Страница 70 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

276 Выполните прикидку результата, округлив основание степени до старшего разряда:

а) $26^2$;

б) $18^2$;

в) $115^2$;

г) $475^2$.

Образец. $59^2 \approx 60^2 = 3600$, $59^2 \approx 3600$.

а) Чтобы выполнить прикидку результата для $26^2$, необходимо округлить основание степени, то есть число 26, до старшего разряда. Старший разряд для числа 26 — это десятки. Цифра в разряде единиц равна 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону.
$26 \approx 30$
Теперь возводим полученное число в квадрат:
$26^2 \approx 30^2 = 30 \times 30 = 900$.
Ответ: 900.

б) Округлим основание степени 18 до старшего разряда (десятков). Цифра в разряде единиц равна 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону.
$18 \approx 20$
Вычислим квадрат округленного числа:
$18^2 \approx 20^2 = 20 \times 20 = 400$.
Ответ: 400.

в) Округлим основание степени 115 до старшего разряда. Старший разряд для числа 115 — это сотни. Цифра в разряде десятков равна 1. Так как $1 < 5$, округляем в меньшую сторону.
$115 \approx 100$
Возведем в квадрат:
$115^2 \approx 100^2 = 100 \times 100 = 10000$.
Ответ: 10000.

г) Округлим основание степени 475 до старшего разряда (сотен). Цифра в разряде десятков равна 7. Так как $7 \ge 5$, округляем в большую сторону.
$475 \approx 500$
Теперь вычислим квадрат:
$475^2 \approx 500^2 = 500 \times 500 = 250000$.
Ответ: 250000.

277 Какой цифрой оканчивается квадрат числа:

а) 122;

б) 923;

в) 225;

г) 147?

Чтобы определить, какой цифрой оканчивается квадрат числа, достаточно найти последнюю цифру квадрата последней цифры исходного числа. Другими словами, нужно возвести в квадрат последнюю цифру данного числа и посмотреть, какой цифрой заканчивается результат.

а) 122

Последняя цифра числа 122 – это 2. Возводим ее в квадрат:

$2^2 = 4$

Квадрат числа 122 оканчивается на цифру 4.

Ответ: 4

б) 923

Последняя цифра числа 923 – это 3. Возводим ее в квадрат:

$3^2 = 9$

Квадрат числа 923 оканчивается на цифру 9.

Ответ: 9

в) 225

Последняя цифра числа 225 – это 5. Возводим ее в квадрат:

$5^2 = 25$

Результат 25 оканчивается на цифру 5, следовательно, квадрат числа 225 оканчивается на 5.

Ответ: 5

г) 147

Последняя цифра числа 147 – это 7. Возводим ее в квадрат:

$7^2 = 49$

Результат 49 оканчивается на цифру 9, следовательно, квадрат числа 147 оканчивается на 9.

Ответ: 9

РАССУЖДАЕМ (278–280)

278 Не вычисляя, объясните, почему возведение в квадрат выполнено неверно. (Воспользуйтесь результатами упражнений 276 и 277.)

а) $22^2 = 4084$; б) $66^2 = 4354$; в) $101^2 = 1021$; г) $41^2 = 1689$.

а) Для равенства $22^2 = 4084$ воспользуемся методом оценки. Число 22 находится между 20 и 30, поэтому его квадрат должен находиться между $20^2$ и $30^2$. Поскольку $20^2 = 400$ и $30^2 = 900$, то $22^2$ должен быть числом в интервале от 400 до 900. Предложенный результат 4084 в этот интервал не попадает, так как $4084 > 900$. Следовательно, вычисление выполнено неверно. Ответ: Равенство неверно, так как $22^2$ должен быть в промежутке $(400, 900)$, а число 4084 в него не входит.

б) Для равенства $66^2 = 4354$ обратим внимание на последнюю цифру. Последняя цифра квадрата числа зависит только от последней цифры самого числа. Число 66 оканчивается на 6. Квадрат любого числа, оканчивающегося на 6, должен оканчиваться на ту же цифру, что и $6^2 = 36$, то есть на 6. В предложенном равенстве результат, 4354, оканчивается на 4. Так как последняя цифра должна быть 6, а не 4, равенство неверно. Ответ: Равенство неверно, так как квадрат числа, оканчивающегося на 6, должен оканчиваться на 6, а не на 4.

в) Для равенства $101^2 = 1021$ воспользуемся методом оценки. Число 101 больше, чем 100. Следовательно, его квадрат должен быть больше квадрата числа 100, то есть $101^2 > 100^2$. Мы знаем, что $100^2 = 10000$. Значит, $101^2$ должен быть больше 10000. Предложенный результат 1021 меньше 10000, следовательно, равенство неверно. Ответ: Равенство неверно, так как $101^2$ должен быть больше $100^2=10000$, а число 1021 меньше 10000.

г) Для равенства $41^2 = 1689$ обратим внимание на последнюю цифру. Число 41 оканчивается на 1. Квадрат любого числа, оканчивающегося на 1, должен оканчиваться на ту же цифру, что и $1^2 = 1$, то есть на 1. В предложенном равенстве результат, 1689, оканчивается на 9. Так как последняя цифра должна быть 1, а не 9, равенство неверно. Ответ: Равенство неверно, так как квадрат числа, оканчивающегося на 1, должен оканчиваться на 1, а не на 9.

279 Докажите, что данное неравенство верно:

a) $29^2 < 1000$;

б) $48^2 < 3000$;

в) $42^2 > 1500$;

г) $67^2 > 3500$.

Образец. а) $28^2$ меньше, чем $30^2$, т. е. меньше, чем 900. Поэтому $28^2$ меньше 1000. Записать это рассуждение можно следующим образом: $28^2 < 1000$, так как $28^2 < 30^2 = 900 < 1000$.

а) Неравенство $29^2 < 1000$ верно, так как число 29 меньше 30, а значит, его квадрат меньше квадрата числа 30. Получаем: $29^2 < 30^2 = 900$, и так как $900 < 1000$, то и $29^2 < 1000$. Ответ: Неравенство доказано.

б) Неравенство $48^2 < 3000$ верно. Для доказательства сравним $48^2$ с квадратом ближайшего большего круглого числа, то есть с $50^2$. Так как $48 < 50$, то $48^2 < 50^2 = 2500$. Поскольку $2500 < 3000$, следовательно, и $48^2 < 3000$. Ответ: Неравенство доказано.

в) Неравенство $42^2 > 1500$ верно. Для доказательства сравним $42^2$ с квадратом ближайшего меньшего круглого числа, то есть с $40^2$. Так как $42 > 40$, то $42^2 > 40^2 = 1600$. Поскольку $1600 > 1500$, следовательно, и $42^2 > 1500$. Ответ: Неравенство доказано.

г) Неравенство $67^2 > 3500$ верно. Сравним $67^2$ с квадратом ближайшего меньшего круглого числа, то есть с $60^2$. Так как $67 > 60$, то $67^2 > 60^2 = 3600$. Поскольку $3600 > 3500$, следовательно, и $67^2 > 3500$. Ответ: Неравенство доказано.

280 Как представить число $100^3$ в виде степени числа 10? Будем рассуждать так: $100^3$ — это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 100, а 100 — это квадрат числа 10, т. е. произведение двух множителей, каждый из которых равен 10. Если мы заменим в первом произведении каждый из трёх множителей 100 на произведение $10 \cdot 10$, то получим произведение шести множителей, каждый из которых равен 10, значит, $100^3 = 10^6$.

Рассуждая так же, представьте в виде степени числа 10:

$100^2, 100^3, 100^4, 100^5, 100^6, 100^7, 100^8, 100^9, 100^{10}$.

Прочитайте каждое из этих чисел, используя названия из таблицы.

Степень Название числа

$10^6$ миллион

$10^9$ миллиард

$10^{12}$ триллион

$10^{15}$ квадриллион

$10^{18}$ квинтиллион

Основной принцип для решения этой задачи заключается в том, чтобы представить число 100 как степень числа 10, то есть $100 = 10^2$, а затем использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$100^2$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^2 = (10^2)^2 = 10^{2 \cdot 2} = 10^4$.
Это число читается как «десять тысяч».

Ответ: $10^4$ (десять тысяч).

$100^3$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$.
Согласно таблице, число $10^6$ называется «миллион».

Ответ: $10^6$ (миллион).

$100^4$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^4 = (10^2)^4 = 10^{2 \cdot 4} = 10^8$.
Это число можно прочитать как «сто миллионов», так как $10^8 = 100 \cdot 10^6$.

Ответ: $10^8$ (сто миллионов).

$100^5$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}$.
Используя название для $10^9$ (миллиард), это число можно прочитать как «десять миллиардов», так как $10^{10} = 10 \cdot 10^9$.

Ответ: $10^{10}$ (десять миллиардов).

$100^6$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^6 = (10^2)^6 = 10^{2 \cdot 6} = 10^{12}$.
Согласно таблице, число $10^{12}$ называется «триллион».

Ответ: $10^{12}$ (триллион).

$100^7$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^7 = (10^2)^7 = 10^{2 \cdot 7} = 10^{14}$.
Используя название для $10^{12}$ (триллион), это число можно прочитать как «сто триллионов», так как $10^{14} = 100 \cdot 10^{12}$.

Ответ: $10^{14}$ (сто триллионов).

$100^8$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^8 = (10^2)^8 = 10^{2 \cdot 8} = 10^{16}$.
Используя название для $10^{15}$ (квадриллион), это число можно прочитать как «десять квадриллионов», так как $10^{16} = 10 \cdot 10^{15}$.

Ответ: $10^{16}$ (десять квадриллионов).

$100^9$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^9 = (10^2)^9 = 10^{2 \cdot 9} = 10^{18}$.
Согласно таблице, число $10^{18}$ называется «квинтиллион».

Ответ: $10^{18}$ (квинтиллион).

$100^{10}$

Представим 100 как $10^2$. Тогда:
$100^{10} = (10^2)^{10} = 10^{2 \cdot 10} = 10^{20}$.
Используя название для $10^{18}$ (квинтиллион), это число можно прочитать как «сто квинтиллионов», так как $10^{20} = 100 \cdot 10^{18}$.

Ответ: $10^{20}$ (сто квинтиллионов).

281 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ Квадраты на рисунке 3.8, а изображают последовательность квадратов натуральных чисел: $1^2$, $2^2$, $3^2$, ....

Эти же квадраты на рисунке 3.8, б изображают последовательность чисел, получаемых по правилу: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, ....

Поэтому можно записать равенства:

$1^2 = 1$;

$2^2 = 1 + 3$;

$3^2 = 1 + 3 + 5$.

Используя эти рисунки, запишите ещё несколько равенств.

a) $1^2$

$2^2$

$3^2$

б) 1

1 + 3

1 + 3 + 5

Рис. 3.8

В задаче показано, как квадрат натурального числа $n$ можно представить в виде суммы первых $n$ последовательных нечетных натуральных чисел. На рисунках и в тексте даны следующие примеры:

$1^2 = 1$

$2^2 = 1 + 3$

$3^2 = 1 + 3 + 5$

Чтобы записать еще несколько подобных равенств, нужно продолжить эту закономерность. Для каждого следующего натурального числа $n$ мы будем добавлять к предыдущей сумме следующее нечетное число.

Для $n=4$:

К сумме для $3^2$ ($1+3+5$) нужно добавить следующее нечетное число, то есть 7. Получим:

$4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$

Проверим: $4^2 = 16$ и $1 + 3 + 5 + 7 = 4 + 5 + 7 = 9 + 7 = 16$. Равенство верно.

Для $n=5$:

К сумме для $4^2$ ($1+3+5+7$) нужно добавить следующее нечетное число, то есть 9. Получим:

$5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$

Проверим: $5^2 = 25$ и $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9 = 25$. Равенство верно.

Для $n=6$:

К сумме для $5^2$ ($1+3+5+7+9$) нужно добавить следующее нечетное число, то есть 11. Получим:

$6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$

Проверим: $6^2 = 36$ и $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 25 + 11 = 36$. Равенство верно.

Ответ: $4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$; $5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$; $6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$.