Страница 78 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Умею выполнять сложение, вычитание, умножение и деление многозначных чисел.

1. Выполните действия:

а) $2567 + 86\ 305$;

б) $9231 - 574$;

в) $5420 \cdot 302$;

г) $3926 : 26$.

а) $2567 + 86 305$

Для выполнения сложения многозначных чисел удобно использовать метод сложения в столбик. Запишем числа одно под другим так, чтобы разряды совпадали (единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.), и сложим их поразрядно, начиная с самого младшего разряда (единиц).

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} \\ & & \overset{1}{2} & \overset{}{5} & \overset{1}{6} & 7 \\ + \\ & 8 & 6 & 3 & 0 & 5 \\ \hline & 8 & 8 & 8 & 7 & 2 \\ \end{array}$

1. Складываем единицы: $7 + 5 = 12$. 2 пишем в разряд единиц, 1 переносим в разряд десятков.
2. Складываем десятки: $6 + 0 + 1$ (перенос) $= 7$. 7 пишем в разряд десятков.
3. Складываем сотни: $5 + 3 = 8$. 8 пишем в разряд сотен.
4. Складываем тысячи: $2 + 6 = 8$. 8 пишем в разряд тысяч.
5. Складываем десятки тысяч: $0 + 8 = 8$. 8 пишем в разряд десятков тысяч.
Получаем результат: 88 872.

Ответ: 88 872

б) $9231 - 574$

Для вычитания воспользуемся методом вычитания в столбик. Запишем числа одно под другим, выравнивая по правому краю (по разрядам), и выполним поразрядное вычитание, начиная с единиц.

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} \\ & \overset{\cdot}{9} & \overset{\cdot}{2} & \overset{\cdot}{3} & \overset{}{1} \\ - \\ & & 5 & 7 & 4 \\ \hline & 8 & 6 & 5 & 7 \\ \end{array}$

1. Вычитаем единицы: из 1 нельзя вычесть 4, поэтому занимаем 1 десяток из разряда десятков. $11 - 4 = 7$. Пишем 7 в разряд единиц.
2. Вычитаем десятки: в разряде десятков осталось 2. Из 2 нельзя вычесть 7, занимаем 1 сотню. $12 - 7 = 5$. Пишем 5 в разряд десятков.
3. Вычитаем сотни: в разряде сотен осталась 1. Из 1 нельзя вычесть 5, занимаем 1 тысячу. $11 - 5 = 6$. Пишем 6 в разряд сотен.
4. Вычитаем тысячи: в разряде тысяч осталось 8. $8 - 0 = 8$. Пишем 8 в разряд тысяч.
Получаем результат: 8 657.

Ответ: 8 657

в) $5420 \cdot 302$

Выполним умножение в столбик. Сначала умножим 5420 на 2, затем на 0, затем на 3, записывая результаты со сдвигом влево. В конце сложим полученные произведения.

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} \\ & & & 5 & 4 & 2 & 0 \\ \times \\ & & & & 3 & 0 & 2 \\ \hline & & 1 & 0 & 8 & 4 & 0 \\ + \\ & 0 & 0 & 0 & 0 & & \\ + \\ 1 & 6 & 2 & 6 & 0 & & \\ \hline 1 & 6 & 3 & 6 & 8 & 4 & 0 \\ \end{array}$

1. Умножаем 5420 на 2 (единицы): $5420 \times 2 = 10840$.
2. Умножаем 5420 на 0 (десятки): $5420 \times 0 = 0$. Записываем результат со сдвигом на один разряд влево.
3. Умножаем 5420 на 3 (сотни): $5420 \times 3 = 16260$. Записываем результат со сдвигом на два разряда влево.
4. Складываем полученные числа: $10840 + 0 + 1626000 = 1636840$.
Получаем результат: 1 636 840.

Ответ: 1 636 840

г) $3926 : 26$

Выполним деление в столбик (уголком).

$\begin{array}{r|l} 3926 & 26 \\ \hline \! \underline{26}\phantom{26} & 151 \\ 132\phantom{6} \\ \! \underline{130}\phantom{6} \\ 26 \\ \! \underline{26} \\ 0 \end{array}$

1. Делим 39 на 26. Берем по 1. $1 \times 26 = 26$. Вычитаем 26 из 39, получаем остаток 13.
2. Сносим следующую цифру, 2. Получаем число 132.
3. Делим 132 на 26. Берем по 5. $5 \times 26 = 130$. Вычитаем 130 из 132, получаем остаток 2.
4. Сносим следующую цифру, 6. Получаем число 26.
5. Делим 26 на 26. Берем по 1. $1 \times 26 = 26$. Вычитаем 26 из 26, получаем остаток 0.
Деление выполнено без остатка. Результат: 151.

Ответ: 151

Знаю, как связаны между собой сложение и вычитание, умножение и деление; умею находить неизвестные компоненты действий.

2. Используя равенство $678 + 1357 = 2035$, найдите значение разности: $2035 - 678$; $2035 - 1357$.

Данная задача решается на основе правила о взаимосвязи сложения и вычитания. Если нам известно равенство вида $a + b = c$, где $a$ и $b$ — слагаемые, а $c$ — сумма, то из него следуют два других равенства: $c - a = b$ и $c - b = a$.
В нашем случае дано равенство $678 + 1357 = 2035$.

2035 – 678
Чтобы найти значение этой разности, мы из суммы ($2035$) вычитаем первое слагаемое ($678$). Согласно правилу, результат должен быть равен второму слагаемому.
$2035 - 678 = 1357$.
Ответ: 1357

2035 – 1357
Аналогично, чтобы найти значение этой разности, мы из суммы ($2035$) вычитаем второе слагаемое ($1357$). В результате мы должны получить первое слагаемое.
$2035 - 1357 = 678$.
Ответ: 678

3. Используя равенство $45 \cdot 637 = 28665$, запишите ещё два равенства, связывающие данные три числа.

Для того чтобы составить два новых равенства на основе выражения $45 \cdot 637 = 28665$, необходимо использовать обратную математическую операцию — деление. В исходном равенстве 45 и 637 — это множители, а 28 665 — произведение.

Чтобы найти один множитель, нужно произведение разделить на другой множитель. Исходя из этого правила, получаем следующие равенства:

1. Произведение (28 665) делим на первый множитель (45), чтобы получить второй множитель (637):

$28665 \div 45 = 637$

2. Произведение (28 665) делим на второй множитель (637), чтобы получить первый множитель (45):

$28665 \div 637 = 45$

Ответ: $28665 \div 45 = 637$; $28665 \div 637 = 45$.

4. Расскажите, как найти неизвестные слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, и найдите неизвестное число:

а) $x + 298 = 356;$

б) $264 - a = 96;$

в) $y - 38 = 85.$

Для нахождения неизвестных чисел в уравнениях, необходимо знать правила нахождения компонентов арифметических действий:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. В уравнении вида $a + x = c$, неизвестное слагаемое $x$ находится так: $x = c - a$.

• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое. В уравнении вида $x - b = c$, неизвестное уменьшаемое $x$ находится так: $x = c + b$.

• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. В уравнении вида $a - x = c$, неизвестное вычитаемое $x$ находится так: $x = a - c$.

Применим эти правила для решения заданных уравнений.

а) $x + 298 = 356$

В этом уравнении $x$ — это неизвестное слагаемое, 298 — известное слагаемое, а 356 — сумма. Согласно правилу, чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 356 - 298$

$x = 58$

Проверка: $58 + 298 = 356$. Равенство верно.

Ответ: 58

б) $264 - a = 96$

В данном уравнении $a$ — это неизвестное вычитаемое, 264 — уменьшаемое, а 96 — разность. По правилу, чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$a = 264 - 96$

$a = 168$

Проверка: $264 - 168 = 96$. Равенство верно.

Ответ: 168

в) $y - 38 = 85$

В этом уравнении $y$ — это неизвестное уменьшаемое, 38 — вычитаемое, а 85 — разность. В соответствии с правилом, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$y = 85 + 38$

$y = 123$

Проверка: $123 - 38 = 85$. Равенство верно.

Ответ: 123

5. Расскажите, как найти неизвестные множитель, делимое, делитель, и найдите неизвестное число:

а) $53 \cdot x = 742;$

б) $y : 18 = 25;$

в) $168 : b = 24.$

Для нахождения неизвестных компонентов в уравнениях с умножением и делением существуют следующие правила:

• Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.
• Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.
• Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Применим эти правила для решения заданных уравнений.

а) $53 \cdot x = 742$

В данном уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти его, нужно произведение (742) разделить на известный множитель (53).

$x = 742 : 53$

$x = 14$

Проверим результат: $53 \cdot 14 = 742$.

Ответ: $14$.

б) $y : 18 = 25$

В этом уравнении $y$ является неизвестным делимым. Чтобы найти его, нужно частное (25) умножить на делитель (18).

$y = 25 \cdot 18$

$y = 450$

Проверим результат: $450 : 18 = 25$.

Ответ: $450$.

в) $168 : b = 24$

В этом уравнении $b$ является неизвестным делителем. Чтобы найти его, нужно делимое (168) разделить на частное (24).

$b = 168 : 24$

$b = 7$

Проверим результат: $168 : 7 = 24$.

Ответ: $7$.

Умею записывать математические выражения.

6. Запишите выражение и найдите его значение:

a) произведение суммы чисел 12 и 18 на число 25; $(12 + 18) \times 25 = 750$

б) сумма числа 120 и частного чисел 60 и 4. $120 + 60 \div 4 = 135$

а) Выражение "произведение суммы чисел 12 и 18 на число 25" означает, что сначала нужно найти сумму чисел 12 и 18, а затем результат умножить на 25.
Запишем выражение: $(12 + 18) \cdot 25$.
Теперь найдем его значение, выполняя действия по порядку:
1) Сначала выполняем действие в скобках (сложение): $12 + 18 = 30$.
2) Затем выполняем умножение: $30 \cdot 25 = 750$.
Ответ: 750

б) Выражение "сумма числа 120 и частного чисел 60 и 4" означает, что сначала нужно найти частное от деления 60 на 4, а затем к результату прибавить 120.
Запишем выражение: $120 + 60 : 4$.
Теперь найдем его значение, соблюдая порядок действий (сначала деление, затем сложение):
1) Сначала выполняем деление: $60 : 4 = 15$.
2) Затем выполняем сложение: $120 + 15 = 135$.
Ответ: 135

Знаю, что означают такие записи, как $5^3$, умею находить квадраты и кубы чисел.

7. Как называют выражение $5^4$ и что оно означает? Запишите в виде степени: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.

Как называют выражение 5⁴ и что оно означает?

Выражение $5^4$ называют степенью. В этом выражении число 5 — это основание степени (число, которое умножается само на себя), а число 4 — показатель степени (число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя).

Данная запись означает, что число 5 необходимо умножить само на себя 4 раза. Таким образом, выражение $5^4$ представляет собой произведение четырех множителей, каждый из которых равен 5:

$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Результатом этого вычисления будет $625$.

Ответ: Выражение $5^4$ называют степенью. Оно означает произведение четырех множителей, каждый из которых равен 5.

Запишите в виде степени: 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3.

Чтобы представить произведение одинаковых множителей в виде степени, необходимо определить основание и показатель степени.

1. Основанием степени является повторяющийся множитель. В данном случае это число 3.

2. Показателем степени является количество этих множителей в произведении. Посчитаем их: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$. Число 3 повторяется 7 раз.

Следовательно, данное произведение можно записать как число 3 (основание) в степени 7 (показатель).

Ответ: $3^7$.

8. Вычислите: $12^2$; $30^3$.

12²

Возведение в степень 2 (в квадрат) означает умножение числа само на себя. Чтобы вычислить $12^2$, необходимо умножить 12 на 12.

$12^2 = 12 \times 12$

Выполним умножение:

$12 \times 12 = 144$

Ответ: 144

30³

Возведение в степень 3 (в куб) означает умножение числа само на себя три раза. Чтобы вычислить $30^3$, необходимо 30 умножить на 30, а затем результат снова умножить на 30.

$30^3 = 30 \times 30 \times 30$

Для удобства вычисления можно использовать свойство степени произведения: $(a \times b)^n = a^n \times b^n$. Представим 30 как $3 \times 10$:

$30^3 = (3 \times 10)^3 = 3^3 \times 10^3$

Теперь вычислим каждую часть отдельно:

$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$

$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$

Перемножим полученные результаты:

$27 \times 1000 = 27000$

Таким образом, $30^3 = 27000$.

Ответ: 27000

Умею определять порядок действий и находить значения выражений, содержащих несколько разных действий.

9. Найдите значение выражения:

а) $39 \cdot (641 - 5720 : 13)$;

б) $5 \cdot 10^3$.

в) $(15 + 9)^2$.

а) $39 \cdot (641 - 5720 : 13)$

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, при этом деление имеет приоритет над вычитанием. Затем результат в скобках умножается на число за скобками.

1. Первым действием выполним деление в скобках: $5720 : 13 = 440$.

2. Вторым действием выполним вычитание в скобках: $641 - 440 = 201$.

3. Третьим действием выполним умножение: $39 \cdot 201 = 7839$.

Ответ: 7839

б) $5 \cdot 10^3$

Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возведем 10 в третью степень: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

2. Выполним умножение: $5 \cdot 1000 = 5000$.

Ответ: 5000

в) $(15 + 9)^2$

В этом выражении сначала необходимо выполнить действие в скобках (сложение), а затем возвести полученный результат в квадрат.

1. Выполним сложение в скобках: $15 + 9 = 24$.

2. Возведем результат в квадрат: $24^2 = 24 \cdot 24 = 576$.

Ответ: 576