. Так как расстояние в обоих направлениях одинаковое, а скорость по течению больше, чем скорость против течения, на путь по течению будет затрачено меньше времени. То есть, $t_{по~течению} = S / v_{по~течению} < S / v_{против~течения} = t_{против~течения}$.

Ответ: Разница во времени объясняется тем, что при движении по течению скорость реки прибавляется к скорости лодки, увеличивая её общую скорость, а при движении против течения — вычитается, уменьшая общую скорость.

б) Сравним время, затраченное на путь из пункта А в пункт В и на обратный путь.

Время на путь из А в В: $t_{А \to В} = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин}$.

Время на обратный путь из В в А: $t_{В \to А} = 2 \text{ ч}$.

Переведем время в минуты для удобства сравнения:

$t_{А \to В} = 1 \cdot 60 + 40 = 100 \text{ мин}$.

$t_{В \to А} = 2 \cdot 60 = 120 \text{ мин}$.

Поскольку $100 \text{ мин} < 120 \text{ мин}$, то $t_{А \to В} < t_{В \to А}$.

Как было объяснено в пункте а), движение по течению реки занимает меньше времени, чем движение против течения на то же расстояние. Следовательно, путь из А в В теплоход совершил по течению.

Ответ: Река течёт в направлении от пункта А к пункту В.

292 Скорость катера в стоячей воде равна 12 $ \text{км/ч} $, а скорость течения реки равна 3 $ \text{км/ч} $. Определите:

a) скорость катера по течению реки;

б) скорость катера против течения реки;

в) путь катера по течению реки за 3 $ \text{ч} $;

г) путь катера против течения реки за 5 $ \text{ч} $.

Дано:
Скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) $v_{собств} = 12$ км/ч.
Скорость течения реки $v_{теч} = 3$ км/ч.

а) скорость катера по течению реки;

Скорость катера по течению реки вычисляется как сумма его собственной скорости и скорости течения, так как течение помогает движению катера.
$v_{по\;теч} = v_{собств} + v_{теч} = 12\;км/ч + 3\;км/ч = 15\;км/ч$.
Ответ: 15 км/ч.

б) скорость катера против течения реки;

Скорость катера против течения реки вычисляется как разность его собственной скорости и скорости течения, так как течение препятствует движению катера.
$v_{против\;теч} = v_{собств} - v_{теч} = 12\;км/ч - 3\;км/ч = 9\;км/ч$.
Ответ: 9 км/ч.

в) путь катера по течению реки за 3 ч;

Чтобы найти путь ($S$), нужно скорость умножить на время ($t$). Используем скорость катера по течению, найденную в пункте а).
$S = v_{по\;теч} \cdot t = 15\;км/ч \cdot 3\;ч = 45\;км$.
Ответ: 45 км.

г) путь катера против течения реки за 5 ч.

Чтобы найти путь ($S$), нужно скорость умножить на время ($t$). Используем скорость катера против течения, найденную в пункте б).
$S = v_{против\;теч} \cdot t = 9\;км/ч \cdot 5\;ч = 45\;км$.
Ответ: 45 км.

293 Смоделируйте ситуацию с помощью рисунка и заполните таблицу:

Собственная скорость Скорость течения Скорость по течению Скорость против течения

12 км/ч 4 км/ч

25 км/ч 28 км/ч

24 км/ч 20 км/ч

5 км/ч 17 км/ч

Подсказка. Рассмотрите рисунок 3.13.

Какую скорость изображает отрезок AC? отрезки CB и CD? отрезок AB? отрезок AD? Для каждой ситуации, описанной в таблице, установите, какие отрезки на этом рисунке даны и какие надо найти.

Для решения задачи и заполнения таблицы воспользуемся основными формулами для движения по реке, которые можно смоделировать с помощью предложенного рисунка.

Обозначим:

$v_{собств.}$ — собственная скорость,

$v_{теч.}$ — скорость течения,

$v_{по\ теч.}$ — скорость по течению,

$v_{против\ теч.}$ — скорость против течения.

Связь между этими скоростями описывается следующими формулами:

1. Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{теч.}$

2. Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\ теч.} = v_{собств.} - v_{теч.}$

Используя эти формулы, решим задачу для каждой строки таблицы.

Первая строка

Дано: собственная скорость $v_{собств.} = 12$ км/ч и скорость течения $v_{теч.} = 4$ км/ч.

Находим скорость по течению:

$v_{по\ теч.} = 12\ км/ч + 4\ км/ч = 16\ км/ч$.

Находим скорость против течения:

$v_{против\ теч.} = 12\ км/ч - 4\ км/ч = 8\ км/ч$.

Ответ: скорость по течению — 16 км/ч, скорость против течения — 8 км/ч.

Вторая строка

Дано: собственная скорость $v_{собств.} = 25$ км/ч и скорость по течению $v_{по\ теч.} = 28$ км/ч.

Из формулы скорости по течению находим скорость течения:

$v_{теч.} = v_{по\ теч.} - v_{собств.} = 28\ км/ч - 25\ км/ч = 3\ км/ч$.

Теперь находим скорость против течения:

$v_{против\ теч.} = v_{собств.} - v_{теч.} = 25\ км/ч - 3\ км/ч = 22\ км/ч$.

Ответ: скорость течения — 3 км/ч, скорость против течения — 22 км/ч.

Третья строка

Дано: собственная скорость $v_{собств.} = 24$ км/ч и скорость против течения $v_{против\ теч.} = 20$ км/ч.

Из формулы скорости против течения находим скорость течения:

$v_{теч.} = v_{собств.} - v_{против\ теч.} = 24\ км/ч - 20\ км/ч = 4\ км/ч$.

Теперь находим скорость по течению:

$v_{по\ теч.} = v_{собств.} + v_{теч.} = 24\ км/ч + 4\ км/ч = 28\ км/ч$.

Ответ: скорость течения — 4 км/ч, скорость по течению — 28 км/ч.

Четвертая строка

Дано: скорость течения $v_{теч.} = 5$ км/ч и скорость по течению $v_{по\ теч.} = 17$ км/ч.

Из формулы скорости по течению находим собственную скорость:

$v_{собств.} = v_{по\ теч.} - v_{теч.} = 17\ км/ч - 5\ км/ч = 12\ км/ч$.

Теперь находим скорость против течения:

$v_{против\ теч.} = v_{собств.} - v_{теч.} = 12\ км/ч - 5\ км/ч = 7\ км/ч$.

Ответ: собственная скорость — 12 км/ч, скорость против течения — 7 км/ч.

Спланируйте ход решения и решите

Рис. 3.13

задачу (294–298).

294 Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние проплыл катер за это время, если скорость течения реки 2 км/ч?

План решения:

1. Найти скорость катера по течению реки.
2. Вычислить расстояние, пройденное катером по течению.
3. Найти скорость катера против течения реки.
4. Вычислить расстояние, пройденное катером против течения.
5. Сложить оба расстояния, чтобы найти общее расстояние.

Решение:

1. Сначала определим скорость катера, когда он движется по течению. Для этого к собственной скорости катера прибавим скорость течения реки:

$v_{по\;течению} = 15 + 2 = 17$ (км/ч)

2. Теперь вычислим расстояние, которое катер проплыл по течению за 2 часа. Расстояние равно произведению скорости на время:

$S_{по\;течению} = 17 \times 2 = 34$ (км)

3. Далее определим скорость катера, когда он движется против течения. Для этого из собственной скорости катера вычтем скорость течения реки:

$v_{против\;течения} = 15 - 2 = 13$ (км/ч)

4. Вычислим расстояние, которое катер проплыл против течения за 3 часа:

$S_{против\;течения} = 13 \times 3 = 39$ (км)

5. Наконец, найдем общее расстояние, которое проплыл катер. Для этого сложим расстояние, пройденное по течению, и расстояние, пройденное против течения:

$S_{общее} = S_{по\;течению} + S_{против\;течения} = 34 + 39 = 73$ (км)

Ответ: 73 км.

295 Собственная скорость теплохода равна $27 \text{ км/ч}$, скорость течения реки – $3 \text{ км/ч}$. Сколько времени затратит теплоход на путь между двумя пристанями, расстояние между которыми $120 \text{ км}$, если он будет плыть:

а) по течению реки;

б) против течения реки?

Для решения этой задачи необходимо определить скорость теплохода по течению и против течения реки, а затем, зная расстояние, вычислить время в пути для каждого случая.

а) по течению реки
При движении по течению скорость теплохода складывается из его собственной скорости и скорости течения реки.
Скорость по течению: $V_{по\;теч.} = V_{собств.} + V_{теч.} = 27 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$.
Теперь найдем время, которое теплоход затратит на путь в 120 км:
$t = S / V_{по\;теч.} = 120 \text{ км} / 30 \text{ км/ч} = 4 \text{ ч}$.
Ответ: 4 часа.

б) против течения реки
При движении против течения скорость течения вычитается из собственной скорости теплохода.
Скорость против течения: $V_{против\;теч.} = V_{собств.} - V_{теч.} = 27 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 24 \text{ км/ч}$.
Теперь найдем время, которое теплоход затратит на путь в 120 км:
$t = S / V_{против\;теч.} = 120 \text{ км} / 24 \text{ км/ч} = 5 \text{ ч}$.
Ответ: 5 часов.

296 Катер проплыл 72 км по течению реки и вернулся обратно. Какой путь занял у него больше времени и на сколько, если собственная скорость катера $21 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо последовательно рассчитать время, затраченное катером на путь по течению и на обратный путь против течения, а затем сравнить эти значения.

1. Расчет времени движения по течению реки.

Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

$V_{по\ теч} = V_{собс} + V_{теч} = 21 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 24 \text{ км/ч}$.

Время, которое катер затратил на путь в 72 км по течению, рассчитывается по формуле $t = S/V$:

$t_{по\ теч} = \frac{72 \text{ км}}{24 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$.

2. Расчет времени движения против течения реки.

Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$V_{против\ теч} = V_{собс} - V_{теч} = 21 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$.

Время, которое катер затратил на обратный путь в 72 км против течения, составляет:

$t_{против\ теч} = \frac{72 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 4 \text{ часа}$.

3. Сравнение времени и нахождение разницы.

Какой путь занял у него больше времени

Сравниваем время, затраченное на путь в обе стороны: $4$ часа (против течения) > $3$ часа (по течению). Следовательно, путь против течения занял больше времени.

На сколько

Чтобы найти, на сколько больше времени ушло на обратный путь, вычтем из большего времени меньшее:

$t_{против\ теч} - t_{по\ теч} = 4 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 1 \text{ час}$.

Ответ: путь против течения занял на 1 час больше времени, чем путь по течению.

297 Расстояние между причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?

Для того чтобы найти общее время, которое моторная лодка потратит на путь туда и обратно, необходимо поочередно рассчитать время движения по течению и против течения, а затем сложить эти значения.

1. Сначала определим скорость лодки по течению реки. Она складывается из собственной скорости лодки и скорости течения:

$V_{\text{по течению}} = V_{\text{собственная}} + V_{\text{течения}} = 10 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

2. Теперь рассчитаем время, затраченное на путь по течению. Для этого расстояние разделим на скорость по течению:

$t_{\text{по течению}} = \frac{S}{V_{\text{по течению}}} = \frac{24 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 2 \text{ часа}$

3. Далее определим скорость лодки против течения реки. Она равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:

$V_{\text{против течения}} = V_{\text{собственная}} - V_{\text{течения}} = 10 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

4. Рассчитаем время, затраченное на обратный путь против течения:

$t_{\text{против течения}} = \frac{S}{V_{\text{против течения}}} = \frac{24 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 3 \text{ часа}$

5. Наконец, найдем общее время в пути, сложив время движения по течению и время движения против течения:

$T_{\text{общее}} = t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = 2 \text{ часа} + 3 \text{ часа} = 5 \text{ часов}$

Ответ: моторная лодка потратит 5 часов на путь от одного причала до другого и обратно.