Страница 74 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

285 а) Из одного пункта в противоположных направлениях одновременно выехали две автомашины со скоростями $60 \text{ км/ч}$ и $80 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $2 \text{ ч}$? через $3 \text{ ч}$?

б) Автобус и автомобиль, двигаясь по шоссе навстречу друг другу, встретились около поста дорожно-патрульной службы и продолжили движение каждый в своём направлении. Скорость автомобиля $70 \text{ км/ч}$, автобуса $55 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $1 \text{ ч}$? через $3 \text{ ч}$?

а)

Для решения этой задачи нужно найти скорость, с которой автомобили удаляются друг от друга. Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются. Эта величина называется скоростью удаления.

1. Найдем скорость удаления двух автомашин:

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

Это значит, что каждый час расстояние между автомобилями увеличивается на 140 км.

2. Теперь найдем расстояние, которое будет между ними через 2 часа. Для этого умножим скорость удаления на время:

$S_1 = v_{уд} \times t_1 = 140 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 280 \text{ км}$

3. Аналогично найдем расстояние через 3 часа:

$S_2 = v_{уд} \times t_2 = 140 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 420 \text{ км}$

Ответ: через 2 часа расстояние между автомашинами будет 280 км, а через 3 часа — 420 км.

б)

В этой задаче момент встречи у поста дорожно-патрульной службы является точкой, из которой автобус и автомобиль начинают движение в противоположных направлениях. Следовательно, задача решается так же, как и предыдущая: нужно найти скорость удаления и умножить ее на время.

1. Найдем скорость удаления автобуса и автомобиля, сложив их скорости:

$v_{уд} = v_{автомобиля} + v_{автобуса} = 70 \text{ км/ч} + 55 \text{ км/ч} = 125 \text{ км/ч}$

2. Рассчитаем расстояние между ними через 1 час:

$S_1 = v_{уд} \times t_1 = 125 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 125 \text{ км}$

3. Рассчитаем расстояние между ними через 3 часа:

$S_2 = v_{уд} \times t_2 = 125 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 375 \text{ км}$

Ответ: через 1 час расстояние между ними будет 125 км, а через 3 часа — 375 км.

286 а) Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Расстояние между ними 500 км. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? через 3 ч?

б) Таня и Алёша идут навстречу друг другу, чтобы встретиться. Сейчас расстояние между ними 800 м. Таня идёт со скоростью 70 м/мин, а Алёша — со скоростью 80 м/мин. Какое расстояние будет между ними через 3 мин? через 5 мин?

а)

Для решения этой задачи сначала найдём скорость сближения двух автомашин. Поскольку они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Скорость сближения:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$

Теперь мы можем рассчитать, какое расстояние будет между машинами через заданные промежутки времени.

2. Расстояние через 2 часа:

За 2 часа машины проедут навстречу друг другу расстояние, равное:

$S_{2ч} = v_{сбл} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 280 \text{ км}$

Чтобы найти оставшееся расстояние, вычтем это значение из начального расстояния:

$S_{ост1} = 500 \text{ км} - 280 \text{ км} = 220 \text{ км}$

3. Расстояние через 3 часа:

За 3 часа машины проедут навстречу друг другу расстояние, равное:

$S_{3ч} = v_{сбл} \times t = 140 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 420 \text{ км}$

Чтобы найти оставшееся расстояние, вычтем это значение из начального расстояния:

$S_{ост2} = 500 \text{ км} - 420 \text{ км} = 80 \text{ км}$

Ответ: через 2 часа расстояние между машинами будет 220 км, а через 3 часа — 80 км.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Сначала найдём скорость сближения Тани и Алёши.

1. Скорость сближения:

$v_{сбл} = v_{Тани} + v_{Алёши} = 70 \text{ м/мин} + 80 \text{ м/мин} = 150 \text{ м/мин}$

Теперь рассчитаем, какое расстояние будет между ними через указанные промежутки времени.

2. Расстояние через 3 минуты:

За 3 минуты они пройдут навстречу друг другу расстояние:

$S_{3мин} = v_{сбл} \times t = 150 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 450 \text{ м}$

Чтобы найти оставшееся расстояние, вычтем это значение из начального расстояния:

$S_{ост1} = 800 \text{ м} - 450 \text{ м} = 350 \text{ м}$

3. Расстояние через 5 минут:

За 5 минут они пройдут навстречу друг другу расстояние:

$S_{5мин} = v_{сбл} \times t = 150 \text{ м/мин} \times 5 \text{ мин} = 750 \text{ м}$

Чтобы найти оставшееся расстояние, вычтем это значение из начального расстояния:

$S_{ост2} = 800 \text{ м} - 750 \text{ м} = 50 \text{ м}$

Ответ: через 3 минуты расстояние между ними будет 350 м, а через 5 минут — 50 м.

Решите задачу, вычислив скорость сближения или скорость удаления (287—289).

287 Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет равно 260 км? 520 км?

Для решения этой задачи нужно сначала найти скорость удаления поездов. Так как поезда движутся в противоположных направлениях от одной точки, их скорость удаления равна сумме их скоростей. Это показывает, на сколько километров увеличивается расстояние между ними за один час.

1. Вычислим скорость удаления поездов:

Скорость первого поезда $v_1 = 60$ км/ч.

Скорость второго поезда $v_2 = 70$ км/ч.

Скорость удаления $v_{уд} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 130 \text{ км/ч}$.

2. Зная скорость удаления, можно найти время ($t$), через которое расстояние ($S$) между поездами достигнет заданного значения. Для этого используется формула $t = S / v$.

Через сколько часов расстояние между ними будет равно 260 км?

Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость удаления:

$t_1 = \frac{S_1}{v_{уд}} = \frac{260 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: 2 часа.

Через сколько часов расстояние между ними будет равно 520 км?

Аналогично вычислим время для второго случая:

$t_2 = \frac{S_2}{v_{уд}} = \frac{520 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$.

Ответ: 4 часа.

288 Два поезда движутся из двух городов навстречу друг другу со скоростями $60 \text{ км/ч}$ и $80 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии друг от друга будут поезда за $1 \text{ ч}$ до встречи? за $2 \text{ ч}$ до встречи?

Для решения задачи необходимо найти скорость сближения поездов. Так как поезда движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их скоростей.

Скорость первого поезда $v_1 = 60$ км/ч.

Скорость второго поезда $v_2 = 80$ км/ч.

Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 60 \text{ км/ч} + 80 \text{ км/ч} = 140 \text{ км/ч}$.

Это означает, что за каждый час поезда становятся ближе друг к другу на 140 км. Расстояние между поездами за определенное время до встречи — это то расстояние, которое им останется проехать вместе до точки встречи. Оно вычисляется умножением скорости сближения на это время.

за 1 ч до встречи

Чтобы найти расстояние между поездами за 1 час до встречи, нужно умножить скорость сближения на 1 час:

$S_1 = v_{сбл} \times t_1 = 140 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 140 \text{ км}$.

Ответ: 140 км.

за 2 ч до встречи

Чтобы найти расстояние между поездами за 2 часа до встречи, нужно умножить скорость сближения на 2 часа:

$S_2 = v_{сбл} \times t_2 = 140 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 280 \text{ км}$.

Ответ: 280 км.

289 а) Велосипедист и мотоциклист едут навстречу друг другу. Скорость мотоциклиста $40 \text{ км/ч}$, а велосипедиста — $12 \text{ км/ч}$. Через какое время они встретятся, если сейчас между ними $52 \text{ км}$? $156 \text{ км}$?

б) Андрей едет на велосипеде и в каждую минуту проезжает $200 \text{ м}$. Сергей идёт ему навстречу со скоростью $80 \text{ м/мин}$. Через сколько минут они встретятся, если сейчас расстояние между ними $840 \text{ м}$? $1 \text{ км } 400 \text{ м}$?

а)

Чтобы найти время, через которое встретятся велосипедист и мотоциклист, нужно сначала определить их общую скорость сближения. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1. Найдем скорость сближения ($V_{сбл}$):
Скорость мотоциклиста ($V_{м}$) = 40 км/ч.
Скорость велосипедиста ($V_{в}$) = 12 км/ч.
$V_{сбл} = V_{м} + V_{в} = 40 + 12 = 52$ км/ч.

2. Теперь, зная скорость сближения, можно найти время до встречи (t) для каждого из указанных расстояний (S) по формуле $t = S / V_{сбл}$.

Если расстояние между ними 52 км:
$t = 52 \text{ км} / 52 \text{ км/ч} = 1$ час.

Если расстояние между ними 156 км:
$t = 156 \text{ км} / 52 \text{ км/ч} = 3$ часа.

Ответ: они встретятся через 1 час, если расстояние между ними 52 км, и через 3 часа, если расстояние 156 км.

б)

Эта задача решается по тому же принципу. Андрей и Сергей движутся навстречу друг другу, поэтому для нахождения времени до встречи нужно найти их скорость сближения и разделить на нее расстояние.

1. Найдем скорость сближения ($V_{сбл}$):
Скорость Андрея ($V_{А}$) = 200 м/мин.
Скорость Сергея ($V_{С}$) = 80 м/мин.
$V_{сбл} = V_{А} + V_{С} = 200 + 80 = 280$ м/мин.

2. Рассчитаем время до встречи (t) для каждого случая.

Если расстояние между ними 840 м:
$t = 840 \text{ м} / 280 \text{ м/мин} = 3$ минуты.

Если расстояние между ними 1 км 400 м:
Сначала переведем расстояние в одну единицу измерения (метры):
$1 \text{ км} 400 \text{ м} = 1 \times 1000 \text{ м} + 400 \text{ м} = 1400 \text{ м}$.
Теперь найдем время:
$t = 1400 \text{ м} / 280 \text{ м/мин} = 5$ минут.

Ответ: они встретятся через 3 минуты, если расстояние между ними 840 м, и через 5 минут, если расстояние 1 км 400 м.

290 а) Петя и Коля одновременно выбегают с разных концов беговой дорожки навстречу друг другу. Петя бежит со скоростью $130 \text{ м/мин}$, а Коля — со скоростью $170 \text{ м/мин}$. Какова длина беговой дорожки, если они встретились через $3 \text{ мин}$? Через $2 \text{ мин}$?

б) Автомобиль и автобус отправились одновременно с двух автобусных станций навстречу друг другу и встретились через $2 \text{ ч}$. Чему равно расстояние между станциями, если скорость автобуса $40 \text{ км/ч}$, а автомобиля $70 \text{ км/ч}$? скорость автобуса $50 \text{ км/ч}$, а автомобиля $85 \text{ км/ч}$?

а)

Чтобы найти длину беговой дорожки, нужно найти общее расстояние, которое пробежали Петя и Коля до встречи. Так как они бегут навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения Пети и Коли:

$v_{сближения} = v_{Пети} + v_{Коли} = 130 \text{ м/мин} + 170 \text{ м/мин} = 300 \text{ м/мин}$

2. Теперь найдем длину дорожки для каждого случая, умножив скорость сближения на время до встречи.

- Если они встретились через 3 минуты:

$S = v_{сближения} \times t_1 = 300 \text{ м/мин} \times 3 \text{ мин} = 900 \text{ м}$

- Если они встретились через 2 минуты:

$S = v_{сближения} \times t_2 = 300 \text{ м/мин} \times 2 \text{ мин} = 600 \text{ м}$

Ответ: длина беговой дорожки 900 м, если они встретились через 3 мин; 600 м, если они встретились через 2 мин.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Расстояние между станциями равно произведению скорости сближения автомобиля и автобуса на время до их встречи. В задаче даны два разных набора скоростей.

1. Решим для первого случая (скорость автобуса 40 км/ч, скорость автомобиля 70 км/ч).

- Найдем скорость сближения:

$v_{сближения1} = v_{автобуса} + v_{автомобиля} = 40 \text{ км/ч} + 70 \text{ км/ч} = 110 \text{ км/ч}$

- Найдем расстояние между станциями, зная что они встретились через 2 часа:

$S_1 = v_{сближения1} \times t = 110 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 220 \text{ км}$

2. Решим для второго случая (скорость автобуса 50 км/ч, скорость автомобиля 85 км/ч).

- Найдем скорость сближения:

$v_{сближения2} = v_{автобуса} + v_{автомобиля} = 50 \text{ км/ч} + 85 \text{ км/ч} = 135 \text{ км/ч}$

- Найдем расстояние между станциями:

$S_2 = v_{сближения2} \times t = 135 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 270 \text{ км}$

Ответ: 220 км, если скорости автобуса и автомобиля 40 км/ч и 70 км/ч соответственно; 270 км, если их скорости 50 км/ч и 85 км/ч.